山东省联盟2024-2025学年高一年级下册3月校际联考数学试题

山东省名校联盟20242025学年高一下学期3月校际联考

数学试题

一、单选题

1.已知向量AB=(-2,1),AC=(3,4),贝()

A.(1,5)B.(―1,—5)C.(—5,—3)D.(5,3)

2.已知i是虚数单位，则三=()

1+1

A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i

3.在VABC中，已知A3=1,AC=2,ZBAC=',则VABC的面积为()

3

A.在B.73C.1D.2

2

4.在VABC中，。在线段BC上，AD为—BAC的角平分线，若AB=24C,贝U()

1一331

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

4444

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

3333

5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点CD.现测得

ZBCD=a,ZBDC=/3,CD=l,在点C测得塔顶A的仰角为0,则塔高AB=（）

I-sin^sin(a+6)Z-sin/sin夕

D.

sin万sin(a+/?)

6.已知复数2=<2+为（4,6€11）可以表示为2=厂90$。+1$缶。），其中厂=1成+g,6是以X轴非负半轴为

始边，向量OZ所在射线为终边的角.已知4=a（cosq+isinq）与z?=z;（cos6>2+isin6>2）的乘积

g=缶［cos（4+a）+isin（a+2）］,则将向量OZ；=（1,2）绕原点。逆时针旋转90。，长度变为原来的2倍后,

得到向量OZ?的坐标为（）

A.（2,T）B.（Y,2）C.（-2,4）D.（4,-2）

7.如图所示，VABC的三条边均与圆。相切，其中3C=20,NABC=120o,NACB=20。，则圆。的半径约为

()(coslO0-0.985)

A.5.861B.5.674C.5.076D.4.926

8.已知向量a,b,e是平面向量，同=1,若非零向量a与e的夹角为60。，向量。满足62-86为+15=0，则卜-囚

的最小值为()

A.2A/3+1B.2A/3-1C.乖+1D.73-1

二、多选题

9.已知平面向量。=(2,1),“-。=(4,-3),则下列说法正确的是()

卜+囚=

A.albB.5

c向量.与“的夹角的余弦值为平

D.向量0-匕在“上的投影向量为a

10.设4*2为复数，则下列结论正确的有()

•Z[Z?=Z]*Z]B.2阂二团㈤

C.若闻=区］,则z；=z；D.若Z-ER,则ZI+ZZ^R

11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两

倍.若VABC的外心为。，重心为G,垂心为”,M为边3C的中点，且AB=5,AC=3,则下列结论正确的

有()

A.AGBC=~—B.AOBC=S

3

C.OH=OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM

三、填空题

12.已知i为虚数单位，若复数z=(l+i)(a-2i)(aeR)为纯虚数，则。的值为.

13.如图，在VABC中，点。满足BC=32。，过点。的直线分别交直线4昆AC于不同的两点及歹，设

AB^xAE,AC=yAF,则2x+y的值为.

A

F

14.在圆内接四边形A5co中，AC=4,AB=2AD,NBAD=60。，则△加［)面积的最大值为

四、解答题

15.在三角形ABC中，分别是边AB,AC的中点，已知BE=3,8=6,BC=2«.

⑴求三角形ABC的面积；

(2)求三角形ABC的周长.

16.己知复数2=。+万(48€：［1),其中i为虚数单位.

(1)若|zf-4^=-3+4i,求z；

(2)^z=l+2i+3i2+4i3+5i4++2O24i2023+2O25i2024,求的值.

17.已知°涉是平面内两个不共线的向量.

AB=a+2b,BC=a+Sb,CD=2.a-2,b,求证：4民。三点共线；

(2)试确定实数3使匕+b和a+(2-左)6共线；

(3)若4=(2,1),6=(-3,2),卜+6)-6),求实数机的值.

18.已知三角形ABC的内角A,3,C的对边分别是a,6,c,且满足acosC+百asinC=6+c.

(1)求角A的大小；

(2)若三角形A3c的面积为10,内切圆的半径为1,求。；

(3)若NR4C的角平分线交BC于D,且AD=4,求三角形ABC面积的最小值.

19."个有次序的实数卬吗，M“所组成的有序数组3M2，，凡)称为一个"维向量，其中4(i=l，2,L,〃)称

为该向量的第i个分量.特别地，对一个w维向量a=(阳生，.•,％),若a"{-1/},，=1,2,则称。为〃维

信号向量.设a=(q,%8=(4也也)，贝ija和％的内积定义为=2她，且a_L6oa-6=0.

