湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一年级下册期末质量检测数学试题（解析版）

湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末

质量检测数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

7+i

1.复数本下的虚部是().

3+41

11.

A.—1B.—C.—iD.—i

44

【答案】A

7+i(7+i)(3—4i)7+i

【解析】所以「7的虚部是

3+41(3+41)(3-41)3+4i

故选：A.

2.己知a=(x,—2),Z?=(5,—7),若a//。，贝().

14141010

A.—B.----C.—D.----

5577

【答案】C

【解析】由题意得—7x=—10,解得x=W.

7

故选：C.

3.已知一组样本数据4，巧，…，xn(neN*)的方差为1.2,贝!]5万一1,5x2-l,

5七-1的方差为().

A.5B.6C.25D.30

【答案】D

【解析】••,数据和々，…，土的方差为L2,

2

,5%一1,5X2-1,……5x”—1的方差为：5xl,2=30.

故选：D.

4.平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量丽为

)

--.1—.1—.--.1—.3--

A.MN=-AB——ADB.MN=-AD+-AB

2244

.1.1—.——.1—.3—>

C.MN=-AD——ABD.MN=-AD——AB

2244

【答案】C

【解析】根据三角形中位线知：MN=^BD=^（AD-AB）=^AD-^AB.

故选：C.

5.已知正四棱台的上底边长为2,下底边长为4,侧棱与底面所成的角为60。，则此四棱台

的体积为（）

A.B.2876C.D.286

33

【答案】A

【解析】如图，邑。分别为上底面和下底面的中心，连接QS,

则QS，底面过点A作ATLAO于点T,则底面ABCD,

因为上、下底面边长分别为2和4,所以AS=JI,AO=20,

故TO=AS=0，AT=AO-OT=4I^

tanN4AT=U，因为棱与底面所成的角为60。，则/447=60°,

故A^T—y/3AT-^6，则SO=A/6，

故该正四棱台的体积为工22+42+V2^47jxV6=^^.

3

故选：A.

6.袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两

个小球，则取到红球的概率为（）.

.1212

A.—B.—C.-D.一

5523

【答案】B

【解析】设1个红球为见,2个白球分别为仇力2,2个黑球分别为则从袋子中任取

2个球包含：

（如伪）,（《也）,（4,0）,（%,02）,（4也）,（4,6）,（4,。2）,02，。）,02，。2）,（9，。2）,

共10个基本事件，

其中取到红球，包含（4,4）,（华力2）,（%,q）,（%,。2）,共4个基本事件，

42

则取出的2个球都是红球的概率P=-=-

105

故选：B.

7.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若NA=45。，。=J5,b=6，则

ZC=（）

A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°

【答案】D

【解析】在"8C中，角A、B、C所对的边分别为a、氏c,若NA=45。，。=/，b=6

jrz2/2

利用正弦定理：一♦=——，整理得.D6sinA2又三石，

sinAsinBsmB=----------=f-=^=—

a2

所以8=60。或120°,

当8=60°时，C=75°,当8=120°时，C=15°.

故选：D.

8.已知“LBC中，AC=1,AB=2,BC=5点M为A3中点，连接CM.将"QW

沿直线CM折起，使得点A到达4的位置，且平面AO欣，平面8。以，则二面角

A—5C—M的余弦值为（）

A2713„V13「2A/39八加

A.--------D.------C.-------U.

1313135

【答案】B

【解析】取CM的中点O,过点。作的垂线，垂足为E,连接A'E，

则BCLDE,

因为在AABC中，AC=1,AB=2,BC=6，点M为AB中点，

所以NC=90°,AAf=BM=CAf=1,则△AQW为等边三角形，

所以ZCMA=60°,ZCMB=120°,ZMCB=ZMBC=30°,AD±CM，

将"四沿直线CM折起，使得点A到达4的位置，则AA'CM为等边三角形,

NC=90°,AM==CN=AC=1,CD=-,DE=-,AD=B,

242

因为平面AQ0_L平面6cM,且A,Ou平面ACM,AD±CM,

平面ACMc平面5Q0=Q0,

所以A'O_L平面BCM,

因为5Cu平面BCM,所以5C_LA'D，

又因为A'£>nOE=。，大。,。£<=平面4。后，所以5CL平面AZ史，

又因为A'Eu平面A'DE，所以A'EJ_3C，则二面角A'-8C-M的平面角为NA'ED，

1

在直角三角形AA'DE中，A!E=y/A'D2+DE2=

故选：B.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户

家庭十月份的用电量(单位：kW-h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),

画出如图所示的频率分布直方图，则()

电量/(KWh)

