人教A版高二数学讲义：直线的交点坐标与距离公式（九大题型）

2.3直线的交点坐标与距离公式

目录

【思维导图】...................................................................2

【知识点梳理】.................................................................2

【典型例题】...................................................................4

题型一：判断两直线的位置关系...................................................4

型:过两条直线乂点的直线系方程.6

题型二•交占问题8

题型四：对称问题..............................................................11

考点1:点点对称...............................................................11

考点2：点关于直线对称.........................................................12

考点4：直线关于直线对称.......................................................16

题型五：两点间的距离..........................................................19

题型六：点到直线的距离........................................................20

题型七：两平行直线间的距离....................................................22

题型九：线段和与差的最值问题..................................................28

【题型归纳目录】

题型九：线段和与差的最值问题

题型二：过两条直线交点的直线系方程

题型八：距离问题的综合灵活运用

题型三：交点问题

题型七：两平行直线间的距离

题型四：对称问题

题型五：两点间的距离

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一：直线的交点

求两直线4元+耳y+G=。（A旦c产。）与Ax+82y+C2=0（&BC卢0）的交点坐标，只需求两直线方程

联立所得方程组+?=?的解即可.若有4=竺=6，则方程组有无穷多个解，此时两直线重

[A2x+B^y+C^=0A,B2C2

合；若有＜L=则方程组无解，此时两直线平行；若有刍/空，则方程组有唯一解，此时两直

%B2c24B2

线相交，此解即两直线交点的坐标.

知识点诠释：

求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.

知识点二：过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除

含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取法不同，从而得到

不同的直线系.

过两直线的交点的直线系方程：经过两直线/］：4%+qy+£=0,LAx+与y+G：。交点的直线方程

为4彳+与丫+£+〃&尤+与＞+6）=0,其中x是待定系数.在这个方程中，无论4取什么实数，都得不到

A.x+B.y+Q=0,因此它不能表示直线6.

知识点三：两点间的距离公式

两点月（占,%）,1（无2,%）间的距离公式为由固=%）？+（%—乂＞.

知识点诠释：

此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平

行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与

圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.

知识点四：点到直线的距离公式

点P5,%）到直线Ax+By+C=0的距离为d=出。+''+。.

VA2+B2

知识点诠释：

（1）点尸（%,为）到直线Ax+By+C=0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离；

（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

知识点五：两平行线间的距离

本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一

条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线Ax+By+G=0与直线—+为+仁=0的距离为

VA2+B2

知识点诠释：

（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点

一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；

（2）利用两条平行直线间的距离公式d=隼二^时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直

A/A2+B2

线中x,y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.

【典型例题】

题型一：判断两直线的位置关系

【典例11］（2024•高二.全国.单元测试）已知直线/"（x,y）=0,P&,%）是直线/外一点，那么直线

/（x,y）-/（%,%）=。（）

A.过点尸且与直线/斜交

B.过点P且与直线/重合

C.过点P且与直线/平行

D.过点尸且与直线/垂直

【答案】C

【解析】尸（%,％）在直线外,所以％）工0,

方程/（x，y）=。与/■（%/）-/（毛，％）=0两变量的系数完全相同，而〃玉,为片0,即常数项不同，

它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，

又〃不，%）-『（%％）=°，所以直线/（工4）-/（知%）=0必过点尸，所以直线过点尸且与直线/平行.

故选：c

【典例12］（2024.高二.全国.专题练习）曲线y=|x|与>=丘+1的交点的情况是（）

A.最多有两个交点B.两个交点

C.一个交点D.无交点

【答案】A

【解析】联立两条直线方程得：I得到忖=履+1,两边平方得：42—卜2+2履+1=0,当42—1力0

即左*±1时，一=2F—4（左2—1）=4>0,得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点.当

后=±1时，得到y=±x+l,与曲线只有一个交点.所以曲线>=同与>=履+1的最多有两个交点.

故选：A

【方法技巧与总结】

分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意.

f2x+y=1

【变式1。（2024・高一•河北石家庄•期末）若关于羽y的方程组,1无解，则根=（）

［x-\-my=l

A.—B.—C.2D.—2

22

【答案】A

【解析】由题，直线2x+y=l与x+zny=1平行，故2加-1=0=机=；.

