人教A版高二数学讲义：等比数列的概念（八大题型）

4.3.1等比数列的概念

目录

【题型归纳目录】...............................................................2

【知识点梳理】.................................................................2

【曲型例题】5

题型一：等比数列的判断.........................................................5

题型二：等比数列的通项公式及其应用.............................................9

题型四：等比中项及应用........................................................14

题型五：等比数列的实际应用....................................................16

题型六：等比数列通项公式的推广及应用..........................................19

题型七：等比数列性质的应用....................................................22

型八：火活设兀求解等比数列••*••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••^4

【题型归纳目录】

【思维导图】

厂如果个数列从第2项起，每项与它的前项的比

/等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.

｛等比数列的定义："这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，

等比数列的有关嬴）-定义的表达式为母=q

―等比中项：“如果叫G,制成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.）

等比数列的概念等比数列的通项公式a产a41=c•q"（c=£）（a泗丰0）

//若+q时，则。1rl%=。芦〃特别地,\

____________________\当m+”=幼时，”“明=。；.

等比数列的常用场）-逛｛%｝、出“｝为等比数列，则｛%•/>.｝为等比数”）

7…J*”，…为等比数列，公比为r）

【知识点梳理】

知识点一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示（qW0）,即：&旦=q（qw。）.

a,

知识点诠释：

①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q可不能是0;

②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q”，这里的项具有任意性和有序性，常数是

同一个；

③隐含条件：任一项且4*0；“%/0”是数列｛4｝成等比数列的必要非充分条件；

④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；

⑤证明一个数列为等比数列，其依据&电=q（〃eN*,q/0）.利用这种形式来判定，就便于操作了.

知识点二、等比中项

如果三个数a、G、6成等比数列，那么称数G为。与6的等比中项.其中G=±疝.

知识点诠释：

①只有当a与b同号即必>0时，。与b才有等比中项，且。与万有两个互为相反数的等比中项.当a与

匕异号或有一个为零即仍V0时，a与匕没有等比中项.

②任意两个实数。与6都有等差中项，且当。与b确定时，等差中项。=审唯一.但任意两个实数。

与b不一定有等比中项，且当。与b有等比中项时，等比中项不唯一.

③当。6>0时，a、G、6成等比数歹ll09=2oG?=aZ?oG=±A/^.

aG

④G2="是a、G、6成等比数列的必要不充分条件.

知识点三、等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

首相为4,公比为q的等比数列｛q｝的通项公式为：

an=a,'q"T(〃wN*,6•qw0)

推导过程：

(1)归纳法：

根据等比数列的定义.=q可得%=%q(n>2)：

an-l

a?=a1q~%q;

2

a3=a2q=(49)4=a1q=Qq"；

—a3g—(a^q)q—a^q—；

4=1(〃22)

当〃=1时，上式也成立

・•・归纳得出:。〃=%•q〃i5eN*,q・gw0).

(2)叠乘法：

根据等比数列的定义」上=4可得：

一g—-nq，

4

%.Q

一—q，

a2

“4

—=q，

—=q,

%

把以上力-1个等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得：%=,即

又ai也符合上式

nl

•••an=at-q~(〃wN*,a；-<70).

(3)迭代法：

an=an-lQ=an-2<l~=ai'C1=aiQ"

nl

•••an=4•q(〃eN*,q-qH0).

知识点诠释：

①通项公式由首项q和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确

定了.

②通项公式中共涉及4、"、q、。"四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.

等比数列的通项公式的推广

己知等比数列｛g｝中，第%项为％,公比为q,则：

4,=4寸

l

证明：a„='q"~,am=ai-矿一

a\'Q___n-m

a

m

nm

■-an=am-q-

由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式

l

an=ax-q"~(ncN*,qwO)可以看成是帆=1时的特殊情况.

知识点四、等比数列的性质

设等比数列｛%｝的公比为夕

①)若mji,p,qeN,,^Lm+n=p+q,则=与•4，

特别地，当+〃=2。时。，/an=a；.

