零点问题（解析版）-2023届《导数与解析几何》二轮复习

第4讲零点问题

典型例题

运用分离参数法求解含参数的零点问题

【例1】已知函数〃x)=e;/.

(1)若a=l,求证：当x..0时，

(2)若/(x)在(0,+巧上只有一个零点，求a的值.

【分析】第(1)问是一个恒成立问题，即证明当X..0时，-/..I恒成立.只需证明函

数〃x)=e，-d在区间[o,+巧上的最小值是1.这样把恒成立问题转化成函数在区

间上的最值问题,利用导数可以解决这个问题.本题/'(x)=e'-2x,并不能直接求出

函数的零点，此时可以通过了'(x)的导数，先研究尸(x)=e，-2%的单调性，再解决

/(x)=e=好的最值问题.

解决恒成立问题的另一个思路是对原函数进行整理变形,构造一个新的函数,通过研

究新函数的图像性质，解决原函数的问题.构造新函数的方式有很多,作差、作商等,

需要根据函数的特点选择合适的方法.观察到xe[0,+”)，且(ef)=-e—£<0,我们

可以将/(x)•.1转化成1+1)「-L,0,研究函数g(x)=(V+l)e--l的性质解决问

题.

第⑵问是函数的含参零点问题,常见的解法有：①分离参数法,将/(x)=0转化为

1222

,然后利用函数/7(x)=0的单调性得到力⑺的大致图像再根据曲线y=j

aeee

与直线y=!只有一个公共点,利用函数与方程的关系得到a的值.②带参讨论法，

a

根据已知条件，/(x)在(0,+oo)上只有一个零点等价于=1-ax2e~x在(0,+“)上

只有一个零点,然后研究〃(%)的单调性,再根据〃(x)的最小值分类讨论,排除不符

合题意的参数。的范围,进而得到a的值.

【解析】(1)解法一当a=l时，/(x)=e*-x2,贝1J尸(x)=eX-2x.

令g(x)=r(x)=e*-2x,则g,(x)=eA-2,令g，(x)=e*-2=0,贝！Jx=ln2.

当xe(^x?,ln2)时，g，(x)=e*-2<0,当xe(ln2,+oo)时，g<x)=e*-2>0,所以

g⑴=f\x)=s'1-2x在(e,ln2)上单调递减,在(ln2,+功上单调递增.因此

g(%)=/'(无)=e*-2x..f(ln2)-2-21n2>0.

故函数=e'-d在上单调递增.所以当x..0时，

/(x)=e'-x2../(O)=l.

解法二当a=l时，〃％)..1等价于卜2+1”*-1„0.

设函数g(x)=+1)右一1,则g，(x)=-—2x+1)「=-(x-l)2e-x.

当xwl时，g<x)<0,所以g(x)在(0,+力)上单调递减.而g⑼=0,故当x..0时，

g(x),,0,即/(%)..1.

⑵解法一分离参数法.

当a=0时，〃耳=3在(0,+")上没有零点,所以"0.

1V2r2

由〃%)=0得：=],所以〃x)在(0,+动上只有一个零点等价于曲线y='与直

线y=：在(0,+”)上只有一个公共点.

2_2

fXX

令//(%)=—,贝uh(x)=x(%>0),所以//⑵=0.

当％«0,2)时,“(%)>0,旗兄)在(0,2)上单调递增;当％«2,+8)时，”(%)v0,4⑺

在(2,+8)上单调递减.所以/z(x)在(0,+8)上的最大值为力⑵=金.

6

Y2一

因为/z（O）=O,且当Xf+8时，=0.所以在（0,+8）上只有一个零点

e

时，CZ=—.

4

解法二等价转化后带参讨论.

设函数〃（x）=l-依2e：则当且仅当〃（%）在（0,+”）上只有一个零点时在

（0,+力）上只有一个零点.

当④0时,/?（%）＞0,则丸（x）没有零点,不合题意.

当a＞0时，=av（x-2）eT.于是,当xe（0,2）时，/?/（%）＜0；当xe（2,+oo）时,

〃（x）＞0.所以〃⑺在（0,2）上单调递减，在（2,+功上单调递增.故。（2）=1-t；

e

/z（x）在［0,+8）上的最小值.

e2

①当〃（2）＞0,即a＜?时，/?（%）在（0,+力）上没有零点.

2

②当〃（2）=0,即。=,e时，/?（%）在（0,+⑹上只有一个零点.

2

e

③当〃（2）＜0,即a＞］时，因为丸（0）=1,所以丸（x）在（0,2）上有一个零点，由⑴知,

当%＞0时，e"＞/，所以

7人\116。316〃

VI2(2a)4a

故〃（%）在（2,4a）上有一个零点，因此/?（%）在（0,+力）上有两个零点.

