创新点2 三角函数与解三角形创新题型突破 高三数学

板块二三角函数与平面向量创新点2三角函数与解三角形创新题型突破高考定位三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.精准强化练题型一解三角形的新情境问题题型二三角函数的新定义问题题型三三角与数列的交汇题型突破题型一解三角形的新情境问题例1√解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.规律方法我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.训练1题型二三角函数的新定义问题例1因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cosx，则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cosx，又g(2π)＝cos2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cosx＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cosx不具有性质P.已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cosx是否具有性质P；(直接写出结论)(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，

这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，此时函数g(x)的值域为[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，此时函数g(x)的值域为[－1，0]，函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命题得证.解决三角函数新定义问题的思路(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.规律方法训练2题型三三角与数列的交汇例3(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.规律方法训练3【精准强化练】√由cosnx＝Tn(cosx)，得cos90°＝cos(5×18°)＝T5(cos18°)＝16cos518°－20cos318°＋5cos18°，即16cos518°－20cos318°＋5cos18°＝0，整理得16cos418°－20cos218°＋5＝0，

A.versinθ＝AM

B.cscθ＝PSC.cotθ＝BS

D.secθ＝NB√√√4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.√5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00m，之后将小镜子前移a＝6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75m，则钟楼的高度大约是

A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为_____________km.8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为R的函数h(x)，若存在正常数T，使得s