广东省茂名市电白区2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

广东省茂名市电白区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量，.若，则实数（

）A． B．9 C．1 D．2．的值是（

）A． B． C． D．3．式子的值为（

）A． B． C． D．4．已知向量，则（

）A． B．10 C． D．5．在中，，，，则（

）A． B． C． D．6．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（

）A． B． C． D．7．如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（

）A． B．C． D．8．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的取值范围是（

）A． B． C． D．9．为了得到函数的图象，可将函数的图象上的点（

）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度二、多选题10．下列命题是真命题的是（

）A．在正方形ABCD中，B．的模长为0C．若，则向量是单位向量D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同11．已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（

）A．是的一个周期 B．在上有7个零点C．的最大值为3 D．在上是增函数三、填空题12．已知向量，，则=13．若，则．14．扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是.四、解答题15．已知向量，，，(1)求；(2)求与夹角的余弦值；(3)若向量与互相垂直，求实数的值.16．已知，．(1)求的值；(2)求的值．17．在中，，，．(1)求；(2)求的面积．18．已知函数的一段图象如图所示(1)求函数的表达式；(2)已知，求的最值及相应的值；(3)若，求的值.19．在平面直角坐标系中，已知点．(1)①求的值．②证明存在点，使得，并求出的坐标．(2)若点在四边形的四条边上运动，当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标．题号12345678910答案ADAABDCAACBC题号11答案BC1．A根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，即.故选：A.2．D根据二倍角的正弦公式直接求解即可.【详解】解：.故选:D．3．A逆用和角余弦公式化简求值即可.【详解】.故选：A4．A先求得的坐标再求其模长即得.【详解】因，则，于是，.故选：A5．B由余弦定理得推论可得的值.【详解】在中，由题意知：，故选：B6．D【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去），因为是边上的中点即，所以，所以.故选：D7．C根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解.【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，，所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离.故选：C8．A先由化简得，再由余弦定理得，即可求得角A的取值范围.【详解】由可得，整理得，由余弦定理得，则，又，则.故选：A.9．AC根据三角函数左右平移的规则判断求解即可.【详解】将函数的图象上的点向左平行移动个单位长度，得函数的图象，故A正确B错误；将函数的图象上的点向右平行移动个单位长度得函数，故C正确D错误.故选：AC10．BC对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断.【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误.对于B，的模长为0，B正确.对于C，若，则向量是单位向量，C正确.对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误.故选：BC11．BC先对函数化简得，然后逐个分析判断即可.【详解】.对于A，因为，所以不是的一个周期，A错误；对于B，由，得或，当时，可得，所以在上有7个零点，B正确；对于C，当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，因为，所以的最大值为3，C正确；对于D，因为，所以D错误.故选：BC12．由平面向量的坐标运算即可求解.【详解】.故答案为：.13．【详解】14．2解法1：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可求解．解法2：利用数量积的运算律得，然后利用基本不等式求解最值，再求出或时的最值，即可得解.【详解】解法1：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，其中．因为，所以，即，所以．所以当时，取得最大值2，此时点为的中点解法2：因为，且，所以，又，所以，当时，，整理得，当且仅当时等号成立.当或时，.综上，的最大值为2.故答案为：215．(1)(2)(3)（1）根据向量的数量积坐标表示即可；（2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可；（3）计算出，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】（1）因为，.（2），，.（3）因为向量，所以，因为，所以，解得.16．(1)(2)（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.【详解】（1）因为，，所以，所以；（2）因为，，所以，所以.17．(1)(2)（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解；（2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）解：由正弦定理可得：,又，所以，整理得：，因为，所以，而B为三角形内角，故.（2）解：因为，所以或，又，，所以当时，，不符合题意，故，，由正弦定理得，即，解得，故的面积为：.18．(1)(2)，，，，(3)（1）根据周期求得，再根据特殊点及条件求得，即可得解.（2）结合正弦函数的性质，利用整体法求得最值及相应的值.（3）先利用已知及二倍角余弦公式求得，再结合诱导公式求解即可.【详解】（1）由图象可知，，所以，又，故．由，得，又，故．于是．（2）由，得，所以，所以，当时，即时，，当时，即时，.（3）因为，得，所以，所以.19．(1)①；②证明见解析，（6，3）(2)（1）①分别求出，利用向量夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，可得，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标；（2）求出四边形各边长，由将四边形分成面积相等的两部分，可知，从而可得点的