天津市河东区2024−2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷含答案

/天津市河东区2024−2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷一、单选题（本大题共9小题）1．已知函数在处的导数为1，则等于（）A．2 B．1 C． D．2．学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）A．种 B．种 C．种 D．种3．的展开式中系数最大的项是（）A．第项 B．第n项C．第项 D．第项4．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．5．已知函数，则（）A． B． C． D．6．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到.用X表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是（）A．随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4B．甲班恰有2名同学被选到的概率为C．随机变量D．随机变量X的期望为7．为贯彻落实《健康中国行动(2019——2030年)》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（）A． B．C． D．8．进行n次独立试验，每次试验成功的概率均为p，则第r次成功之前恰失败k次的概率为（）A． B． C． D．9．已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中x²的系数的最小值为（）A．81 B．C．10 D．9二、填空题（本大题共6小题）10．若组合数，则.11．在的展开式的中间一项是.12．的展开式中的系数为(用数字作答).13．已知，若，则．14．如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有种不同的涂色方法.

15．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为．

三、解答题（本大题共5小题）16．根据二项式定理完成下列各题：(1)求的展开式；(2)化简17．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)求方程在区间上的解的个数.18．已知函数（a为常数）.(1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值；(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.19．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．20．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．

参考答案1．【答案】B【详解】由题意可知：，所以.故选B.2．【答案】A【详解】因为每名同学均有3个选择，且互不干扰，所以选法的可能方式共有种.故选A.3．【答案】C【详解】因为的展开式的通项为，可知第项的系数为，即为第项的二项式系数，根据二项式系数的性质可知：的最大值为，所以系数最大的项为第项.故选C.4．【答案】D【详解】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选D.5．【答案】D【详解】因为，则，令，可得，解得.故选D.6．【答案】C【详解】因为从12名候选人中选4名同学，且有4名候选人来自甲班，可知随机变量X服从超几何分布，故C不正确；所以X的所有取值为0，1，2，3，4，故A正确；甲班恰有2名同学被选到的概率为，故B正确；随机变量X的期望为，故D正确；故选C.7．【答案】B【详解】设甲同学参加的“乒乓球”项目为事件，甲同学参加的“踢毽子”项目为事件，则，所以.故选B.8．【答案】B【详解】因为第r次成功之前恰失败k次，可知一共进行次，第r次成功，前次中成功次，所以所求概率.故选B.9．【答案】A【详解】的展开式通项为，则展开式中x的系数为，即展开式中的系数为，且，根据二次函数的知识知，当或10时，上式有最小值，所以当，或时，项的系数取得最小值81.故选A.10．【答案】8【详解】因为，则，解得或，又因为，所以.11．【答案】20【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项，所以在的展开式的中间一项是.12．【答案】【详解】由题意可知：的展开式中的系数即为的展开式中的系数，因为的展开式通项为，则含的项为，所以展开式中的系数为.13．【答案】【详解】因为，所以，解得．14．【答案】1260【详解】若只用3种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，此时与的颜色相同，与的颜色相同，与的颜色相同，所以共有种不同的涂色方法；若只用4种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，此时第4种颜色可以涂，当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，与的颜色相同，有1种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法；若用5种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，此时第4和第5种颜色可以涂，当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法；当涂时，则与或或的颜色相同，有种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法；综上所述：共有种不同的涂色方法.15．【答案】【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，，当，设，则，所以，则，令，则，在上递增，令，则或，在上递减，又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.

16．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.（2）因为，因为，所以.17．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析【详解】（1）对求导得，令，解得或，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，且，从而当或时，方程在区间上的解的个数为0；当或时，方程在区间上的解的个数为1；当时，方程在区间上的解的个数为2.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，则，即切点为，切线斜率，可得切线方程为，将点代入得，整理可得解得：，所以.（2）因为，当，即时，在定义域内恒成立，可知在上单调递增，所以无极值点，不合题意；当，即时，令，解得或；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，符合题意；当，即时，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，所以有1个极值点，不符合题意；综上所述：a的取值范围是.19．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，依题意，，即，整理得，于是得，解得，而5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；（2）由(1)知展开式通项为，令Tr＋1项的系数最大，则有，即，整理得，解得，而，从而得，所以展开式中系数最大项为.20．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1通常要