排列与组合两个计数原理讲义-高三数学二轮专题复习

高三数学作业第十章《计数原理、概率、随机变量及分布》

第一节两个计数原理、排列与组合

一、公式运算

*1.c；+c+c；+c=()

A.C；B.C：C.C：D.C；

*2.若C^=C嬷，则利=

*3.A；=6,贝”的值是

*4.(多选题)已知”且〃?,〃eN*,则下列等式中正确的是()

A.A>—B.A：：；=(〃+l)〃！C.C；TD.

mlml

二、排列问题

例1.有3名男生，4名女生，求按下列要求有多少种排法

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或两端位置

(2)甲不站排头，乙不站排尾

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起(捆绑法)

(4)全体排成一行，其中男生不相邻(插空法)

(5)全体排成一行，其中甲乙丙的顺序固定(定序除法)

例2.从0、1、2、3、4、5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数:

(1)共有多少个五位数？

(2)能被5整除的五位数有多少个？

(3)比13000大的五位数有多少个？

(4)个位数字小于十位数字的五位数有多少个？

(5)将这些五位数按从小到大的顺序排成一数列，则第85项是什么？

(6)所有这些五位数的个位数字的和是多少？

三、分组分配问题(不相同元素)

例3.有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法?

(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分为三份，每份2本；

⑶分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分为三份，一份4本，另两份各1本；

(6)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

例4.结合排列组合，解决下列问题.

(1)隔板法：①相同元素的分配②每组至少有一个元素

将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法?

⑵将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？(分步乘法)

(3)(先分组再分配)

将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法?

将5封不同的信放到4个不同的信箱中，恰有一个空信箱，有多少种放法?

（4）将4封标有序号A,B,C,。的信放到四个标有A,B,C,。的信箱中，恰有一组序号相同，则有多

少种放法？

练习1.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（）

A.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，每个盒子都不空，共有24种放法

B.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种

C.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种

D.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384

2.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

3.如图所示2x2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许

重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种.

4.如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择,

要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有

第一节两个计数原理、排列与组合答案

一、公式运算

*1.c；+c+c；+c：=()

A.C；B.C：C.C：D.C；

答案：A

提示：由组合数性质C2=c：+c：得c；=c：,

C+c：+G+c：=c：+c；+G+c：=c：+G+c：=c：+c：=c：.

*2.若贝那=()

A.2B.6C.2或6D.2或507

答案：D

提示：由题意知加=3机-4,或加+3m—4=2024,所以=2或=507.

*3.A：=6,贝口的值是()

A.6B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】因为A：=6,所以x(x-l)=6,即/_元_6=0,

所以(x+2)(x—3)=6,解得x=—2或x=3,

又无22,所以x=3.故选：C.

*4.(多选题)已知且〃?,〃eN*,则下列等式中正确的是()

A.A'：=—B.A：；；=(〃+l)"!C.C；=dD.C：-+C：=C：+1

mlm\

【设计意图】引导学生学会排列组合的恒等变换，熟练公式的选择和应用.

答案：(l)BCD特殊值代入即可，不比如答案繁琐

提示：(1)对于A中，由排列数的计算公式，可得A；=；—,所以A错误；

对于B中，由排列数的计算公式，可得A；：；=(〃+l)〃5_l)(〃-2)-x3x2xl=(〃+l)〃!，所以B正确;

YlIYI\1

对于C中，根据组合数的计算公式，可得C；=；——~=^,所以c正确；

(n-m)!m!(n-m)\mlml

对于D中，法一:

n(m-l)!(n-m+1)!m\{n-m)\

m-n\+(n-m+l)-n!(n+1)-n\

m!(n-m+l)!m!(n-m+l)!

=5+1)!:c”

m!(n-m+l)!，，+1

法二：根据组合数的性质，可得cr+c；=c：1成立，所以D正确.

三、排列问题

例1.有3名男生，4名女生，求按下列要求有多少种排法

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或两端位置

(2)甲不站排头，乙不站排尾

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起(捆绑法)

(4)全体排成一行，其中男生不相邻(插空法)

(5)全体排成一行，其中甲乙丙的顺序固定(定序除法)

⑴.7=2160

(2)方法一(特殊位置)：排头优先考虑：

第一步，先排排头，可在除甲之外的剩余6人中任取一个排在排头，有种不同的排法；

第二步，再排其他人，余下6人有可种不同的排法；

上述排法包括了乙排在排尾的情况，因此要扣除乙在排尾的排法，乙在排尾的排法有a呢种排法.因

此共有

&揽-应A=4320-600=3720种不同的排法.

方法二(间接法)：7个人排列，共有％种排列方法；

其中不符合条件的有甲排在排头和乙排在排尾时的排列，各有找种不同的排法；

而这两种计数方法都包含了甲在排头且乙在排尾的情况，这种情形有耳种排法；

故共有可一2琛+&=5040-1440+120=3720种排列方法.

(3)捆绑法用6=720

(4)全体排成一行，其中男生不相邻(插空法)

AX=540

例2.从0、I、2、3、4、5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数：

(1)共有多少个五位数？

(2)能被5整除的五位数有多少个？

(3)比13000大的五位数有多少个？

(4)个位数字小于十位数字的五位数有多少个？

(5)将这些五位数按从小到大的顺序排成一数列，则第85项是什么？

(6)所有这些五位数的个位数字的和是多少？

答案：(1)600(2)216(3)552(4)300(5)14302(6)1440

提示：：(1)首位不能是0,共有次&=600个五位数.

