北京市第一零一中学2023−2024学年高一下学期统练四数学试题含答案

/北京市第一零一中学2023−2024学年高一下学期统练四数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．如图，在长方体中，，，则（

）

A．3 B．4 C．5 D．62．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，若，则（

）A． B． C． D．4．如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，，，，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．5．正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（

）A． B．C． D．6．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．7．如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（

）．A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）9．一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则.11．已知，且，则的最大值为．12．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．13．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为，记四面体的表面积为，则函数的定义域为；最大值为.14．在中，角的对边分别为.给出下列四个结论：①；②当时，满足条件的有2个；③若是的平分线，且.则；④当时，为直角三角形.其中所有正确结论的序号是.三、解答题（本大题共3小题）15．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在以为球心的球面上．若球的体积为，求球心到平面的距离．16．如图，在中，为边上一点，且.

(1)求的长及的值；(2)若，求的周长；(3)若，求中边上的高.17．已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.

参考答案1．【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，.故选B.2．【答案】A【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.故选：A3．【答案】D【分析】由同角三角函数之间的基本关系可得，再由正弦定理可求得.【详解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故选D.4．【答案】B【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解.【详解】在正四棱锥中，连接交于点，连接，则即为正四棱锥的高，，，所以，，所以该几何体的体积为.故选B.5．【答案】C【分析】取棱中点，连接，故，进而得形成的几何体为两个底面重合的圆锥，其底面圆的半径为，顶点为点，顶点到底面圆的距离均为，再计算圆锥的体积即可得答案.【详解】根据题意，取棱中点，连接，因为正四面体的棱长为1，则，所以当正四面体绕着旋转时，形成的几何体为两个底面重合的圆锥，其底面圆的半径为，顶点为点，顶点到底面圆的距离均为，故所求几何体的体积为.故选C.6．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，解得，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A．

7．【答案】D【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果.【详解】连接,如图:由已知条件得,因为甲船的速度是每小时海里,所以,则是等边三角形,所以,因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,所以,则,即,所以乙船航行的速度是海里/小时,即乙船每小时航行海里.故选D.8．【答案】B【分析】由题意可得，设外接圆半径为，则外接圆面积为，面积为，所以，由三角函数的性质求出的最大值，即可求出答案.【详解】因为，所以由正弦定理可得，而,所以，因为，所以，所以，所以或，则或（舍去），设外接圆半径为，,则外接圆面积为，面积为，所以，而，因为，所以，，当时，即时，.故选B.9．【答案】2【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可.【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为，所以有.10．【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，因此，又，所以.11．【答案】【分析】根据复数与复平面的几何关系，将的轨迹转化成半径为1的圆上的点，则所求问题转化为点到圆上的点的最大距离，数形结合即可求解.【详解】如图所示，因为，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而对应坐标系中的点为，所以的最大值可以看成点到圆上的点的最大距离，则的最大值为．12．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.【方法总结】多面体与球切、接问题的求解方法：（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点构成的三条线段两两垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．13．【答案】【分析】设，取的中点为，连接，则,且,在中可得,取的中点为，连接，则,,即得到函数的定义域，由，，表示出，求出其最大值即可.【详解】设，取的中点为，连接，则,且.在中可得.取的中点为，连接，则,又，所以，，则，则定义域为，由，则(当且仅当，即时等号成立)所以当时，有最大值.14．【答案】①④【分析】先用正弦定理得，再利用三角恒等变换化简，即可判断①；利用正弦定理即可判断②；利用等面积法，即可判断③；利用正弦定理得，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可判断④.【详解】对于①：因为，由正弦定理可得，又因为，所以，化简可得，因为，所以，可得，，故，故①正确；对于②：当时，由①得，由正弦定理得，所以，因为，当时，，又，所以，此时满足条件的只有1个，故②错误；对于③：因为若是的角平分线，且，由①得，故，而，则，得，所以，故③错误；对于④：因为，由正弦定理可得，即，化简可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以为直角三角形，故④正确．故选①④.【方法总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有，，的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．【答案】到平面的距离为1【分析】计算的边长得出所在截面圆的半径和球的半径，利用勾股定理计算到平面的距离.【详解】根据题意作如下图：

，，，，设的中心为，则平面，由正弦定理可得，，，即到平面的距离为1．16．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式即可求出；（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；（3）先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.【详解】（1）因为，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，；（2）因为，所以，即，在中，由（1）结合正弦定理得，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以的周长为；（3），所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，解得（舍去），所以中边上的高为.【方法总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种：（1）利用余弦定理求出其它角；（2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好.17．【答案】(1)1(2)【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.【详解】（1）由题意可知，因为函数的最小正周期为，且，所以.（2）由（1）可知，因为，则，可知当，即时，取到最大值3，即.若选