2

综上所述,当了⑺在（0,+动上只有一个零点时，a=}e

【点睛】第(2)问的两种解法分别从分离参数和分类讨论来研究已知函数的零点个

数,进而求解参数(范围)，这也是我们解决此类问题的常用方法.在应用的过程中，我

们需要注意以下几点：

⑴分离参数法可以将复杂问题简单化,但这需要我们掌握一些简单的极限知识,特

别是对想要在压轴题上有所发挥的学生非常有必要.比如解法一中要注意说明当

x—时，=■->0,否则欠严谨.

⑵利用分类讨论的方法，难点在于对分类讨论时机的把握和分类时分界点位置的准

确判断.这不仅要考虑导数值的正负号,而且要兼顾题目中的参数,必要时还要对参

数值进行放缩.

(3)函数与方程思想的应用.遇到函数、导数、不等式的综合问题时，我们要了解

由幕函数、指数函数和对数函数两两组合的新函数,熟悉掌握它们的图像和性质.

分类讨论判断函数零点的个数

【例2】已知函数/(x)=e=x,设g(x)=〃x)-依，当函数g(x)有且只有一个零

点时,求。的取值范围.

【分析】

函数g(x)的零点问题可以转化为方程g(x)=0的解的问题，还可以从图形上看作函

数图像与x轴的交点情况.当方程比较复杂时,又可以将方程适当变形,转化为其他

方程的解的问题,或者对应的新函数的图像与x轴的交点问题.当函数中含有参数时,

对函数的研究往往要用到分类讨论的思想方法.

【解析】解法一直接构造差函数,分类讨论.

由^(%)=/(%)-av=ex-(l+a)x,得g'(x)=e*+

令g，(x)=0,得e<(l+a)=0.关于方程的零点情况可分以下几种情况讨论:

①当l+a=O,即。=一1时，函数g(x)=e*>0,无零点.

②当l+a<0,即。<一1时，g'(x)>0,贝(J函数g⑺=e，一(l+a)x在(一oo,+oo)上单调

递增.因为g(0)=l>0,g|£^=e""

-1<0,所以函数g(x)在上有且仅有

一•个I零X占八、、♦

③当1+〃>0,即a>—1时,令g<%)=0,得％=ln(l+a).

当x变化时，g'(九)与g(九)在上的变化情况见表4.1.

表4.1

(ln(l+a),+8)

Xln(l+tz)

g'(x)—0+

g(x)极小值/

由表可知，g(%)遍=g(ln(l+a))=eE(i+")_(l+a)ln(l+a)=(l+Q)[l-ln(l+a)].

当g(ln(l+a))=0时,函数g(x)有一个零点.因为1+〃>。，则l-ln(l+〃)=0,所以

a=e—1.

当g(ln(l+a))>0时，g(x)>0恒成立,无零点.

当g(ln(l+a))v0时，因为1+々>0,所以l—ln(a+l)v0,则〃>e—1.此时极小值点

%=ln(Q+l)>1.因为g(0)=l>0,所以g(x)在(0,ln(l+a))上有且仅有一个零点.

g(21n(l+a))=(1+a)2-2(l+a)ln(l+a)=(l+a)[(l+a)-21n(l+a)].

下证(1+a)-21n(l+a)>0.

设1=l+a,则(1+a)—21n(1+a)=.—21n/">e).

2r-2

令力⑺=%—21n，Q>e),贝U/«)=1—：=—^―>0,

所以/z⑺在(e,+“)上单调递增.

因为/z(e)=e-2>0,所以>/i(e)>0,即(l+fl)-21n(l+«)>0.又因为l+a>0,

所以g(21n(a+l))>0,所以g(x)在(ln(l+a),21n(1+a))上有且仅有一个零点.由

g(x)的单调性知，g(x)在上有两个零点,不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是。<-1或a=6-1.

解法二分类讨论,参变分离构造新函数.

由题意，g(x)-f[^x)-ax=€c-(l+a)龙,令g(x)=0,贝(Je，-x-ax=0.

当x=0时，g(x)w0,函数g(x)无零点.

当xwO时，el-x-ax=0,BPa=-——1.令T(x)=^——1,贝UT'(x\=^令

XXX

T[x)=O,得x=l.

当X变化时，r(x),r(x)在上的变化情况见表4.2.

表4.2

X(-8,0)(0,1)1(1,+°0)

T'(x)——0+

T(x)极小值/

当函数g(x)有且只有一个零点时，直线y=a与y=T(x)有且只有一个公共点.由

T(x)的单调性知，T(x)在(0,+")上有最小值7\l)=e-1,故当a=e-1时满足题意.