/=1

⑴直接写出4个两两垂直的4维信号向量；

(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量;

(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量占,%，…,4.若它们的前机个分量都是相同的，求证：场＜45.

题号12345678910

答案DAACABCBABDAB

题号11

答案ACD

1.D

利用向量的坐标运算求解即得.

【详解】由向量AB=(-2,1),AC=(3,4),得BC=AC-A8=(5,3).

故选：D

2.A

根据给定复数进行除法运算即可得解.

【详解】占2b(l-i)2+2i

=l+i

(l+i)(l-i)2

故选：A

3.A

利用三角形面积公式计算.

【详解】SARC--•AB-AC-sinA=—x1x2xsin—=.

ABC2232

故选：A.

4.C

根据给定条件，利用三角形面积可得30=20。，再利用向量的线性运算求解判断.

【详解】在VABC中，为NBAC的角平分线，AB=2AC,

DCc—AB-ADsinZBAD

BD=SABD=2________________AB

即BD=2DC，

CDSACD-ACADsinZCADAC

2

12

因此A3-AB=2(AC-AO),所以A。=§+§AC.

故选：C

利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.

BCCD/sinp/•sin4

【详解】在△3CD中，由正弦定理得贝!JBC=

sinZBDCsinZCBDsin(兀一a一/)sin(cr+B)

AB/•tan^sin°

在RtZXABC中,tanZACB=所以AB=

~BCsin(a+P)

故选：A

6.B

将向量OK对应的复数表示为z=«cose+isiiie),再由给定信息求出向量。22对应的复数即可.

【详解】设射线。4为终边的角为仇，而|OZJ=J12+22=正,贝I]z]=^(cosq+isina),

兀兀

12r

cos4=-j=,sin0t=-^,z-2i-2(cos—+isin—),

向量OZ?对应复数z?=Z]Z'=2V5[cos(0]+()+isin(a+-^)]=2^/5(-sin+icosq)=-4+2i,

所以向量OZ2的坐标为(Y,2).

故选：B

7.C

作出辅助线，用圆。半径的「表示出C28。，结合已知求出「，再用三角恒等变化求解.

【详解】令圆。切直线2C于点。，连接QD,OB,OC,设圆0半径为r,

依题意，OD1BC,NOBD=-NABD=30,ZOCD=-ZACB=10,

—一22

11

则3—'如力,贝|5。=20,得(-)r=20

tan10tan30

sin30sin10

20--------------------

20tan30tan10lOsinlO

因止匕r二cos30cos10

tan30-tan10sin30sin10sin30cos10-cos30sin10

cos30cos10

_lOsinlO

«x5.076.

sin20cos10----0.985

故选：c

8.B

先确定向量d,5所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值.

【详解】设向量共起点。，由讲一「为+15=0,得(6-3e>S-5e)=0,

DA-3e,DB=5e,DM=b,贝1AM=b-3e,3A/=0—5e,AM-BM=0，

因此点M的轨迹是以线段AB为直径的圆，令圆心为0,则口。卜4,圆。半径为1,

由。与e的夹角为60。，得向量♦的终点在与DO所成角为60。的两条射线上，如图，

而卜-囚是圆。上的点与射线上的点间距离，过。作OC垂直于射线于C,OC=ODsin60=2抬,

所以卜-囚的最小值为26-1.

故选：B

9.ABD

根据给定条件，求出仇a-b的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断.

【详解】由向量a=(2,1),a-6=(4,-3),得6=(-2,4),a+b=(0,5),

对于A,ab=0,则a_/,/?，A正确；

对于B,卜+。|=5,B正确；

对于C,(a+Z?>a=5,则cos〈a+),〃〉=(〃+一)〃=C错误；

\a+b\\a\5V55

对于D,(Q-b).〃=5,向量在，上的投影向量3D正确.

故选：ABD

10.AB

利用复数的乘法、共辆复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD.

［详解］设Z］=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d,

对于A,4Z2=ac-bd+{ad+Z?c)i,则为z2=ac—Z?d—(>i+Z?c)i,

-z2=(a-bi)(c-cK)=ac-bd-(ad^-bc)i=z1z2,A正确；

对于B,|峪|二J(ac-bdf+(ad+bcf=y/c^c2+a1d2+b2d2+b2c2

=yl(a2+Z?2)(c2+^2)=y/a2+b2•Jc「+d「=|4||z2|，B正确；

对于C,取Z]=l+i,Z2=l-i,满足|4|=%|,而z；=2i,z；=-2i,z；wz；,c错误;

对于D,取4=3+3i/2=l—i,2^2=3(l+i)(l-i)=6eR,而4+z2=4+2ieR,D错误.