故选：A

【变式12]（2024・高二.浙江台州•期中）4（1，4）,鸟（电也）是直线>=丘+1（人为常数）上两个不同的点，则

axx+bxy=\

关于x和y的方程组的解的情况是（)

a2x+b2y=1

A.无论匕勺,£如何，总是无解

B.无论左鸟如何，总有唯一解

fx=1

C.存在人,[,鸟，使.是方程组的一组解

一[y=2

D.存在左,匕鸟，使之有无穷多解

【答案】B

ffe=fax+1

【解析】由题意,,,则伪=4（叔^+1）-。2（31+1）=%-。，，

也-他+1

\a.x+b,y=1

,直线>="+1的斜率存在，;。尸。2，；•方程组《,，总有唯一解.A,D错误，B正

\a2x+b2y=l

确；

[x=l[a,+2Z?.=1—11

若。是方程组的一组解，贝|JJ/则点（〃*）,（生也）在直线x+2y=l,即y=-H+：上，但

[y=2[a2+2b2=l22

fx=]

已知这两个在直线y=^+i上，这两条直线不是同一条直线，.不可能是方程组的一组解，c错误.

[y=2

故选：B.

4,f4x+my—m+2=0

【变式13]（2024.高二.上海.课后作业）若关于x的二元一次方程组•有无穷多组解，则

\mx+y+m=（）

m=

【答案】-2

14x+my—m+2=0..

【解析】依题意二元一次方程组C有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由

[mc+y+m=（J

4xl=mxm,解得m=2或根=一2.

当加=2时，二元一次方程组为《[4x+2>y=20=『1[22x中+y=+02=。,两直线不重合,不符合题意•

4x-2y+4=02x—y+2=0

当机=-2时，二元一次方程组为两直线重合，符合题意.

—2x+y—2—02x-y+2=0

综上所述，机的值为-2.

故答案为：—2

一\lx-by=3

【变式14]（2024.高二.上海徐汇・期中）关于x、y的二元一次方程组/个有无穷多组解，则，与人

[cuc+5y=2

的积是—.

【答案】35

[lx-by=3

【解析】由x、y的二元一次方程组/。有无穷多组解，则直线7x-勿=3与直线依+5y=2重合求

⑷+5y=2

[lx—by=3

解.因为x、y的二元一次方程组/c有无穷多组解，

[ax+jy=2

所以直线7x-加=3与直线依+5y=2重合，

所以，7=—6T3=解得。=:14涉=一1弓5，

a5232

所以何=—35,

故答案为：35

题型二：过两条直线交点的直线系方程

【典例21]（2024•高二・全国•课后作业）过两直线4：x-3y+4=O和4：2x+y+5=。的交点和原点的直线方

程为（）

A.3xl9y=0B.19x3y=0

C.19元+3y=0D.3尤+19y=0

【答案】D

【解析】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+4（2x+y+5）=0,

代入原点坐标，得4+52=0,解得2=-:，

4

故所求直线方程为x-3y+4-/+y+5）=。，即3x+19y=0.

故选：D.

【典例22]（2024•高二・重庆•阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=。的交点，且在两坐标轴上

的截距相等的直线方程为（）

A.x+y+l=0B.x-y+l=0

C.x+y+l=0或3x+4y=0D.x-y+l=0或尤+y+l=0

【答案】c

【解析】设直线方程为3%+2y+6+〃2%+5y—7）=。，

即（3+2Z）x+（2+52）y+6-74=0

74—6

令x=0,得丁二

2+52

72-6

令y=。，得片

3+2A

卫士口

2+523+2%'

得号或2='.

所以直线方程为无+y+l=O或3x+4y=0.

故选：C.

【方法技巧与总结】

直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注

意掌握和应用.

