福建省莆田二中、仙游一中2024～2025学年高一下学期期中联考数学试题

/莆田二中、仙游一中2024-2025学年下学期高一期中联考考数学试卷（考试时间120分钟考试满分150分）一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．若z=1+i，则iz+i2025=（

）．A.-1+2iB.-2+iC.-1+iD.-12．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）．A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．平面向量，若，则（

）A．6 B．5 C． D．4．如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（

）A．4 B．8C． D．5．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（

）

A．B．C．D．6．如图，在四边形中，，则的最小值为（

）A．2B．C．D．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（

）．A． B． C． D．8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．0 D．2二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若复数，则（

）．A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限C． D．复数满足，则的最大值为10．如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（

）

B．C．D．在上的投影向量为11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形B．三棱锥的体积为4C．三棱锥的外接球表面积为D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为13三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若PA=6，AB=2，BD=12，则AC=．13．已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若△ABC的面积，则边a的最小值为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在平面直角坐标系中，已知，，.(1)若三点共线，求实数的值；(2)若，以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.16．如图，在△ABC中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；(1)若，试用向量，表示，；(2)若，求的面积.17记△ABC的内角的对边分别为,三个内角满足且为锐角，(1)若，求；(2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值．条件①：为的角平分线；

条件②：为边上的中线．如图，多面体ABCD-A1B1C1是由一个直三棱柱ABC--A1B1C1与一个四棱锥D-A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD=2BC，AB=BC=CA=AA1=4，E是AC上的一点。若E是AC中点。①求证B1C∥平面A1EB；②求异面直线A1E与B1C所成角的余弦值.若E为BD与AC交点，问A1B上是否存在一点K，使得EK∥平面A1AD?如果存在，请求求出KBA19．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.(1)若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；(2)若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；(3)在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.

参考答案一、单选题题号12345678答案ADBBDCCB二、多选题题号91011答案ACDABCAD三、填空题12．913．或（答案不唯一，写出任意一个即可）14．2四、解答题15．(1)(2)【详解】（1）∵，，，，.∵三点共线，，，解得，即实数的值为.（2）由（1）知，.，，，即.，，，，.以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，故该几何体的表面积为.16．(1)；(2).【详解】（1）由题意，是的中点，则，因为，所以，则.所以，.（2）因为，所以.因为，，所以，又因为，所以，，解得.所以，，则，所以.17．(1)；(2)3【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，即，因为，所以.（2）选择条件①：在△ABC中，由余弦定理，得，即，故，当且仅当时，等号成立，又因为所以故的最大值为3.选择条件②：由题，平方得4CD2=CA2在△ABC中，由余弦定理得，即，所以.当且仅当时，等号成立，故有，从而，故的最大值为3.18．(1)证明见解析(2)104(3)【详解】（1）①连接AB1,-A1B交于点F由直三棱柱ABC--A1B1C1的性质知：BC∥B1C1，分别为AC,AB1的中点，B1C，平面A1EB.，平面A1EB.取A1C1中点A1',连接A1'C，求异面直线A1E与B1C所成角的为∠A1'A1'B1=23，A1'C=25，B则cos做出平面图，可得BEED=1即KBA1B即EK∥平面A1AD19．(1)(2)(3)证明见解析.【详解】（1）如图1，由题意得，，，且E是的中点，，，