②下标成等差数列且公差为优的项％,%”，氏+2皿，…组成的新数列仍为等比数列，公比为4"，

③若口｝，血,｝是项数相同的等比数列，贝吗为,｝、｛%,7｝、｛忆｝“是常数且％工。)、｛'｝、｛。；｝

an

(meN+,〃2是常数)、｛。/2｝、｛%｝也是等比数列；

④连续上项和(不为零)仍是等比数列.即品，S2k-Sk,S3&-S2……成等比数列.

知识点五、等比数列中的函数关系

n

等比数列｛%｝中，an=a1d若设c=幺,则:an=c-q

qq

（1）当q=l时，a“=c,等比数列｛4｝是非零常数列.它的图象是在直线y=c上均匀排列的一群孤立

的点.

（2）当q>0且qwl时，等比数列｛%｝的通项公式a“=c-q”是关于〃的指数型函数；它的图象是分布在

曲线>=幺.必（4>0且q*l）上的一些孤立的点.

q

①当q>l且q>0时，等比数列｛«„｝是递增数列；

②当q>l且％<0时，等比数列｛%｝是递减数列；

③当0<q<l且%>0时，等比数列｛%｝是递减数列；

④当0<q<1且q<0时，等比数列｛4｝是递增数列.

（3）当q<0时，等比数列｛%｝是摆动数列.

知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.

【方法技巧与总结】

等比数列常用的两种解题方法

1、基本量法（基本方法）

（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量％和q的方程组，然后利用通项公式求解；

（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.

2、性质法（利用等比数列的性质解题）

（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质

解题；

（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量.

【典型例题】

题型一：等比数列的判断

【典例11］（2024.高二.全国.专题练习）数列｛%｝是各项均为实数的等比数列，则“出>4>0”是“数歹!）｛%｝

为递增数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】设数列｛q｝的公比为q（qwO）,

%>%>0,

z.axq>^>0,可得“>1,

于是数列｛%｝为递增数列;

反之不成立，例如数列是递增数列，但q=-g<0.

；.“外>4>。”是“数列｛%｝为递增数歹『’的充分不必要条件.

故选：A.

【典例12］（2024・高二・河南•阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,贝『力2=收”是

“a,b,c成等比数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为mb,c是VABC的三边，所以a,b,c均不为0,

（1h

则由炉=收，可得f=所以a,b,c成等比数列，

反之，当a,b,c成等比数列，可得廿=",

所以金=碇”是“a,b,c成等比数列”的充要条件.

故选：C.

【方法技巧与总结】

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示（q/0）,即：&a=q（qW。）.

an

【变式11］（2024.高二.湖北•期中）"数列｛%｝是等比数列”是“数列｛q生+J是等比数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若｛%｝是等比数列，设｛4｝的公比为q,则&必与=&y=42,则数列｛%%+J是公比为/的等

anan+lan

比数列.

假设数列｛%｝是1,2,2,4,4,8,8,16,16,则数列｛%％包｝是等比数列，但是数列｛凡｝不是等比

数列.

故数列“｛4｝是等比数列”是“数列｛。/向｝是等比数列”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式12］（2024•高二.福建•期中）已知数列｛g｝各项都是正数的数列，下列说法正确的是（）

A.若｛%｝是等差数列，则｛2"”｝是等差数列

B.若｛%｝是等比数列，贝42%｝是等比数列

C.若｛%｝是等差数列，贝42册｝是等比数列

D.若｛4｝是等比数列，则｛2%｝是等差数列

【答案】C

【解析】对于AC选项，若数列｛%｝为等差数列，设其公差为d,则皆=2%-%=2”为正常数，

所以，数列付"｝是等比数列，

但2限—2册=2巾-2〃"=2册（2"-1）不是常数，故数列①｝不是等差数列，A错C对；

对于BD选项，若数列｛?｝为等比数列，设其公比为4,

则皆=2%“-=2%（d）不是常数，故数列｛2%｝不是等比数列，

-2%=2°"«-2%=2°"（2%（Z-1）不是常数，故数列｛2"”｝不是等差数列,BD都错.