【变式21］（2024.高二.安徽马鞍山.期中）平面直角坐标系xQy中，过直线4：7x-3y+l=O与

小x+4y-3=。的交点，且在y轴上截距为1的直线/的方程为.（写成一般式）

【答案】9x+5y-5=O

【解析】由题设，令直线/的方程为7x-3y+l+〃x+4y-3）=O,且直线过（0,1）,

所以0-3+l+4（0+4-3）=0n4=2,故直线/的方程为9x+5y-5=0.

故答案为：9x+5y-5=0

【变式22］（2024•高二•湖北武汉•阶段练习）过两直线2023x-2022y-l=0和2022x+2023y+l=0的交点

且过原点的直线方程为.

【答案】4045x+y=0

【解析】令所求直线为2O23x-2022y-1+2（2022%+2023y+1）=0,

又直线过原点，贝1］一1+彳=0=2=1,

所以所求直线为4045x+y=0.

故答案为：4045x+y=0

【变式23】（2024.高二.安徽六安.期中）已知两直线%x+bj-l=0和电尤+3-1=0的交点为2（1，2）,则过

Qi（q，4）,。2（出也）两点的直线方程为.

【答案】x+2y-l=0

【解析】依题意两直线小+刈-1=0和2x+%y-i=o的交点为尸（1,2）,

所以4+26]-1=0,g+2/72—1=0,Q1,Q2在直线x+2y—1=0k,

所以过0（44）,2（出也）两点所在直线方程为x+2y-i=。.

故答案为：x+2y-l=0

【变式24】（2024.高二.全国•课后作业）设直线/经过2尤一3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴

围成等腰直角三角形，则直线/的方程为.

【答案】彳-丫-4=0或尤+y-24=0

2x-3y+2=0x=14

【解析】方法一：由,得

3%—4y—2=0)7=10

所以两条直线的交点坐标为（14,10）,

由题意可得直线/的斜率为1或1,

所以直线/的方程为y—10=尤-14或y—10=—（X-14）,

即x-y-4=0或无+y-24=0.

方法二：设直线/的方程为（2x—3y+2）+2（3x-4y_2）=0,整理得（2+3X）x-（4X+3）y—2X+2=0,

O1O0c

由题意，得J^=±l,解得4=-L或九=一三，

3+427

所以直线/的方程为彳7-4=0或尤+y-24=0.

故答案为：无一丫一4=0或尤+y-24=0.

题型三：交点问题

【典例31］（2024.高一•甘肃武威•阶段练习）若一次函数＞=2》+6与、=依的图象的交点纵坐标为4,贝必

的值是（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】因为一次函数、=21+6与＞=履的图像的交点纵坐标为4,

所以，当y=4时，代入一次函数y=2x+6中，得x=_i.

所以，交点坐标（-1,4）.

将交点坐标（一1,4）代入y=履中，得左=T.

故选：A.

【典例32］（2024.高一.全国.课后作业）若曲线y=HX&y=x+M左＞0）能围成三角形，则左的取值范围

是（）

A.0〈左＜1B.0＜?t＜lC.k＞lD.k＞l

【答案】C

【解析】曲线y=由两条射线构成，它们分别是射线＞=-履,xw。及射线＞=履,x＞。.

y=-kx

因为方程,〉=%+上的解x=-Jy,故射线y=-履,与直线y=x+左有一个交点；

k+\

x＜0

y=kx

若曲线〉=左国及〉=彳+左任＞0）能围成三角形，则方程y=x+A必有一个解，

x＞0

故％=----＞0,因止匕左＞1,选C.

k-\

【方法技巧与总结】

直接联立两直线方程，解方程即可.

【变式31］（2024•高二•全国•课堂例题）直线3元一（左+2）y+k+5=0与直线"+（2k-3）y+2=0相交，则实

数上的值为（）

A.左wl或左w9B.左片1或左关—9

C.上片1且左w9D.左片1且左片一9

【答案】D

［解析］由直线3x-（%+2）y+左+5=0与直线日+（2左一3）y+2=0相交，得3（2左一3）_"—（左+2）］片0,

即（左+9）（左一1）片0,解得上工1且无w—9,

所以实数上的值为左wl且发力一9.