①当x<0时，T(X)=_一1<-1,即。<—1,贝|]〃+1<0,—<0,所以

xa+1

11

0<efl+1<10(〃+1户+1>a+l,

故1J=(a+l)e"i—I〉+=a

同理，由av—1,得2a<—2,则—〉—，所以

2a2

J--111-J-1

〉e2=——>一n2〃•<2a--=a,

近22

i

2ae2a-1<a-l<a.

所以当。＜-1时,直线y=a与y=T（x）在上有且只有一个公共点.

②下证在（0,+动上,当1.0时，T（x）+oo.

由于丁(九)在(0,+8)上有最小值m=e-l,所以对任意心e-l,取/=-j£(0,l),

1

，['e"+i1

贝UT\—=--—1>--—i=〃+i—1=〃.

+11]]

M+1M+1

故对于任意M>e-Hje(0,1)，使得T(x())>“，得证.

③下证在(0,+力)上，当X—>+oo时，T(x)f+oo.

首先证明当x>0时，ev>x2.

设G(x)=eA-x2,则G(x)=ev-2x.

设H(x)=G(x)=e*-2x,贝ij"(x)=ex-2,令7T(x)=0,得x=ln2.

当0<x<ln2时,7T(x)<0,故〃(x)在(O,ln2)上单调递减;当x>ln2时，H'(x)>0,

故〃(x)在(ln2,+x)上单调递增.所以H(x)^n=H(ln2)=2-21n2=2(1-ln2)>0,

所以H(x)=G(x)>0,故G(x)在(0,+”)上单调递增.

因为G(0)=1>0,所以G(x)>G(0)>0,故当x>0时，e，>必恒成立.于是对于任意

e与九2

u>e-l,^x0=u+l>e,则有7(/)=----1>—-1=X0-1=M.

Xoxo"

故对于VM〉e-1,%=i/+l〉e,使得T(/)>〃，得证.

所以当xc(0,l)时,T(x)e(e—l,+oo)；当xe(l,+oo)时,T(x)e(e—l,+oo).则直线

y=a与y=T(x)在(0,1)和(l,+oo)上分别有1个交点，即直线y=a与y=T(x)在

(0,+oo)上有2个交点,不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是。<-1或々=6-1.

【点睛】

一般情况下,对于含参数的问题,如果直接求解,往往需要对参数进行分类讨论,这种

分类讨论通常会比较烦琐;如果能用到参变分离,往往能起到化繁为简的效果,从而

避免烦琐的分类讨论，但是参变分离后的函数并不都是容易研究的,在函数的取值范

围方面，中学范围内经常会难以表述清楚.本题就参变分离后构造的新函数T(x)在

和(0,+力)上的两个不连续区间内的变化情况做了严密的证明.

从证明过程中可以发现，当x<0时，T(x)是单调递减的，但是T(x)向上无限接近于

-1,向下无限减小的过程很难描述清楚.本题活用零点存在定理,在(y,0)上找到

两个点和U，T使力工］〉."/］，这样就证明了直

(a+1+\2a\2a))+\2a)

线y=a与y=T(x)在上有且只有一个公共点.但是这两个点的发现本身

'，^+12a)

就是一个难点，利用不等式性质、放缩法等证明直线y=a恰好卡在这两个点之间也

不是一件轻而易举的事情.

在(0,+8)上,当xf0时，T(x).+”的过程以及当xf时，T(x)—的过程，

这两个变化的证明都用到了高等数学中的极限思想,如果不加证明，则如何说明对于

任意a>e-1,函数T(x)都与直线y=a有公共点?若加以证明，其难度可想而知.如

果高中学生遇到参数问题每次都选用参变分离的办法解决问题，那么在某些题目上

往往能善始却很难善终,结果是很难拿到满分.

因此,任何一种方法有其优越性，同样也有其局限性,遇到问题还要善于选择,灵活应

变,方能游刃有余.

重组函数(导函数)解析式,判断函数零点个数

【例】3已知函数/⑺=2e*-依2_2%—2,求证：当④0时，函数/(x)有且只有一

个零点.

【分析】

判断函数“X)的零点,重要的一步是判断“X)的基本图像,这主要借助导数的符号

来确定，因此对于导数的研究就显得尤为重要.当观察导数的零点时，注意到参数

④0,因此可首先考虑将导数的解析式重组,利用不等式性质来判断导数的符号,这

是较为直接的一种方法.

证法一重组导数解析式，充分利用不等式性质.