故选：C.

【变式13】（2024•江苏扬州•模拟预测）设｛%｝是公比不为1的无穷等比数列，贝『'｛4｝为递增数歹U”是“存

在正整数N。，当〃>乂时，%>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若｛%｝为递增数列，

l

当为<0,且0<q<］时，=al（q-l）q"~>0,

此时｛4｝为递增数列，当对任意〃eN+,%<。，

故"｛%｝为递增数列”不是“存在正整数乂，当〃〉乂时，。“>1”的充分条件；

若存在正整数N。，当〃>乂时，a„>l,

n

此时a*=o1g"T>1,an+1=axq>1,故％>0,q>0,

假设存在加>时,使得册+1W4,则有4+1-卬“=q（q-l）q"TV0,

则q-l<0,又q>0且qwl,故0<"1,

l

则当〃T”时，an=alQ"-^Q,与条件矛盾，

故不存在m〉时,使“IWam,即a„+1>%在（N。,+8）上恒成立,

即%_%=%(q_l)q"T>0,又q>0,q>0,故31,

即对任意的〃wN+,an+l-an=%(q_l)q"T>0,

即｛。“｝为递增数列,

故"｛%｝为递增数歹广是“存在正整数N。，当心乂时，％>1”的必要条件;

综上所述，“｛%｝为递增数列”是“存在正整数N。，当〃〉N。时，%>1"的必要不充分条件.

故选：B.

【变式14]（2024•高二・湖北•阶段练习）记数列｛g｝的前〃项和是S“，前”项积是T“.

①若5是等差数列，则｛%｝是等差数列;

②若｛%｝和｛S“｝都是等差数列,则｛。Js.｝是等差数列；

③若｛«„｝是等比数列，则｛2%+an+l｝是等比数列；

④若｛4｝是等比数列，则是等比数列.其中真命题的个数有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】对于①，若是等差数列，则｝=物+6,故S,=如?+而，其中左,6为常数,

k+b,n=lk+b,n=\

,整理得到：a=

n2kn+b—k,n>2,

Sn-S^,n>2

散a,=2kn+b-k,此时a-=2左，故｛a“｝是等差数列，故①正确.

对于②，因为｛S,｝为等差数列，则S“=，+（〃-l）d,其中常数d为公差,

则g°即％、c，因为｛%｝为等差数列，故4="，

[d,n>2

22

故a„Sn=dSx+｛n-V）d,此时anSn-=d,

故｛ajSa｝是等差数列，故②正确.

对于③，设等比数列｛%｝的通项为2=（-2）",则24+4乜=0,

此时｛2%+%+J不是等比数列，故③错误.

对于④，设等比数列｛%｝的通项为4=3x2"一,

〃5-1）23^_

则Z,=3x（3x2）x-X（3X2"T）=3"2F",此时⑵）高=3启2"，

22〃+22

（TK4丁?n+i2n+2_2n_（T

此时以缶:三一二2x3〃i=2x3®f,故不为常数，

（看产3M2"⑵尸

故]⑵后?不是等比数列，

故选：B.

题型二：等比数列的通项公式及其应用

【典例21]（2024•高二•江苏苏州•期中）已知等比数列｛%｝满足。6+勺=1，%4。=-2,则

q+%6=.

7

【答案】

【解析】设公比为必

[a（-+CL=1[a,=2[a（-=—1

因为%4。=%%，故A。，解得[或者0，

[&%=-2[an=-l〔%=2

1a=2127

若｛6_则q5=且％=丁=_4,止匕时4+%6=-4（1+，5）=一

[a=-\-111,、7

若1hc，则炉=-2且q=y=彳，止匕时a1+弓6=彳0_8）=_彳，

&=2q222

7

故答案为：一万.

