广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题含答案

/广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知单位向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）A．9种 B．12种 C．15种 D．18种6．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（

）A．平面平面 B．C． D．平面7．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（

）A． B．C．函数的周期为2 D．8．已知，均为锐角，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．C．无零点 D．在上单调递减10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（）A．C的准线方程为B．C．若点，则D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上11．设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则随着n的增大而增大C．若，则的最小值为1D．若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则三、填空题（本大题共3小题）12．在锐角中，则的值等于．13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为．14．已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．(1)求数列和数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．16．体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．(1)求甲同学通过测试的概率；(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．17．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．18．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．(1)证明：；(2)若．（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．19．已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．(1)若椭圆C的离心率是，求b的值；(2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；(3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．

参考答案1．【答案】C【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得.故选C.2．【答案】B【详解】由，可得：，故选B3．【答案】C【详解】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选C.4．【答案】D【详解】因为，所以.故选D.5．【答案】D【详解】运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法；若甲入选，则有（种）安排方法，所以共有（种）不同的安排方法．故选D．6．【答案】C【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A选项正确；对于B选项，为下底面的中心，故为的中点，因为为所在棱的中点，所以，故B选项正确；对于C选项，若，由B选项知，则有，令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，所以，不满足，故C选项错误；对于D选项，由A选项知，由正方体的性质易知，所以，平面，平面，所以平面，故D选项正确.故选：C.7．【答案】D【详解】为奇函数，，又为偶函数，，故A项错误.即函数的周期为4，即C项错误.由，令，得，即B项错误.又，所以D项正确.故选D.8．【答案】D【详解】，，令，，，所以在上为增函数，∴，∵，均为锐角，∴，∴，故选D.9．【答案】AD【详解】易知的定义域为.因为，所以为偶函数，故A正确.当时，，在上单调递增，所以在上单调递减，则，故B错误，D正确.令,得,则有2个零点，故C错误.故选AD.10．【答案】ABD【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确；设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确；若点，则，，，故C错误；直线的方程为，又，即，令，可得，即，而直线的方程为，则点在直线上，故D正确.故选ABD.11．【答案】ABD【详解】对于A选项，当时，，则，故A选项正确；对于B选项，若，则，所以，随着的增大而增大，故B选项正确；对于C选项，当时，，则，其中，.设，则，所以当时，；当时，；所以当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小，当时，，故C选项错误；对于D选项，若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，，，则，，，所以，故D选项正确.故选ABD.12．【答案】2【详解】设由正弦定理得13．【答案】2.1【详解】,且，，,,由题意可得,所以的方差为.14．【答案】【详解】函数的定义域为，当时，可得在上单调递增，又，所以不合题意；当时，，易知，在上单调递增，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，有极小值，也是最小值，又因为恒成立且，所以，则，得，所以，设，，令，得，当，，则在上单调递减，当，，则在上单调递增，所以，即的最小值为.15．【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，，当时，，当时也符合上式，所以，，所以.（2），所以，，两式相减得，，所以.16．【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，则.（2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，所以乙通过测试的概率为，由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：050100故.17．【答案】(1)见解析；(2).【详解】（1）由题意得，，令，得或，①当时，当或时，，当时，，所以在或上递增，在上递减，②当时，当或时，，当时，，所以在或上递减，在上递增，综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增；（2）由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，且函数在，处分别取得极值，，因为线段与x轴有公共点，所以，所以，，所以，且，解得或，所以实数a的取值范围为.18．【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）.【详解】（1）证明：取中点为，连接，因为，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以，因为为等边三角形，所以，故，，因，则，即，又因，所以两两互相垂直，以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，

，F为线段PB的中点，则，，设平面的法向量为，则，取，得，所以，设直线PB与平面所成角为，则，又，则，所以直线PB与平面所成角为，（ii）设平面的法向量为，，则，取，得，设，所以，所以，则平面的法向量为，则，取，得，所以，令，则，所以，因为时，，所以，所以.19．【答案】(1)的值为或(2)1(3)证明见解析【详解】（