对函数/(x)求导，得

/'(X)=2(e*-ox-1)=2[(e*—

因为八0)=040,所以当x>0时，e、>l,则e*-1〉0,-ax..O,所以/'(x)>0.同理,

当x<0时，r(x)<0.故〃x)在(-",0)上单调递减,在(0,+功上单调递增.因此函

数〃x)的最小值为/(0)=0,故“X)有且仅有一个零点.

证法二将导数构造为新函数.

当4,0时,令g(x)=f'^x)-2ex—2ax—2,则=2e*-2a>0,故g(x)在R上是增

函数.

因为g(O)=O,故当x<0时，g(x)<0;当x>0时，g(x)>0.即当x<0时，/,(x)<0;

当x>0时，r(x)>0.故“X)在(7,0)上单调递减，在(0,+功上单调递增.因此函

数/(x)的最小值为f(O)=O,故/(x)有且仅有一个零点.

证法三参变分离构造新函数.

由f(x)=2e*—加一2x—2=0,ax2=2ex-2x-2.当x=0时，/(0)=0.

x

2(e-x-1^

当xw0时，x?>0,则a=—......-------.设h^x)-ex-x-1,则"(x)=e*-1,令

"(x)=0,得x=0.

当x变化时，”(无)/(尤)在(-七,+”)上的变化情况见表4.3.

表4.3

X(-°0,o)0(0,+oo)

"(%)—0+

/z(x)极小值/

所以/z(x)1nto=无⑼=0,因为xw0,所以丸⑺>0.

2(x-x-l'l2(ex-x-1^

因为d〉0,所以」~e~^〉0,而④0,故直线y=a与y~—^无公共点.

x-x-

所以当x/0时，/(x)无零点.

所以当6,0时，函数/(x)有且仅有一个零点.

【点睛】

重组导数或原函数的解析式,充分利用不等式性质判断导数符号,或者判断原函数的

取值范围，一般会比较直接，比构造新函数更为便捷,这时要仔细观察导数或原函数

的结构,将解析式合理恰当地重新组合,结合不等式性质、定义域以及相关不等式的

证明技巧等，以达到简化解题过程的目的.

零点问题与两个函数交点问题的等价转化

【例4】已知函数〃x)=xcosx+a(aeR),判断方程尸(x)=0(尸(x)为的导数)

在区间(0,1)内的根的个数,说明理由.

【分析】

方程的根即对应函数的零点，函数的零点从图形上看，就是函数图像与X轴的交点，

于是等价转化是必不可少的,研究零点问题本质上是在研究函数的图像和性质.本题

可将/'(%)作为新函数研究其零点；也可将方程/(%)=0等价变形,转化为两个函数

的交点问题.

【解析】解法一将导数构造为新函数.

对求导,得/=cosx-xsinx.设g(x)=/〈x),则

g'(x)=-sinx一(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.

当xe(O,l)时,sinx>0,cosx>0,所以g'(x)<0,则函数g(x)在(0,1)上为减函数.又

因为g(0)=1>0,g(1)=cosl—sinl<0,所以有且只有一个/e(0,1),使g(与)=0成

立.

所以函数g(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程/(力=0在区间(0,1)内有

且只有一个实数根.

解法二零点问题等价转化为两个函数的交点问题L

令/f(x)=cosx-xsinx=0,得cosx=xsinx.设〃(x)=jsinx,则/i'(x)=sinr+xcosx.

当xc(0,l)时,sin%>0,cosx>0,则”(x)>0,所以丸(x)在(0,1)上单调递增.

因为y=cosx在(0,1)上单调递减，且cosl<cosx<1,0<xsinx<sinl,又因为

sinl>sin—=cos—>cosl,所以3x0e(0,l),使得cosx0=x0sin%0,且当x£(O,/)时，

cosx>cosx0=xosinxo>xsiwc;当xw(y,1)时，cos%<cosx0=xosinxo<xsinx.故函数

y=cosx与/z(x)在(0,1)上有且仅有一个交点.所以方程cos%=%sinx在区间(0,1)上

有且仅有一个解，即方程/(%)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实数根.

解法三零点问题等价转化为两个函数的交点问题H.

令/'（x）=cosx—邓inx=O,得cos%=xsinx,当xw（0,l）时，cosxwO,所以—=tanx.

因为y=J■在（0,1）上单调递减，丁=12.在（0,1）上单调递增,又因为>=工«1,+”）,

XX

tanxG（0,tanl）,.Btanl>tan—=1,tanl<tan—=A/3<2,所以当％=-时，

v7432

iiii

—=2>tanl>tan—,故土°£（0,1）,使一=tanx0.由单调性知，函数y=—与函数

x2x0x

y=tanx在（0,1）上有且仅有一个公共点.