故选：D

【变式32］（2024.高二•全国•课后作业）若y=a|x|与〉=x+a（a>0）的图形有两个交点，贝巾的取值范围

是（）

A.a>lB.0<a<lC.0D.0<a<l或。>1

【答案】A

【解析】>="1x1表示关于y轴对称的两条射线，

y=x+a（a>0）表示斜率为1,在V轴上的截距为a（a>0）的直线,

根据题意，画出大致图形，如下图，

若y="|x|与y=x+。的图形有两个交点，且。>0,则根据图形可知。>1.

【变式33］（2024・高二・吉林延边•期中）过两条直线4：x+2y-4=0,4：2x-y-3=0的交点，且与直线

x+3y+l=。垂直的直线的方程为（）

A.3%—y—5=0B.6元-2y-3=0

C.x-3y+3=0D.3尤+y-7=0

【答案】A

x+2y-4=0/"尤=2

【解析】由2x—y—3—0'ejy=]

设与直线x+3y+l=0垂直的直线的方程为3x-y+m=。，则

3x2—1+m=0,得〃？=—5,

所以所求直线方程为3x-y-5=0.

故选：A

【变式34］（2024•高二・上海•期中）直线4：7了+2，+1=。』2：〃a+丫=04：尤+7町-1=。，若三条直线无法构

成三角形，则实数旭可取值的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

7

【解析】①"4时，则2m=7x1,解得加=；,经检验符合题意；

②时，贝47a=2*1,解得经检验符合题意；

③时，贝1」病=卜1,解得加=±1,经检验符合题意；

m-2m=-4

7x+2y+1=0

11

④三条直线交于一点■mx+y=0,解得，尤=一§或<x=-----

15

x+my-1=0

24

y=—

13r15

则实数小可取值的集合为-U，2,-41,即符合题意的实数加共6个.

故选：D

【变式35］（2024・高一•全国.单元测试）若直线y=x+2左+1与直线y=-;x+2的交点在第一象限，则

实数上的取值范围是（）

一_工_r_2J__

C.__2，-2_D.__5,2_

【答案】A

2—4%

y=x+2k+lx=--------

3‘2—4左2k+5、

【解析】1即交点为1

y=——x+22k+5、3'3Y

[2y=--------

/3

351

因为交点在第一象限，所以方1

-------->0

3

故选：A

题型四：对称问题

考点1:点点对称

【典例41](2024・高二.全国.单元测试)己知不同的两点尸3-圾。(6+1,。-1)关于点(3,4)对称，则必

【答案】-14

。+Z?+1.

------二3

2a+b=5a=7

【解析】由题意知‘解得b=-2,故"=T4.

a-b-l,a—b=9

----------=4

2

故答案为：-14

【典例42](2024.高二.全国.专题练习)点A(5,8),B(4,1),则A点关于8点的对称点C的坐标

为

【答案】(3,-6)

【解析】设C(x,y),由A(5,8),B(4,1)且B点是A,C的中点,

x+5.

------=4

2x=3

所以解得

y+81y=-6

12

所以C的坐标为(3,-6).

故答案为：(3,-6)

【变式41](2024・高二.全国•课后作业)已知点A(x,5)关于点(l,y)的对称点为(-2,-3),则点尸(x,y)到原点

的距离是()

A.2B.4C.5D.V17

【答案】D

--27

2\x=4

【解析】由题可知：,。n।

5-3[y=l

[---2---=--y-，

所以点尸(羽y)到原点的距离是旧

故选：D

【变式42](2024・高二・江苏宿迁・开学考试)已知点A(x,2)与3(-3,y)关于坐标原点对称，则x+y等于

A.5B.1C.-5D.-1

【答案】B

【解析】由4x,2）与2（-3»）关于坐标原点对称，则x=3,y=-2,

所以尤+y=l.

故选:B

考点2：点关于直线对称

【典例51］（2024•高二・福建宁德•阶段练习）一条光线从P（6,4）射出，经直线y=x-l后反射，反射光线经

过点。（2,0）,则反射光线所在直线方程为.