【典例22]（2024.高二.上海•期中）已知数列｛%｝为等比数列，q=l、asa9=-8,则％=

【答案】-2

【解析】因为数列｛%｝为等比数列，％=1、-8,

所以agag=4%=—8,所以％6=-8,

又66=%/5=—8,所以"5=_8,即g5=—2,

所以。6=%]=-2.

故答案为：-2

【方法技巧与总结】

等比数列的通项公式涉及4个量4，an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四

个量中，q和夕是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.

【变式21]（2024•福建•模拟预测）已知｛%｝是单调递增的等比数列，%+%=24,%。6=128,则公比4的

值是.

【答案】2

〃4+4=24“4=8“4=16

【解析】由等比数列性质知%%=4%,联立;。，解得歌或。,

=12X[a5=16[a5=X

因为｛6｝是单调递增的等比数列，所以I：1；，即"=£=2.

故答案为：2

【变式22】(2024.高二.西藏林芝.期中)在等比数列｛%｝中.

⑴若它的前三项分别为5,-15,45,求。5；

(2)若an=625,〃=4,9=5,求“；

(3)已知〃i=3,q=-2,求%；

【解析】⑴在等比数列｛〃〃｝中，％=5,%=—15,%=45,而国=%%，

於452

所以％=」==■=405.

q5

nx

(2)依题意,an=axq~,贝ljqx53=625,

所以%=5.

(3)依题意，a.=3.(-2尸.

【变式23](2024・高二・全国•专题练习)已知数列｛%｝为等比数列，若4+%+/=7,。]电。3=8,求数列

｛4｝的通项公式.

【解析】将蜡二%。3代入=8,得W=8,解得。2=2.

设数列｛叫的公比为q(#0),

22

则｛。,｝的前三项依次为1，2,2q,则有：+2+2q=7,

整理得2q2_5q+2=0,解得“=2或q=g.

m=ih=4

所以C或1,

[4=2q=~

、乙

所以%=2"T或a“=23f.

【变式24](2024.高二.全国•课后作业)已知数列｛%｝为正项等比数列，也｝为等差数列，若4=%，

a,

%=4=2b4,则厂=_____.

b2

【答案】8

a.Kh+7d八

【解析】由题得』=4=广=二0=2,即g=2,b｝=d,

a4P4bx+3a

又〃4=”,即4/=4+3d,贝=

1x25

所以%__%qz--------=8-

b2a+d2d

故答案为：8.

【变式25］（2024・高二•全国•课后作业）在正项等比数列｛q｝中，=36,出+生=168,则％=

【答案】486

【解析】由=36=。；得。2=6.

因为出+%=168,所以〃5=162,

所以g=q'=27,即好3,

a2

所以%=2,所以G=2X3”T,故4=486.

故答案为：486.

【变式26］（2024.高二.全国•课后作业）在等比数列也,｝中，%-5g=18,且%-4=-12,则公比

q=.

【答案】2

【解析】依题意得为-5%=%r-5。|4=18,03-%==-12,

两式相除得《当=-］，所以止笑=-1，

q-q2q-qz2

即2/-3/+3q-10=0.

利用试根法分解因式得（q-2）.（2/+q+5）=0,解得4=2.

故答案为：2.

题型三：等比数列的证明

【典例31］（2024•高二•全国•课后作业）已知数列％=1,an+l=2an+l,证明数列｛%+1｝是等比数列，并

求出数列｛。“｝的通项公式.

【解析】因为。同=24+1

所以%+1=2（%+1）.

由q=1,知4+1=2w0,

从而。〃+1。0.

所以

4+1

所以｛%+1｝是以q+1=2为首项，2为公比的等比数列.

所以%+1=2X2"T=2",即%=2"-1.