方程:=tanx在（0,1）内有且仅有一个解，即方程/（%）=0在区间（0,1）内有且仅有一

个实数根.

【点睛】

有关函数的零点问题，通常可以考虑函数的零点、方程、图像交点这三者之间的相

互转化,而且这三者各具特点：函数的零点有“零点存在定理”作为理论基础，可通

过区间端点值的符号和函数的单调性确定零点的个数;方程的特点在于能够进行灵

活的变形,从而将等号两边的表达式分别构造为两个易于研究的函数；图像的交点个

数可以结合计算、零点存在定理以及图像来判断.这三者的巧妙转化对于解决零点

问题势必起到事半功倍的效果.

方程的解的问题常转化为函数的零点问题，至于如何转化,研究哪个函数,这就要具

体问题具体分析.首先要保证是等价转化;其次转化后的函数要易于研究,其图像和

性质是可解、可知的;最后当有多种转化方式时，要预估一下运算量，比较难度，设计

求解方案.

分析函数（导函数）结构,确定函数的零点个数

［例5］已知函数f（x）=（x-l）ex+ar2,当-g<a<0时,判断的零点个数.

【分析】

函数的零点个数，可以通过函数的图像来判断，即判断函数图像与X轴交点的个数,

般先通过导数的符号确定函数的单调性,再通过求极值以及函数的取值范围来确定

函数的基本图像.但是，函数的极值、最值、取值范围等往往不容易确定，尤其在含

参数的函数中难度更大,此时,如果能通过函数的结构发现端倪,确定其正负,往往能

达到避重就轻的效果.

对函数求导，得/'(%)=xe*+2ax=%(e"+2〃).

当一g<a<0时，0<—2a<l,令/(％)=0,解得为=0,々=ln(—2a)<0.

/(力,/(力在(-(»,+00)上随工的变化情况见表4.4.

表4.4

In(—2(7)0(0,+力)

()

/'X+0—0+

/极大值极小值/

“X)

所以当x=0时，有极小值〃0)=-1,且/(2)=e2+4a>e2-2>0,所以“X)在

(0,+“)上恰有一个零点.

下证当x<0时，/(x)<0.

【解析】证法一直接分析函数结构，巧妙判断函数值的符号.

当x<0时，X—1<0,因为6。>0,所以(x—1”<0.

由已知，-gcacO,得ax?<0,所以/(x)<0,故/(x)在(-oo,0)上无零点.

证法二求极值，将极值函数式重新组合，再判断函数值的符号.

当x=ln(-2a)时，/(%)有极大值

f(in(-2a))=-2a[ln(-2。)一1]+a[In

=[aln(-2a)][in(-2Q)-2]+2a,

由一；<a<0,得0<—2a<1,则ln(-2«)<0,从而aln(—2a)>0,ln(-2«)-2<0,因止匕

[aln(-2a)][in(-2a)-2]<0,故/(in(-2叫<0.

所以当x<o时，/(%)<o,故y(x)在(—a,。)上无零点.

证法三求极值，将极值函数式配方，再判断函数值的符号.

当x=In(-2a)时，/(x)有极大值f(in(-2a))=-2a[ln(-2a)-1]+«[In(-2a)]2

=a|^ln2(-2a)-21n(-2a)+2]

=a{[In(-2a)-1]2+1).

所以/[ln(-2a)]<0,因止匕，当x<0时，/(x)<0,故在(—力,0)上无零点.

综上可知，/(x)在上有且只有一个零点.

【点睛】

在解题过程中，我们往往过于关注导数或者极值的情况,而忽视了对于原函数的研究.

而我们的目标是研究原函数，因此在关注导数和极值的同时要注意对原函数的取值

情况的分析,解题方能游刃有余.

巧取特殊点,证明零点的存在性

[例6]已知关于x的函数〃％)=与三("0).若函数/尤)=〃龙)+1没有零点，

求实数。的取值范围.

【分析】

函数的零点问题，通常可以转化为函数与X轴的交点问题，这样就可以直接利用导数

尸(“研究函数尸(x)的图像;也可以将函数的零点问题转化为方程尸(x)=0的解的

问题,这样可以将方程适当变形,研究对应的新函数与X轴的交点情况.在本题中，函

数尸(x)无零点，可转化为函数尸(x)与x轴无交点，即尸(x)>0恒成立或尸⑺<0恒

成立.具体应当是哪种情况,可以用特殊点验证.另外，当证明某个范围内存在零点时,

也需要用特殊点验证,而寻找特殊点常常不是一件容易的事情,本题提供了几种取点

的方法，以供参考.