【答案】5尤-3>-10=0

【解析】设尸关于的对称点尸（0力），

b-4,

则有：一?°，解得。=5/=5,即P，（5,5）,

Z?+4a+61

=1

［2--------2

反射光线所在直线为PQ：月==，

5-05-2

整理得：5x-3y-l0=0.

故答案为：5%-3y-l0=0

【典例52］（2024.高二.山东泰安.期末）点P（2,3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为（）

A.（一3,—2）B.（一2,—3）C.（—5,—4）D.（T,—5）

【答案】C

【解析】由题意，

在直线x+y+2=0中，斜率为T,

垂直于直线x+y+2=0且过点尸（2,3）的直线方程为丁-3=以（尸2）,即y=x+l,

设两直线交点为A,

3

y=x+l

由x+y+2=。,解得：

A14]

.•.点P（2,3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为P，|x2_2,_；x2_3

即P（-5T）,

故选：C.

【变式51】点P（2,5）关于直线尤+y=l的对称点的坐标是（）

A.（-5,-2）B.（T,-1）C.（-6,-3）D.（T,—2）

【答案】B

【解析】设点尸（2,5）关于直线x+y=l的对称点。的坐标为（加,〃），

则由题意可得3〃+5”一一1.

-------+-------=1

I22

故答案为：B.

【变式52］（2024•高二.江苏南京•阶段练习）已知点A（5,7）与点B关于直线/：y=x+l对称，则点B的坐标

为（）

A.（7,6）B.（4,7）C.（6,-7）D.（6,6）

【答案】D

7+y5+x1

【解析】设3（x,y）,则A3的中点是（彳,卓］,则由题意可得22,解得卜'=，，即

I22）y-7=］［y=6

.x-5

3（6,6）,

故选：D.

【变式53］（2024.高二・江苏泰州•阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1,点P是边A3上异

于A,8的一点，光线从点尸出发，经BC,C4反射后又回到点P,如图所示，若光线。氏经过VABC的

重心G,则AP的长度为.

【答案】|

【解析】以A为原点，钻,AC分别为轴建立平面直角坐标系,

贝ij直线BC方程为尤+y-l=O,

设尸(a,0)关于y和直线BC的对称点分别为N,M,则N(-a,0),

%一

01

x-a

记贝卜0解得“),

血士/&-1=0

22

因为G为VA3C的重心,A(0,0),B(l,0),C(0,l),所以

由光的反射原理可知，M,N,G三点共线，所以左MN=^G，

I

即F=解得。=0(舍去)或。

3

1+。l+a

3

考点3：直线关于点对称

【典例61](2024•高二・全国•课后作业)直线2x+5y-3=0关于点M(-l,2)对称的直线方程是

【答案】2尤+5y—13=。

【解析】设对称直线为/'：2x+5y+G=0,

|8+C0|-2+5x2-3

贝！J有/=---/

A/22+52■2

解这个方程得£)=-3(舍)或C°=T3.

所以对称直线/'的方程中2x+5y-13=0

故答案为：2%+5j-13=0

【典例62](2024•高一•宁夏银川•期末)直线x-2y-3=。关于定点"(-2,1)对称的直线方程是

【答案】x-2y+U=0

【解析】在直线上取点尸(3,0),点尸关于河(-2,1)的对称点为P(-7,2)

过P'与原直线平行的直线方程为x-2y+11=0,即为对称后的直线.

故答案为：x-2y+ll=0

【变式61］（2024•高一・江西抚州•期末）与直线/：x-2y+3=0关于原点对称的直线的方程为.

［答案］x-2y-3=0

【解析】若（x,y）在直线/关于原点对称的直线方程上，则（f-y）在/:x-2y+3=0上，

+2y+3=0,—2y—3=0.

故答案为：x-2y-3=0

【变式62】（2024•高二・四川泸州•阶段练习）直线/与《关于点（1，T）成中心对称，若/的方程是

2x+3y-6=0,则/，的方程是

【答案】2x+3y+8=0

【解析】在直线人上任取一点A（x,y）,

则A关于点（1,-1）对称点B（2r,-2-y）一定在直线/:2无+3y-6=0上，

故有2（2—无）+3（—2—y）—6=0,即2x+3y+8=0.