(2)个位数字为。或5时，可以被5整除，首位不能为0,分两类：

第一类，个位数字为0,有8=120个；第二类，个位数字为5,且首位数字不为0,有A：A：=96个,

故共有120+96=216个.

(3)解法一：分两类：万位数字为2、3、4、5时，符合题设，共有A：8=480个；第二类，万位数字

为1,则千位数字只能为3、4、5,有A；A：=72个，共有480+72=552个.

解法二：考虑比13000小的数：万位数字只能是1,千位数字为。或2,共有=48个，故比13000

大的数有600-48=552个.

(4)在(1)中所得的600个数中，可分成两类，一类是个位数字小于十位数字，另一类是个位数字大于十

位数字，且它们成对出现，故个位数字小于十位数字的五位数占一半，即300个.

(5)万位数字为1时，共有川=120个，故万位数字为1；千位数字为0时，共有A；=24个，同理，千

位数字为2,3,4,5时，也都有24个，且72<85<96,故千位数字为4；百位数字为0时，有小=6个，

且85-72=13,12<13<18,故百位数字为3；由此第85项为14302.

(6)个位数字为1的有A：A：=96个，同理，个位数字为2,3,4,5都各有96个，它们的和为

5=96x(1+2+3+4+5)=1440.

三、分组分配问题(不相同元素)

例3.有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法？

⑴分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分为三份，每份2本；

(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分为三份，一份4本，另两份各1本；

(6)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

【设计意图】引导学生掌握不同元素的分组、分组分配问题.

答案：⑴C：C：C；=90(3)C：C；C；=60(4)C：C；C；段=360

(5)6：I=C；=15(6)90+360+90=540

A

提示：(1)分三步完成，先给甲两本，再给乙两本，最后两本给丙.共有C：C：C；=90种方法;

(2)上题可分两步完成：先分三份，每份2本，设有x种方法；再将三份分给甲、乙、丙三人，有8种

c2c2c2

方法.因此C：C：C；=X<,即》=弋产=15种方法;

3

(3)这是“不均匀分组”问题，共有C；C；C；=60种方法；

(4)在(3)的基础上分配，共有C；C；C；6=360种方法；

⑸这是“部分均匀分组问题”，共有笺G=C=15种方法;

A

⑹分三类情况：一是“2、2、2型”，即C：CC；=90种方法；二是“1、2、3型“，即C：C；C；@=360种

6

方法；三是“1、1、4型”，即；,•闻=C：8=90种方法.综上，总共有90+360+90=540种方法.

A

【方法与程序】(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以

分组后一定要除以A%(力为均分的组数)，避免重复计数.这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情

形；

(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,

即若有初组元素个数相等，则分组时应除以根!，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样

的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；

(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以

全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形.

例4.结合排列组合，解决下列问题.

(1)隔板法：①相同元素的分配②每组至少有一个元素

将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

(2)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？(分步乘法)

(3)(先分组再分配)

将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

将5封不同的信放到4个不同的信箱中，恰有一个空信箱，有多少种放法？

(4)将4封标有序号A,B,C,。的信放到四个标有A,B,C,。的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少

种放法？

2.解析⑴C；=10

(2)76

⑶c；A；=1800、C；•C；A；+二UA3=600

IA2)

(4)8

【分析】（1）根据题意，由隔板法代入计算，即可求解

（2）根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可求解；

（3）根据题意，；先选后排，结合分步乘法计数原理，代入计算，即可求解；

（4）根据题意，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解.

【详解】（1）相同元素隔板法，6封信排成一列，中间有5个空位，选取其中2个插入隔板，故有C；=10种

放法；

（2）以信的角度去看第一封信有7个选择，第二封信有7个选择，…，所以共有76种放法；

（3）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即C：种，再将其进行

排列，即A；种排法.故共有C；A；=1800种放法；

先选后排，因为恰有一个空信箱，所以取出一个箱子有C种取法，

5个球放入三个盒子可分3,U和2,2,1两类方法，

（C2C2、

所以共有c；•C；A；+nA；=600种

（4）若A组的序号相同，则B信封此时有两个选择（C,。信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择,

同理可知其它序号相同时各有2种选择，故共有4x2=8种放法.

练习1.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（）

A.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法

B.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种

C.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种

D.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种

【设计意图】引导学生区分相同元素与不同元素的分组分配问题

答案：BC

提示：对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，每个盒子都不空，只需在6

个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可，所以，不同的放法种数为C；=10种，A错;

对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒，

先要指定空盒的编号，有4种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可,

所以，不同的放法种数为4C；=40种，B对；

对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒，

先要指定空盒的编号，有4种情况，然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1、2、

3或4、1、1或2、2、2,然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中，所以，不同的放法种数为

41c；C；C；+C+

G：C]A；=2160种,C对;

对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有两个空盒，先要指定空盒的

编号，有C：=6种情况，然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1、5或2、4或3、3,

然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，所以，不同的放法种数为C：C+c：+A；=372种，D

错.故选：BC.

【方法与程序】A.隔板法，相当于5个空位中插入3块板；B.先指定空盒，再用隔板法；C.先

指定1个空盒，再将不同的小球分组分配；D.先指定1个空盒，再将不同的小球分组分配；

2.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

答案：16

提示：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有第二

种情况，有2位女生入选，不同的选法有C；・C：=4（种）.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选

的不同的选法有16（种）.

法二:从6人中任选3人，不同