2025版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第3讲课后作业理含解析

PAGEPAGE1第11章算法复数推理与证明第3讲A组基础关1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)c＝a(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m||n|”类比得到“|a·b|＝|a||b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵向量的数量积满意交换律，∴①正确；∵向量的数量积满意安排律，∴②正确；∵向量的数量积不满意结合律，∴③不正确；∵向量的数量积不满意消去律，∴④不正确；由向量的数量积公式，可知⑤不正确；∵向量的数量积不满意消去律，∴⑥不正确；综上知，正确的个数为2个，故B正确．2．在用演绎推理证明通项公式为an＝cqn(cq≠0)的数列{an}是等比数列的过程中，大前提是()A．an＝cqnB.eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)C．若数列{an}满意eq\f(an＋1,an)(n∈N*)是常数，则{an}是等比数列D．若数列{an}满意eq\f(an＋1,an)(n≥2)是常数，则{an}是等比数列答案C解析证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为eq\f(an＋1,an)(n∈N*)或eq\f(an,an－1)(n≥2)是常数．3．(2024·江西南昌模拟)已知13＋23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2,13＋23＋33＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2,13＋23＋33＋43＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝()A．8B．9C．10D．11答案C解析视察所供应的式子可知，等号左边最终一个数是n3时，等号右边的数为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝3025，则eq\f(nn＋1,2)＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．4.(2024·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为()A．3B．5C.eq\f(5\r(21),7)D．3eq\r(5)答案B解析利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d′＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，所以点(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝eq\f(2＋8＋2＋3,\r(1＋4＋4))＝eq\f(15,3)＝5.5．将自然数0,1,2，…依据如下形式进行摆列：依据以上规律判定，从2024到2024的箭头方向是()答案B解析看作一个循环体，又因为2024＝504×4.所以从2024到2024的箭头方向是.6．(2024·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程eq\r(2＋x)＝x确定x＝2，则1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1－\r(5),2)答案C解析1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(5),2)舍去))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故选C.7．(2024·陕西一模)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故选C.8．(2024·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝________.答案2πr4解析在二维空间中，圆的二维测度(面积)S＝πr2，则其导数S′＝2πr，即为圆的一维测度(周长)l＝2πr；在三维空间中，球的三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，则其导数V′＝4πr2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝2πr4.9．(2024·重庆调研)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后相互交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最终读的书与丙读的其次本书相同．”乙说：“我读的其次本书与甲读的第一本书相同．”依据以上说法，推断乙读的最终一本书是________读的第一本书．答案丙解析因为共有三本书，而乙读的第一本书与其次本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最终一本书是丙读的第一本书．10．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax的图象上随意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上随意不同的两点，则类似地有______________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)解析由题意知，点A，B是函数y＝ax的图象上随意不同的两点，该函数是一个改变率渐渐变大的函数，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数y＝sinx(x∈(0，π))，其改变率渐渐变小，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2).B组实力关1．已知从1起先的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，其次行为3,5，第三行为7,9,11，第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比如a3,2＝9，a4,2＝15，a5,4＝23，若ai，j＝2024，则i＋j＝()1351197131517192927252321……A．64B．65C．71D．72答案C解析依据数表排列可得，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝eq\f(i1＋i,2)个奇数，所以第1行到第44行末共有990个奇数，到第45行末共有1035个奇数，又(2024＋1)÷2＝1010，即2024是第1010个奇数，所以2024在第45行，即i＝45.因为第45行第一个奇数是整体数表的第991个数，即为991×2－1＝1981，所以1981＋2(x－1)＝2024，解得x＝20，又第45行奇数从右到左依次递增，所以j＝45＋1－20＝26，所以i＋j＝71.2．已知f(x)＝eq\f(2x,2－x)，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)，则m＝()A．9B．10C．11D．126答案B解析由题意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,2－x)))＝eq\f(2×\f(2x,2－x),2－\f(2x,2－x))＝eq\f(x,1－x)，同理可得，f3(x)＝eq\f(x,1－2x)，f4(x)＝eq\f(x,1－4x)，f5(x)＝eq\f(x,1－8x)，…，fn(x)＝eq\f(x,1－2n－2x)，由fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式为()A．Sn＝eq\f(2n,n＋1) B．Sn＝eq\f(2n－1,n＋1)C．Sn＝eq\f(2n＋1,n＋1) D．Sn＝eq\f(2n,n＋2)答案A解析∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝eq\f(n2,n2－1)·Sn－1，又S1＝a1＝1，则S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5).∴猜想得Sn＝eq\f(2n,n＋1)，故选A.4．(2024·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的成果，给丁看甲的成果．看后甲对大家说：我还是不知道我的成果．依据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成果B．丁可以知道四人的成果C．乙、丁可以知道对方的成果D．乙、丁可以知道自己的成果答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成果”可推知甲看到乙、丙的成果为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成果，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成果．丁看甲的成果，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成果．故选D.5．(2024·黑龙江检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则________________成等比数列．答案T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)解析设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝beq\o\al(4,1)q6，T8＝beq\o\al(8,1)q1＋2＋…＋7＝beq\o\al(8,1)q28，T12＝beq\o\al(12,1)q1＋2＋…＋11＝beq\o\al(12,1)q66，T16＝beq\o\al(16,1)q1＋2＋…＋15＝beq\o\al(16,1)q120，∴eq\f(T8,T4)＝beq\o\al(4,1)q22，eq\f(T12,T8)＝beq\o\al(4,1)q38，eq\f(T16,T12)＝beq\o\al(4,1)q54，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．6．如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有eq\f(S△PAB,S△PCD)＝eq\f(PA·PB,PC·PD)(其中S△PAB，S△PCD分别为△PAB，△PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有eq\f(VP－ABE,VP－CDF)＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分别为四面体P－ABE，P－CDF的体积)．答案eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF)解析设PM与平面PDF所成的角为α，则A到平面PDF的距离h1＝PAsinα，C到平面PDF的距离h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝eq\f(1,3)S△PBE·h1，VP－CDF＝VC－PDF＝eq\f(1,3)S△PDF·h2，∴eq\f(VP－ABE,VP－CDF)＝eq\f(\f(1,3)S△PBE·h1,\f(1,3)S△PDF·h2)＝eq\f(\f(1,3)PB·PE·PAsinα,\f(1,3)PD·PF·PCsinα)＝eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF).7．如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