A.图中。的值为0.015B.样本的第75百分位数约为217

C.样本平均数约198.4D,样本平均数小于样本中位数

【答案】ABC

【解析】对于A,由题意，(0.007+0.012+4+0.01+0.006)x20=1,解得，«=0,015,

故A正确；

对于B,因为用电量在190kW-h以下的频率为(0.007+0.012+0.015)x20=0.68,

用电量在210kW•h以下的频率为0.68+0.01x20=0.88,

所以样本的第75分位数在区间［210,230)内，

设样本的第75分位数为4则0.68+0—210)x0.01=0.75,解得x=217,

即样本的第75分位数约为217,故B正确；

对于C,样本的平均数为

(160x0.007+180x0.012+200x0.015+220x0.01+240x0.006)x20=198.4,

故c正确；

对于D,因为用电量在170kW-h以下的频率为(0.007+0.012+)x20=0.38,

用电量在190kW-h以下的频率为0.38+0.015x20=0.68,

所以样本的中位数在区间［190,210)内，

设样本的中位数为V,则0.38+(y—190)x0.015=0.5,解得y=198,

所以样本的中位数约为198,

因为198<198.4,所以样本的中位数〈样本的平均数，故D错误.

故选：ABC.

10.已知。是坐标原点，平面向量Z=OA^b=OB，c=OC，且|B|=21〃|=2,c=九。+yB,

ZAOB=60°,则下列结论正确的是（）

A.\a+b\<\a-b\\

B.

一3一1-

C.若c二—。一一b,则A,B,。三点共线

22

D.若（£—"）•（B—。=0,则AABC面积的最大值是:

【答案】BCD

【解析】由|引=2|Z|=2,ZAOB=60°,得Z/=|Z||B|cos60。=1,

对于A，\a+b\=Vfl2+1^+2a-b=yf7,\a-b\=y/a2+J^-la-b=A/3>A错误；

对于B,a•（a—b）=a—a-b=0,而。与商一。都是非零向量，贝！—。），B正确;

31__3__.1__.____.i__.__

对于C,由"=—£——b,得就k=—加——OB,则碇k—加=—（加—砺k），

22222

于是衣=；通，即前//通，又ZG通有公共点A,因此A,B,C三点共线，C正确；

对于D,由（£一工）.（石一2）=0,得G&.国=0，当C与A,3都不重合时，CArCB,

点C在以线段A3为直径的圆上，当。与A3之一重合时，符合题意，

因此点C的轨迹是以线段AB为直径的圆，而AB=5点、C到A3距离的最大值为且，

2

因此AABC面积的最大值是工=3,D正确.

224

故选：BCD.

11.已知正方体ABC。—A4Goi的棱长为2,点E是线段AR上的动点，点尸是线段CG

的中点，则下列结论中正确的是（）

A直线AE和直线CG始终异面

B,直线CE与直线AC始终垂直

C.直线石尸与平面ABCD所成的角为。，则tan。的最大值为:

D.三棱锥2-。跖的体积为定值

【答案】BD

【解析】如图，设则G为AG，4。的中点，

选项A,当E与G重合时，点A,E,C，G均在平面内，故直线AE和直线CQ均在

平面AC£A内，即二者共面，故A错误；

选项B,因为平面所以AG是AG在平面44G2内的射影，

因为AG，线〃及三垂线定理，所以AC]ABR,同理有AC|_L5C，

因为用=5[°,5]Cu平面,所以AC],平面

因为CEu平面42C,所以AC|，CE,故B正确；

选项C,因平面ABCD〃平面4月。1。，

所以直线与平面ABCD所成的角，即为直线EF与平面A与G°i所成的角，

即/跖6=夕，所以tan6=C^＜生=；=也，故C错误；

GEC[G2

选项D,因为BD//BR,点E在直线耳，上，所以点£到直线BD的距离为定值,则SABDE

为定值,

又尸到面5叱的距离力也为定值，所以—“广3四•'也为定值'故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知1—i是关于尤的方程9+侬；+2=0(zneR)的一个根，则实数.

【答案】-2

【解析】因为l—i是关于x的方程/+3+2=0的一个根，所以1+i为方程的另一个根,

l-i+l+i=-m

所以由韦达定理可得，.V1c，解得m=-2.

故答案为：-2.

13.甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若

23

甲、乙两人每次射击命中率分别为彳和一，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分

34

的概率为.

【答案】|

6

231

【解析】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得。分的事件，其概率为x(l—)=

346

所以甲得分不超过乙得分的概率为1--=-.

66

故答案为：—.