【典例32]（2024・高二•江西南昌•阶段练习）已知数列｛%｝满足4=1，/=3,4+2=3a”+「2a”（〃eN）

（1）证明：数列｛“「4｝是等比数列，并指出其首项及公比；

（2）求数列｛%｝的通项公式。，.

【解析】（1）。"+2=3。〃+1-2ati，

,为+2一%+]=2（%+1一%），

.%=1,%=3,

•••数列4｝是以%-q=2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）得4+「%=2"（”eN*）,

1—9n

n-2

当2时，a=—a_）+—。〃_2）+…+（%—%）+%=2"T+2+...+2+1=--------=2”—1,

nnx1—2

当〃=1时，%=1也满足上式，

故。“=2"-l（〃eN*）.

【方法技巧与总结】

1、定义法：5=q（常数）n｛%｝为等比数列；

an

2、中项法:*1=%，%+2（%wO）=>｛〃〃｝为等比数列；

n

3、通项公式法：an=kq（左，9为常数）=｛%｝为等比数列.

4、构造法：在条件中出现。〃+1=3〃+匕关系时，往往构造数列，方法是把。叶1+X=左（q+%）与

an+i=kan+Z?对照，求出x即可.

【变式31]（2024・高二,全国,课后作业）在数列｛%｝中，S”为其前〃项和，且满足23一告=2%-1.判断

S」

数列是否为等比数列，并说明理由•

S.+l

【解析】因为2S--：=2a,-1,所以当”=1时，4=1,

当“22时，2s=整理可得S“=3一

”,1+1

q_11_1JS二）e_111

因为三=2兀+12=32-S--1

S“+l1+12（S,T+1）2S.J1又==，=]

2S,T+11

所以数列『"Vo■是以1:为首项，以为1公比的等比数列.

S.+142

【变式32】（2024.高二.江苏苏州.期中）已知数列｛风｝,同满足且q=g，4=T.

[2+1-—+4,2

⑴求的;

（2）证明数列卜.-〃-是等比数列，并求与.

,C11

【解析】（1）当〃=1时，2,12,

Z?2=一2%+2b]+4=—3

25

当〃=2时，a3=a2—b2+4=—,

,八k+i=a„-bn+2n@,

'也+i=-2%+2%+4②，’

.•.①x2+②得到2。”+]+bn+l=4n+4,2an+b”=4n（nN2）,

又24+4=4满足上式，；.24+2=4"（〃eN*）,

贝bn=4n-2an代入①得：an+1=an-（4n-2%）+2”,

则为+1=3%-272

：,an+l-（«+l）-^=3^an-n-^,且q-l一;=1,

・・.数歹〃—:，是以1为首项，3为公比的等比数列，

:•a—YI—=3〃,

2

/.a=3"-1+n+—

2

H

【变式33】（2024•高二•全国・专题练习）已知数列｛4｝中，％=17,a,;+1-2a„-5x3=0（»eN*）,满足

2=q「5x3"（〃eN*）.求证：数列也｝为等比数列，并求数列｛。“｝的通项公式.

【解析】-5x3"=0（〃eN*）,.-.an+1=2a„+5x3",

nil

Aan+l-5x3=2an+5x3"-5x,即％-5x3”"=2（a"-5x3”）.

6“=4,一5x3"（〃eN*）,bn+1=2b„.

b

*：a=17,：.h=a—5x31=2^0,—2,

xb

数列｛2｝为等比数列，首项为2,公比为2,

.也=2«eN）

=%-5x3",=2"+5x3"（〃eN*）.

【变式34］（2024•高二.全国.专题练习）在数列｛%｝中，卬=1,且％包=3%+2〃-1.

（1）证明：数列｛q+〃｝是等比数列；

⑵求数列｛%｝的通项公式.

【解析】（1）由于。用=3%+2"一1,所以a“+］+（〃+l）=3（a"+"）.

又。=1,所以q+1=2.

所以数列｛%+〃｝是以2为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）知a“+〃=2x3"一1,所以a“=2x3"-1-n.