故直线/的方程为2尤+3y+8=0.

故答案为：2x+3y+8=0.

【变式63］（2024.高二.黑龙江哈尔滨•阶段练习）直线x-2y+3=0关于点（1,1）对称的直线方程

为.

【答案】x-2y-\=Q

【解析】在对称的直线方程上任取一点尸（x,y）,根据点对称性可得（2-x,2-y）在直线x-2y+3=0上，代

入即可求解.设直线x-2y+3=0关于点（1,1）对称的直线方程为广，

在/'上任取一点尸（尤广），

则点P关于点（U）对称的点P'的坐标为（2-x,2-y）,

由题意可知点P在直线x-2y+3=0上，

故（2—x）—2（2—y）+3=0,整理可得x-2y—l=0.

故答案为：x-2y-\=Q

【变式64］（2024.高三.全国.专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线/沿尤轴正方向平移3个单位长

度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线〃.再将直线//沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负

方向平移2个单位长度，又与直线/重合.若直线/与直线//关于点（2,3）对称，则直线/的方程

是.

【答案】6x-8y+l=0

3

【解析】根据平移得到。：y=k（x-3）+5+。和直线：＞=区+3—4人+儿解得左=了，再根据对称解得

b=:，计算得到答案.由题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为＞=履+6,

O

则直线/八y=k（x—3）+5+0,平移后的直线方程为y=Z（x—3—1）+Z?+5—2

,3

即》=丘+3—4左+。，.•・。=3—4女+。，解得％=i,

・•・直线/的方程为丁=:3无+。，直线"为311

取直线/上的一点尸（九土加,则点尸关于点（2,3）的对称点为14-m,6-6-1•加

33111

6—b——m=—（4-m）+Z?d—,解得力=一.

44V748

31

・・・直线/的方程是y=,即6x—8y+l=0.

48

故答案为：6x-8y+l=0

考点4：直线关于直线对称

【典例71］（2024•高三.全国.专题练习）已知直线:x-y+3=0,直线/:x-y-l=0,若直线乙关于直线/

的对称直线为12,则直线4的方程为

【答案】x-y-5=0.

【解析】由题意知〃4,设直线个犬―y+m=o（〃*3,〃--i）,在直线4上取点”（0,3）,

设点M关于直线/的对称点为川（。力）,

6-3

xl=-l

a

则《解得a=41=-L,即

Q+0Z?+3

---------------------1二0

.22

将M（4,—l）代入4的方程得4+l+m=0,/n=-5,

所以直线4的方程为x-y-5=o.

故答案为：x-y-5=0

【典例72］（2024•高二.广东佛山•期中）直线2尤+y-5=0关于直线y=x+3的对称直线的方程

为.

【答案】x+2y-8=0

【解析】设Q,y）为所求直线上一点，它关于'=芯+3的对称点为（%,%）,

。一%=-1

元o=y-3

可得

__x+x.%=x+3

0+3

,22

由题可得（%，%）在直线2元+〉-5=0上,

所以2(y—3)+(x+3)—5=0,整理可得所求的对称直线方程为x+2y-8=o.

故答案为：x+2y-8=0.

【变式71】(2024・高二.河南•阶段练习)若直线y=；x+l与直线x+〃?y+"=0关于x轴对称，贝口〃=

【答案】4

【解析】直线y=；x+l的斜率N与x轴交于点A(-2,0).

直线y=gx+l与直线x+〃?y+"=0关于x轴对称

直线y=gx+l与直线x+冲+〃=。的倾斜角互补，且与x轴相较于同一点4(—2,0)

-2+n=0

m=2

加w0,解得八,贝!mJn=4.

n=2

1J_

m2

故答案为：4.

【变式72](2024.高三.全国.专题练习)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是

［答案］x-2y+3=0

【解析】设所求直线上任意一点尸(x,y),

点尸关于x-y+2=0的对称点为P\x0,%),

:点尸'(xo,加)在直线2x—>+3=0上,

•••2(y—2)—(x+2)+3=0,

即x—2y+3=0.