【解析】

解法一由题意,得网力=竺二+1,贝次白)=生上，令尸(£)=0,得x=2.

CC

当〃<0时，尸'(X)和F(x)在(-8,+8)上随X的变化情况见表4.5.

表4.5

X(-"’2)2(2,+“)

广(X)—0+

/(X)极小值/

所以以X■=/2)=0+1.

e

由于广⑴=1>0,若使函数尸(x)没有零点，当且仅当网2)=£+1>0,解得a〉-e?,

所以此时-e?<a<0.

当a>0时，/(x)和F(x)在(y,+力)上随x的变化情况见表4.6.

表4.6

X(-“’2)2(2,+oo)

产（无）+0—

尸（X）/极大值

所以当x>l时，歹⑺=a（l）+］〉］〉O.

下证存在％<1,使/（%）<0.

证法一放缩法取点.

一1——1—1H.

因为。>0,所以—<0,因此0<e"<1,—p>l,故一]-<—1.又因为]-<0,所以

(\

故此时F（X）在上存在零点，不合题意.

证法二放缩法结合方程取点.

由题意,得尸（耳=IJ-，

/1-2

则Id

ea

3i--（3

因为a>0,则1—二<1,从而0<e〃<e<3,所以川1—<0.

aya

故此时尸（X）在［1-*1）上存在零点，不合题意.

证法三取点情况不确定,可分类讨论.

由题意，得

当0<a<1时，Ina<0,则尸(Ina)=―=Ina<0,

所以歹(x)在(Ina,1)上存在零点，不合题意.

当a=l时，网力=三臂.因为尸(0)=0,所以尸(x)存在零点，不合题意.

当a>l时，/⑼=1-a<0,所以尸(x)在(0,1)上存在零点，不合题意.

综上所述,实数。的取值范围是-e?<a<0.

解法二由题意，得尸(x)=竺詈至

令尸(x)=0,得ar-a+e"=0,即方程ar—a+e"=0在R上无解.

设g(x)=双一〃+1,贝1Jg'(x)=a+e".当a<。时,令g'(x)=0,得e"=-a,x=ln(—a).

g\x)和g⑴在(T,+8)上随X的变化情况见表4.7.

表4.7

X(-00,In(-a))ln(-6z)(in(-a),+oo)

g'(x)—0+

g(x)极小值/

所以gOOmin-S(in(-«))=aln[-a)-a+{-a)=aln(一Q)-2a,

由于4)=e>0,若使函数尸⑺没有零点，当且仅当g(ln(-a))>0,解得〃>-e2,所

以—c2<av0.

当a>0时,g'(x)>0,所以g(jr)在(-8,+功上单调递增,且g(l)=e>0.

下证g@)存在零点.

i

证法一令％=-工，得gea一]-Q.

a

因为a>0,贝ij一，<0,从而ea<1,ea-l<0,所以g1B<0,故g(x)在[一L]

上存在零点,不合题意.

证法二令x=l一。，则=e'a-3.

aya)

因为a〉0,则1一。<1,从而e"<e<3,所以g“—aj<0,故g(x)在上存

在零点,不合题意.

证法三因为g(l)=e>0,g(0)=l-a,所以当a>l时，g⑼<0,则g(x)在(0,1)上存

在零点，不合题意；当a=l时，g(0)=0,则g(x)在(0,1)上存在零点0,不合题意；当

0<a<l时，lna<0,g(lna)=alna<0,则g(x)在上存在零点，不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是-e?<a<0.

【点睛】

函数零点的存在性经常需要取特殊点来证明，而特殊点的选取往往是导数部分的难

点所在.因此对于本部分的问题,可以不断积累常见的取点办法，以求临阵不慌.下面

详细介绍本题中取点的思维过程供大家参考.

解法一中七的选取分析思路如下：

证法一由于a>0,尸(力=竺+1-乌，又因为-乌<0,故只需使竺+L,0.考虑当

7eeee

x<0时，0<e工<1,可以用放缩法取点：

当x<0时，0<炉<1,则二〉1,所以当a>0时，§>a,因止匕W<ax.所以止匕时可令

e"e'e"

ax=-l,得X=_工<0,即可取/=--<1.

aa

证法二由于E（X）=JxT）+e',当时，e'<e<3,可令a（x—1）=—3,解得

x=l--<l,即可取％=1-±<1.

aa

本题利用了放缩法结合方程取点.

,ax+\&x-a\

证法三由于F（x）=----------,当x<0时，ax<0,故令ex-a=0,得x=lna，但

Ina符号不确定,进而考虑对Ina分类讨论.