故选：AB

11.ACD

根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断.

【详解】对于A,由VABC重心为G,得AG=；(AB+AC),

则AGBC=^(AB+AC)-(AC-AB)=|(AC°一ABj=-印A正确；

1.22s12Q

对于B,VABC外心为。，^AOAB=-AB=—,AOAC=-AC=-,

2222

AOBC=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB=-S,B错误；

对于C,由VABC重心为G,得OG=°A+°B+℃,由欧拉线定理得2OG=GH，

3

因此O8=3OG=OA+OB+OC，C正确；

21

对于D,由OH=3OG，MH-MO=3(MG-MO),贝lj=+，

AB+AC=2AM=6GM=4OM+2HM，D正确.

故选：ACD

12.-2

由纯虚数概念可得答案.

【详解】z=(l+i)(a-2i)=a+2+(a—2)i,因z为纯虚数，

〃+2=0

则=>tz=—2.

〃一2wO

故答案为：-2

13.3

运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果.

1121

【详解】由BC=3BD，^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

2121

ffffAB=xAE<AC—yAF,则AB+§AC=§;vAE+3yA_F,

21

又E、。、尸三点共线，则]尤+“=1,所以2尤+y=3.

故答案为：3

2

根据给定条件，利用余弦定理确定△4?。的形状，设/助C=6并结合正弦定理表示出C。，再利用三

角形面积公式求出最大值.

【详解】在中，AB=2AD,NBAO=60。，

由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB-ADCOSABAD=3AD2,

贝11502+">2=.2,ZADB=90°,AB是四边形ABCD外接圆直径，ZACB=90,

设NBAC=e,0<6»<60,贝U8C=ACtan6=4tane,

在.AC。中，ACAD=60-3,ZADC=ISO-ZABC=90+6,

由正弦定理得.4n=.即co，sin（60-。）_4（fcos"gsin。）

sm/CADsmZADCCD-.-—2«3Tan。）

在△38中，ZBCD=nO,SSCfl=|BC-CDsinZBC£>=^-4tan2（^-tan6»）

=2^[|-（tan。-#）2]<孚，当且仅当tan9=日时取等号，

所以△BCD面积的最大值为盟.

2

故答案为：巫

2

15.⑴6。

(2)4+2&?+2近

如图设AE=EC=x,AD=OB=y，利用cos/ADC+cos/CD3=0,cos/AE8+cos/BEC=0结合余弦定理

可得三角形A5c三边.

(1)由余弦定理可得COSA,进而可得sinA,即可得面积；

(2)三边相加可得周长.

【详解】(1)如图，因分别是边AB,AC的中点,

注意至|JZADC+/CD3=7I,ZAEB+ZBEC=TI,

则cosZADC+cosNCDB=0,cosZAEB+cos/BEC=0.

AD2+CD2-AC2BD2+CD2-BC2八

---------------+---------------=0

2ADCD2BDCD

则由余弦定理：＜

AE2+BE2-AB2BE2+CE2一BC2八

2AEBE2BECE

丁+36-4429+36-28

-22

Uy丁一\2y-^(2x-y=22

22

X+9-4/9+X-28八]/_2/=5

---------+---------=0

6x6x

r=AT

解得「一.则在三角形ABC中，AC=2屈,AB=4,BC=2A/7.

[y=2

4笈+4。2—8。216+52-285713

由余弦定理可得cosA=

2ABAC2x4x2至一26

从而sinA=A/1-cos2A=包豆.

26

则三角形A3c的面积为：-AB-ACsinA=-x4x2y/l3x^^-=6y/3；

2226

(2)由⑴易得三角形ABC的周长为AB+AC+8C=4+2&?+2A/7

16.⑴z=2+i

(2)2025

(1)利用复数的模和共轨复数的运算结论代入已知表达式，利用复数相等的条件：实部和虚部相等，建立

方程组求解；

(2)利用错位相减法，结合复数虚数单位的幕的运算求解.

【详解】(1)首先，复数的模长平方"2=〃+加，共轨复数^=a-bi.