【变式35］（2024・高二・全国•课后作业）若数列｛。“｝满足2%+i=4（〃+l）a“+M〃+l）9r，%=1，且

b„=—an.证明：数列［2+2为等比数列.

nI3J

【解析】因为2w“+］=4（w+l）a“+〃（n+

所以缶=2?g，则U%=4i+2,

因为么=一。,，所以b,+i=4b.+2,

n

所以2+i+|'=4（£+*|）,又4=2%=2,

所以数列,为等比数列.

题型四：等比中项及应用

【典例41］（2024.高二・甘肃兰州•期中）在等比数列｛%｝中，各项均为正数，且q=；,。=2,则%与4

的等比中项是（）

A.2B.±4C.1D.-1

【答案】B

【解析】等比数列｛%｝中，各项均为正数，4=；,q=2

贝U%—q/=；x2^=2,4—q/=；x2,=8,

所以为与。6的等比中项为±4.

故选：B.

【典例42](2024.高二.北京大兴.期末)若数列1,。,仇。,9是等比数列，则实数b的值为

()

A.-3B.3

C.-9D.9

【答案】B

【解析】因为数列1M,4。,9是等比数列，

所以/=1x9,解得人=3或h=-3,

当8=-3时，不满足1x2?=〃2,故舍去；

当6=3时，经检验符合题意，所以6=3.

故选：B

【方法技巧与总结】

(1)由等比中项的定义可知£=2nG2="nG=±疝，所以只有°,6同号时，a,b的等比中项

aG

有两个，异号时，没有等比中项.

(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等

比中项.

(3)a,G,b成等比数列等价于G?="(ab>0).

【变式41](2024.高二.山东淄博・期中)等比数列｛%｝中，%=48,%=3,则为与。8的等比中项为

()

A.12B.-12C.±12D.30

【答案】C

【解析】记％与小的等比中项为G,

则62=%%=48X3=144,

所以G=±12.

故选：C

【变式42】(2024•四川巴中•一模)已知a=5+2#,c=5-2娓,若a,b,c三个数成等比数列，贝

()

A.5B.1C.-1D.-1或1

【答案】D

【解析】由题意知。=5+2而，c=5-2y/6,a,b,c三个数成等比数列，

贝ljb2=ac=(5+276)(5-276)=25-24=1,故b=±1,

故选：D

【变式43】(2024•高二•江苏无锡・期末)等比数列｛%｝中，%=48,&=12,则为与必的等比中项为()

A.24B.-24C.±24D.30

【答案】C

【解析】知与％的等比中项，即48与12的等比中项，

则为与必的等比中项为±,48x12=±5/576=+24.

故选：C.

【变式44](2024.安徽马鞍山.三模)已知数列｛q,｝是公差为2的等差数列，若4+2,%+2,%成等比数

列，则《14=()

A.9B.12C.18D.27

【答案】D

【解析】由％+2,4+2,%成等比数列，得(%+2)2=(q+2)xq4，

所以(q+8)2=(q+2)(q+26),解得q=1,

所以《4=1+2x13=27.

故选：D

【变式45](2024.高二.湖北十堰•期末)若〃，，〃是函数〃x)=-d-6-6(。>0,人>0)的两个不同的零

点，且加,”,3这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则2"+6=()

A.8B.12C.16D.24

【答案】D

[m+n--a<0[m<0

【解析】由题可知，,C，贝"C，机,”,3这三个数可适当排序后成等比数列,

[mn=b>\J[“<0

则3必是等比中项，则〃"7=6=9,根,〃,3这三个数可适当排序后成等差数列，

9

则3必不是等差中项，若机是等差中项，则2根=〃+3=—1-3,又〃7<0,

m

315

^.^m=-—,n--6,贝｝ja=+故2a+6=24,

93

若”是等差中项，贝IJ2〃=〃2+3=—+3,又〃<0,解得"=—,m=-6,

n2

贝[j°=-(/",+〃)=?.故2a+/?=24.