解法二中的三种证法类似解法一中的三种证法,不再赘述.

利用不等式的相关技巧求解函数的零点问题

【例7】已知函数一。卜2+X+1）,求证：〃x）只有一个零点.

【分析】

研究函数的零点问题,通常可以转化为研究函数对应方程的解的问题,或者通过研究

函数的导数确定原函数的大致图像,判断其零点.具体问题需要灵活选择.如果直接

求导，导数为含参的二次函数,则要注意对参数进行分类讨论,并且/（X）的极值符号

较难判断，要注意充分利用极值点处的导数等于0的等式分离出/=26+*以达

到将原函数中V降次的目的.

另外,注意到本题中/+大+1=仆+![+。..2,

于是可考虑将方程〃x）=0等价变

I2J44

形,或分离参数.并且好+x+l又是三一1的一个因式,故变形后的方程可以运用放缩

的技巧与分离常数的技巧等.

【解析】

解法一巧用降次的技巧.

已知/(x)=jX3-+X+1),贝|J广(%)=/一2依一”.

令/"(%)=x2-2ax-a=Q,贝！J△=4(4+a).

①当—啜上0时，△=4(/+a),,0,所以广(力=_?—2依—a.O,

所以/(x)在(7,+")上单调递增.

因为=3a..；〉0,/(-3)=_9_7④-9+7=-2<0,

所以存在唯一的xe(-3,l),使得/(x)=0,即/(力只有一个零点.

②当〃<一1时，A=4(储+a)>0,方程/'(%)=%2-2双一々=0的两个根记为西，x2,不

妨设玉</，当不变化时，/'(x)"(x)在(-8,+e)上的变化情况见表4.8.

表4.8

X(玉，马)x2(生+力)

/'(X)+0—0+

“X)/极大值极小值/

所以此时/(%2)=-+%2+1),

而/'(电)=埸-23一〃二0,

所以其=2ax?+a,/(4)———%；+4+1)

=；(2%+a)%2-+%2+1)

=——%2++3)>0.

因为/(%)在(七,元2)上单调递减，在(x2,+8)上单调递增，所以当"百时，/(x)>0,

又因为/(3a_l)=g(3a_l)3_a[(3a_l)2+(3q_l)+l]

2

化简得"3"1)=—6片+24—g=—6-1<0

6

因为〃x）在（-”,石）上单调递增，所以存在唯一的x«3a-l,石），使得〃力=0,即

“X）只有一个零点.

③当“〉0时，A=4（a1+a^>0,方程/'（%）=尤2-20^-〃=0的两个根记为百,々，不

妨设项<%,当x变化时，/'（力,/（力在上的变化情况见表4.9.

表4.9

X尤1)再%

/'（无）+0—0+

/（X）/极大值极小值/

所以此时/（玉）+项+1）,

又因为—（%）=片_2的=0,

2

所以片=2叼+即因此同②中，可降次求得/（x1）=-j（x1+2x1+3）<0,

因为“X）在（-8,%）上单调递增，在（%,/）上单调递减，所以当不，/时，/（X）V。，

又因为〃3a+l）=g（3a+l）3_a[（3a+l）2+（3a+l）+l],

化简得/（3«+1）=1>0.因为/（可在（9,+。）上单调递增，所以存在唯一的

xe（%2,3a+l）,使得/（X）=0,即/（x）只有一个零点.

综上可知，函数/（x）只有一个零点.

解法二巧用放缩的技巧.

v-3

因为三+》+1>0,所以〃x）=0等价于/++]-3a=0.

/X2

设（）一，则（）..0,

gx=九r2+IT4-+I-L13aIg'X=—

仅当犬=0时，/（工）=0,所以武九）在（-8,+8）上单调递增，且至多有一个零点，故

/（九）至多有一个零点.

因为g（x）==x-l-3a+------->x-（3a+l）,

17公+x+iX2+X+1v7

所以g（3a+l）>（3a+l）—（3々+1）=0.

又因为」一14

，，"T"

X+%+1X+；33

+—

4

4

所以g（冗）=%—1—3〃H—--------„X—

X+X+1?

1?

因止匕g（3“_l）„（3a-l）-3a+-=-j<0.

因为g（x）在（70,+8）上单调递增,所以存在唯一的工£（3々-1,3々+1）,使得g（x）=0,

即屋元）只有一个零点，所以〃元）只有一个零点.

解法三分离常数与放缩的技巧.

由于％2+%+1>0,令/（力=0,得------------3Q=0,

X+X+1

X3

于是a=—^-

3（%

X3X2

设力⑺=,贝U”（%）..0,

3（炉+%+1

故M%）在（-8,+8）上单调递增.