代入方程得：/+廿一4(。—历)=一3+4i,

展开并整理实部和虚部：(〃+/-4“)+4历=-3+4i,

Q?+/—4〃=-3

根据复数相等的条件，得到两个方程:

4Z?=4

解得6=1,代入第一个方程：

a1+1-4。=-3,矿—4a+4=0,(a—2)2=0,a=2,

因此，复数z=2+i；

2024

(2)考虑S=Z(〃+l)i".

〃=0

20242025

则is=Z(〃+i『=£"i".

n=0n=l

2024

相减得：5-iS=l+£i"-2O25i2025

n=l

2024ifl-i20241

其中，—-_L=0(因为i2024=l),且j2025=i。

n=\l-i

因此：S(l-i)=l-2025i

解得：s=Rl=(l一2。25讥1+。=。26-2。24」0]3_皿方,

l-i22

因此，z=1013-1012i,即〃=1013,Z?=-1012,

故a—匕=1013—(—1012)=2025.

17.(1)证明见解析

⑵4=1

(3)m=9

(1)计算仞，观察的与川的关系，即可得到结论；

(2)根据向量共线的条件，利用向量共线定理，求得；

(3)计算“+8和"也一匕的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得.

【详解】(1)AD=A2+3C+CD=(a+26)+(“+86)+(2a-26)=4a+86,

所以AD=4a+86=4（o+26）=4AB,贝I］有ADUAB，

又AD与AB有公共点A,因此A,B,D三点共线.

（2）由于v,和v；共线，存在实数2使得：v1=2v；

Azz+b和〃+（2—左）Z?共线，有%+/?=Xa+2（2—左）Z?,

［k=A

则有［1=4（2/，解得『=1，

所以k=1.

（3）Q=（2,1）/=（-3,2）,

则a+b=（-1,3）,ma-b=m（2,1）-（-3,2）=（2m+3,m-2）,

由（Q+Z?）JL（w〃一。）,

则（a+b）•（加7-〃）=（一1）（2根+3）+3（m-2）=0,解得根=9.

18.（呜

（2）10-73

小、166

3

（1）由正弦定理边角互化结合三角函数和差角公式可得答案；

（2）由三角形面积及内切圆的半径可得人+。=20-°,由三角形面积及（1）可得知="叵，最后结合余

3

弦定理可得答案；

TT

（3）如图由几何知识可设NED5=〃，贝！JZTOC=§-6,据此可得面积表达式，然后由两角和的正切公式

结合基本不等式取等条件可得答案.

【详解】（1）由正弦定理边角互化可得：

acosC+y/3asinC=Z7+c=>sinAcosC+石sinAsinC=sinB+sinC

又sini3=sin（A+C）,贝!JsinAcosC+6sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

从而J5sinAsinC=cosAsinC+sinC，结合sinC>0,

则遭sinA-cosA=ln2sin（A-二］=ln4-二=&或4一二=史（舍去）.

<6J6666

故A=g.

(2)因三角形ABC的面积为S=10,内切圆的半径为尸=1.

则S=g(a+Z?+c)r=10na+Z?+c=20,贝!Jb+c=20-a.

又由(1),5=—bcsinA=叵…nbcM

243

0+耳22(〃(20—“)-

3

则由余弦定理：cosA=

2bc2bc8082,

3

400-40。3

----------)80。=800-804=。=10-百

化简后可得：806一2

3

(3)如图，过。点做A3,AC垂线，垂足为E,F.

7EIT

由(1)可得N5AC=—,则N5AO=NG4O=—,

36

又由角平分线性质可得DE=DF=ADsin-=2,AE=AF=ADcos-=2A

66

TT

又注意至I]ZAEF+ZEDF+ZDFA+ZFAE=n,ZAEF=ZDFA=-,

9ITITjr

则/西产二一n/EDB+FDC=—，设/EDB=6,贝!JZTOC=——0.

333

71

又DE=DF=2,则3石=2tan<9,FC=2tan。淇中

故三角形A3c面积为：；AHACsinA=¥(2/+2tan@273+2tan

G(V5+tan。)\/3+tan^-3=63+7^tan6+石tan1]_e)+tanetan1]_e).

3

71<„(7711„

注意到tane+tan]0-0=tan—1一tan8tan—6=s/3-y/3tan0tan[^-0].

33

则s=66-2tanetan《-q.要使S最小，则需使tanOtanS-。)最大.

3

注意到tanO>O,tan|J-q>。，则由基本不等式取等条件可得,

兀己,兀一卜§1.

要使tan6tan最大，需满足tan6>=tan8)=>6=tan8tan(g6

33

仁-°辰-16代jr

则S=66-2tan0tan