故答案为：x-2y+3=0

【变式73]（2024•高三.全国.专题练习）直线尤+3y-l=0关于直线尤-y+l=0对称的直线方程是

【答案】3元+y+l=0

1

X二——

x+3y-l=02

【解析】联立X7+1=O，解得

1

y=—

2

即两直线的交点为M

在直线x+3y-l=。上取一点P（l,0）,

设点P关于直线彳-，+1=。的对称点为2（加，〃），

m+1n1小

-----------+l=0

m=­l

则，解得,即Q(T2).

n=2

------xl=-l

、机一l

所以直线M2的方程为=———(x+l),

-2-(T)

即3x+y+l=0.

故答案为：3无+y+l=0.

【方法技巧与总结】

（I）点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P（X],%）关于点Q（x0，%）的对称点为尸'（无2，%）,则根据

X,+X,

^o=­Z—

中点坐标公式，有

可得对称点P（%，%）的坐标为（2%一百，2%-%）

（2）点关于直线对称

点与不，%）关于直线/：4+3y+c=o对称的点为尸'（无2,方），连接尸P，交/于M点，贝U/垂直平分

kt-kpp,=—I

PP',所以PPUL且M为尸P中点，又因为M在直线/上，故可得r+x,X+%，解出

A-——-+B—~—+C=0

I22

（元2，%）即可.

（3）直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出

直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

（4）直线关于直线对称

求直线（：依+by+c=O,关于直线个心+ey+/=O（两直线不平行）的对称直线4

第一步：联立《，4算出交点尸（七，％）

第二步：在4上任找一点（非交点）。（西，芳）,利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点。'（9，％）

第三步：利用两点式写出4方程

题型五：两点间的距离

【典例81］（2024・高二•全国•课后作业）三角形的三个顶点为A（2,-l）,以-1,3）,则的长为（）

A.3B.5C.9D.25

【答案】B

【解析】根据题意，利用两点间的距离公式，可得的长为|阴="（2+1）2+（-1-3）2=5,

故选：B

【典例82］（2024.高一・贵州遵义・期末）已知A（l,2）,B（2,3）,C（-2,5）,则三角形ABC的面积为（）

A.3B.5C.7D.8

【答案】A

［解析］|AB\=7（2-1）2+（3-2）2=A/2,|BC|=J（-2-2了+（5-3）2=回=2小,

\AC|=7（-2-1）2+（5-2）2=屈=36，

AC『+|AB『=|8C『，所以三角形ABC为直角三角形，

.-.S=-X3V2X72=3,

2

故选：A.

【方法技巧与总结】

两点4（芯,X）,£（尤2,%）间的距离公式为由EI=%）2+（%—乂）2.

【变式81］（2024.高二.福建厦门•期中）以点A（-3,0）,B（3,-2）,C（-l,2）为顶点的三角形是（）

A.等边B.等腰直角C.等腰D.直角

【答案】D

【解析】计算出VABC三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状.由已知可得

\AB\=J（-3_3）2+（0+2）2=2回,|AC|=^（-3+1）2+（0-2）2=272,

\BC\=7（3+l）2+（-2-2）2=472,所以，=|AC『+忸C「.

因此，VABC为直角三角形.

故选：D.

【变式82］（2024.高一・湖南.开学考试）直线>=丘+匕经过点（1,8）,且被两坐标轴截得的线段长为5班,

则上的所有可能取值之和为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】C

【解析】由题意，因为直线>=履+6经过点（L8）,

所以k+Z?=8,贝!j直线丁=辰+8—左.

令％=0,则y=8-左,

Q

令y=。，贝!Jx=l一7.

k

则（8—左）2+（1—当2=（5石）2,

k

化简得左4一16左3—60左2-16左+64=0,

即（左+2）次3_18/-24k+32）=0,

即（左+2）2（左2-20Z+16）=0.

解得左=-2或左=10+2®或左=10-2®，

故k的所有可能取值之和为18.

故选：C.

题型六：点到直线的距离

【典例91］（2024•高二•全国•随堂练习）点（1,1）到直线3x+