6

14.在锐角5c中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且Z?COSA-QCOS5二〃，若

4，,则2的取值范围是

a

【答案】。,2)

【解析】因为Z?COSA-QCOS5=Q,由正弦定理可得sin5cosA—sinAcos5=sinA,

则sin(_B—A)=sinA,在AABC中，可得_B—A=A或5—A=TI—A,

所以5=2A或3=7T(舍去)，则。=兀一人一5=兀一34,

„.71

0<A<—

2

jrTTTT

在锐角AABC中，1O<3=2A<—,解得2<A(乙,

264

7?

0<C=TI-3A<-

2

,ke-ccsinCsinfii-3A)sin3Asin2AcosA+cos2AsinA

由正弦定理可得2=-=-------=---------------=---------=-----------------------------------

asinAsinAsinAsinA

2sinAcos2A+(2cos2A-l)sinA

-------------------------------------------=4cos2A-b

sinA

TTTT

因为一<A<一,贝!]cosAc,所以cos?Ae

64ill

所以彳=£e(l,2).

a

故答案为：(1,2).

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品数分别为400,600,400.现采用分层随

机抽样的方法从中抽取7个产品进行质量检验.

(1)应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取多少个？

(2)从7个产品中随机抽取2个产品.设M为事件“抽取的2个产品来自同一工厂”，求事

件〃发生的概率

400

解：(1)依题意，从甲工厂抽取的产品个数是x7=2,

400+600+400

600

从乙工厂抽取的产品个数是x7=3,

400+600+400

从乙工厂抽取的产品个数是7—2—3=2,

所以应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取2个，3个，2个.

(2)甲工厂抽取的2个产品记为A，4,乙工厂抽取的3个产品记为男,々,々,

丙工厂抽取的2个产品记为C1；C2,

从7个产品中随机抽取2个产品，样本空间。={A4,44，，4员,AG，，

A,B1,AB,,4B3,4G，A>G，,旦旦）,B]C],B]G，区员,B、C[,B-1c2,B3cl,B3C2,C^C2},

共21个样本点,

事件={A4,BB,4片,,CC2}，共5个样本点，

MB2B.

所以事件M发生的概率P(W)=9.

16.已知A(2,3),6(4,—3),AP=-PB,OQ=OA+tAB,且丽•丽=0.

(1)求点P的坐标；

(2)求实数/的值；

(3)求cosNAQB的值.

解：(1)依题意，设F(羽y),

_____3__,

因为4（2,3）,5（4,—3）,AP=^PB,

所以而=（x—2,y—3）,而=（4—x,—3—y）,

所以点尸的坐标为

（2）因为4（2,3）,6（4,—3）,

所以荏=（4_2,-3_3）=（2,-6）,

OQ=QA+tAB=（2,3）+（2t,-6t）=（2+2t,3-6t）,

又OQ.AB=0,所以2x（2+2/■）+（—6）x（3—6。=0,解得/=

（3）因为A（2,3）,B（4,—3）,

所以次=（2,3）,砺=（4,一3）,

则砺.砺=2x4+3x（-3）=-l,网=抬+32=而,幽=«2+（-3）2=5,

丽.砺__1_V13

所以cosNA03=

网网713x565-

17.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,t8s=/+c2—/,其中s为

3

△ABC的面积.

(1)求角A；

(2)若a=5求AABC周长的取值范围.

解：(1)因为^=/+02,s=—bcsinA,cosA=+C———,

322bc

所以,如>J_[csinA=26ccosA，则"^sinA=cosA,即tanA=G，

323

7T

又0<A<TI,所以A=§.

(2)AABC的周长为/=〃+/?+c=G+/?+c，

因为〃2=/+o?一2Z;ccosA=b1+C1-Z?c=(/?+c)2-3bc,即3+3bc=(Z?+c)2,

因为6+c22而，所以bcW”立，

4

所以(0+c)243+39:。)，则°+C)2<]2,即6+cW2石，

又b+c>a=百，所以2/<班+6+。<3如，即2石〈/<36，

所以AABC的周长的取值范围为仅"3日.

18.甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐

部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利

32

的球队获胜.已知甲俱乐部在主场获胜的概率是一，乙俱乐部在主场获胜的概率是；，

53

(1)求比赛恰好四场结束的概率；

(2)求甲俱乐部获胜的概率.

解：(1)若比赛恰好四场结束，则可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜,

323(2]2

若甲胜，则概率为《x4x三x]一,卜文

若乙胜，则概率为1高卜1一|卜l[x|=/

2Q26

所以比赛恰好四场结束的概率。=一+——=

25225225

(2)若甲俱乐部获胜，则甲可能两场、三场、四场和五场获胜,

3(2)1

若两场获胜，其概率—xlI--I--；

若三场获胜，则负胜胜，其概率为[一1']X[1-4]*1'=3；

若四场获胜，由(1)可知其概率为工；