X3-1）+1（x-l）^x2+犬+1）+1

由于,（%）=

%?+X+1炉+X+1

1

X—1H------------

3X~+X+1

故/Z（3Q+1）+—=〃,

4IT，

故函数力⑴与直线y=a有且只有一个公共点，即函数〃x)在(y,+”)上只有一个

零y占八'、•

【点睛】

对于含参数的函数,可以用分离参数法构造新函数,这样避免了繁杂的分类讨论.如

果分离参数法构造的函数不易操作，可以直接求导,研究导数的符号.但需要注意的

是,对参数进行分类讨论时，要耐心细致,不重不漏.对于三次函数,可以利用导数的

零点方程将原函数进行降次以简化计算.这个方法可以推广,在研究较为复杂的函数

极值的符号时,经常可以将导函数零点的方程进行变形,再代入原函数的解析式,起

到化简作用.其他如放缩法、配方法、因式分解分离常数法以及均值不等式法等，在

判断导数符号、原函数值域、零点的存在性等问题时可能都会派上用场，要注意灵

活选用.

如果能巧用函数与方程思想，灵活构造函数,对方程或函数进行恰当变形,熟练运用

数形结合的思想，结合导数深入研究函数的性质，并能掌握分类讨论的基本要领，函

数的零点问题基本都可以迎刃而解.

隐性零点及其应用

【例8】(1)讨论函数=的单调性，并证明：当x>0时，

(x-2)ex+x+2>0.

⑵证明：当ac[O,l)时,函数g(x)=巴等*(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为

h(a),求函数的值域.

【分析】

第⑴问是常规问题,利用导数讨论函数的单调性,进而利用单调性在给定区间上证

明函数不等式.

第⑵问仍然以导数为工具，求函数g(x)的最小值，难度上升是因为g(x)含有参数

。，所以g(x)的最小值也将是参数0的函数，即〃.).自然的想法是求出函数〃(a)

的表达式,再进一步求其值域.

【解析】

⑴已知“X)的定义域为何无力-2},对求导，得

"心闾卜高F。’

仅当x=0时,等号成立.

故"X)在(-8,-2)上单调递增，在(-2,+8)上也单调递增.所以，当x>0时,

y—0

/(%)=--e">/(O)=-l,即(％—2)e*+x+2>0.

x+2

(2)证法一对函数g(x)求导，得

，/、(x—2)6%+a(x+2)

g'x=一―(x>0).

x

令0(x)=(x-2)e"+a(x+2)(x>0),贝！J

°(x)=(x-l)e"+a,°"(%)=%e>>0.

所以。⑺在(0,+8)上单调递增,又因为0⑼=〃-1<0,0⑴=〃>0,由零点存在定

理知，存在唯一的％0«0,1)使得。(%0)=0,当0<%</时，0(x)v0;当%>/时，

^(x)>0.则o(x)在(O,x0)上单调递减，在国,+“)上单调递增.

因为0(O)=2(a-l)vO,0(2)=4a.O,故由零点存在定理知,存在唯一的玉«0,2]使

得姒石)=0,即°(石)=(万-2)eX1+々(石+2)=0,

①

当0<x<不时，0(%)<0,即g[x)<0,则g(x)在(0,石)上单调递减；当X＞石时,

°(x)>0,即g<x)>0,则g(x)在(xp+oo)上单调递增.

于是，函数g(x)有最小值

―q(玉+1)

g(x)疝n=g(x)

X；

②

।(XT).a+l)e』

位手，则g(%)=e^1-a(x+l)_%+2

由式①得。=一t

玉+2%+2

又因为〃=_%+je*=_/(玉)，

则〃％)=_〃«T0]=(〃0)"(2)],结合〃尤)的单调性及正负情况知七«0,2].

设G(x)=工，当xe(O,2]时，G(x)=e'(x+?〉0,则G(x)在(0,2]上单调递增,则

x+2(%+2)

(1e2

㈤=G(止(G(0),G⑵]=、，4

g

即为函数M。)的值域.

证法二对函数匹力求导，得

x—2

x+2)------ex+a

(x-2)e"+〃(％+2)%+2

"-3

3

xJi

(x+2)[/(x)+a]

-97UJ.

X

令g.）=0,得〃x）=-ae（T0]=（〃0）"（2）],结合函数〃x）的单调性及正负情

况知,存在唯一的实数石«0,2]使得〃石）=-a，即g，a）=o.下同证法一.

【点睛】

第⑵问中“设g（x）的最小值为〃（a）,