故选：D.

题型五：等比数列的实际应用

【典例51](2024.高二.全国・单元测试)从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入。元的定期储蓄，

若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1

日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（）

A.a(l+B.a(l+/?)5

D.；[(l+p)s_(1+7)]

【答案】D

【解析】设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为％,〃2，。3，

贝ijq=〃+初=〃(1+p),

%=〃(1+p)(l+p)+Q(l+p)=a(l++a(l+p),

生=出(1+p)+a(l+p)=a(1+P丫+.(i+,J+〃(]+2),

［（i+p）4+（i+°y+（i+0『+（i+p）］

卷(1+0)5-(1+P)}

l-(l+p)

故选：D

【典例52］（2024•高二•福建漳州•期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后

又弹回到前一次高度的;处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（）

235-315-235-315

A.mB.mC.mD.m

161688

【答案】D

【解析】设小球第一次落地时经过的路程为4,第1次落地到第〃次落地经过的路程为见22）,

由题意，4=20,数列｛%｝从第二项起构成以首项为%=10x［x2=10,公比为:的等比数列，

2N

则第6次着地后经过的路程为4+出+315(m),

~8~

1—

2

故选：D

【方法技巧与总结】

等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即

解等比数列问题.

【变式51］（2024•高二•全国・专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八

里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有一个人要去某关口，路程为

378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口.则此

人第二天走的路程为（）

A.80里B.86里C.90里D.96里

【答案】D

［解析］由题意可知此人每天走的路程构成公比为1的等比数列｛%｝,

6-

由题意和等比数列的求和公式可得J11-WJ」=378,解得q=192,

1--

2

・•・此人第二天走的路程为192x2=96（里）.

2

故选：D

【变式52］（2024.高二.辽宁沈阳•期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增

长率为10%,且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列｛%｝,

9=1200,则“大约为（参考数据：1.18»2.1,1.19«2.4,1.110«2.6,1.111«2.9（）

A.1420B.1480C.1520D.1580

【答案】B

【解析】依题意，当“N2时,C“=（1+10%）C,T-100=L1C“T-100,则c,-lOOO=-1000）,

于是数列仁TOO。｝是首项为G-1000=200,公比为1.1的等比数列，

1

则c„-1000=200xl.l"-,即1=200x1.1"-+1000,

所以％=200x1.「+io。。。200x2.4+1000=1480.

故选：B

【变式53］（2024.山东.一模）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=&，过点八作3。边的垂

线，垂足为A，过点A1作AC边的垂线，垂足为人,过点4作AC边的垂线，垂足为&,…，依此类

推.设=44,=%,A4="3，…,A,A=as<则“7等于（）

【答案】B

【解析】依题意，数列｛4｝的相邻两项与，。用分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即曝=理,

42

B历（B丫T

因此数列｛4｝是首项4=*5。=1,公比q=在的等比数列，％=qq〃T=芳

222

故选：B

4

【变式54］（2024.高二.福建•期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的彳

处，那么在第〃次着地后，它经过的总路程超过5m,则〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】设小球第一次落地时经过的路程为4,第次落地到第〃次落地经过的路程为凡（〃22）,

由题意，4=1,数列｛4｝从第二项起构成以首项为g=1义/2=2，公比为力的等比数列，

则第w次着地后经过的路程为q+的+

即,结合选项，检验〃=4时，＞；,〃=5时，（g）＜；成立,

故选：A

【变式55】（2024.高二.广西柳州.阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有

牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、"马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问

各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：

“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们

各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（）升粟.

.100c50c100r200

A.B.—C.D•

9777

【答案】C

【解析】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列，

设马主人应偿还x升粟，贝1匚尤+工+2尤=50,解得龙=州，

27

所以马主人应偿还一升粟.

故选：C

题型六：等比数列通项公式的推广及应用

【典例61］（2024•全国•高二课时练习）在等比数列｛氏｝中，公比4力1,若