陕西省榆林市多校2024−2025学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案

/陕西省榆林市多校2024−2025学年高二下学期4月期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．可表示为（）A． B． C． D．2．某影城有一些电影新上映，其中有1部喜剧片、2部文艺片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为（）A．5 B．4 C．3 D．23．若函数在处的导数为1，则（）A．4 B．2 C．1 D．4．某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（）A．12种 B．36种 C．48种 D．72种5．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值6．设，随机变量的分布列如下所示，那么，当在内增大时，的变化是（

）012A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小7．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（

）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种8．定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（

）（参考数据：）A．3折函数 B．4折函数 C．5折函数 D．6折函数二、多选题（本大题共3小题）9．对于的展开式，下列说法正确的是（）A．展开式共有9项 B．展开式中的常数项是C．展开式中各项系数之和为0 D．展开式中的二项式系数之和为6410．如图，某电子实验猫线路图上有，两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，．同学甲从第一次实验到第三次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，则（）A．B．C．D．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．若在上单调递减，则的最大值为1B．当时，C．当时，D．存在直线，使得与的图象有4个交点三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数的导函数为，且满足，则的值为．13．某校共有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，请估计竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为人．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：，，）14．用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个．（用数字作答）四、解答题（本大题共5小题）15．从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛．(1)求甲跑最后一棒的排法有多少种?(2)求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种?16．已知函数在时取得极值．(1)求实数的值；(2)求在区间上的最大值与最小值．17．2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．(1)若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为，求的分布列及数学期望；(2)为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式的统计数据如下表：游览方式复古三轮车共享单车步行游客人数60120170经统计发现，若游客乘坐复古三轮车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为；若游客骑共享单车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为，若游客步行逛庙会，则能逛完所有区域的概率为．以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．18．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，证明：函数至多有一个零点．19．某校为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落，高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次80%100次40%小190次70%10次30%现以两人的总投篮（二分球+三分球）命中率较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）．(1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次小必定能评为校MVP，试通过计算判断小的想法是否准确?(2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3．②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题：（ⅰ）若小第一次投篮，设其获胜的概率为，请证明：当时，小获胜的概率大；（ⅱ）若小第一次投篮，，设小获胜的概率为，请通过讨论说明：小和小谁获胜的概率大?

参考答案1．【答案】B【详解】,故选B.2．【答案】A【详解】从5部电影种选择一部观看，共有5种方法，故选A.3．【答案】C【详解】，故选C.4．【答案】B【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种，再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法；因此共种.故选B.5．【答案】D【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，不是单调的函数，所以选项A错误，对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误，对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，故选D.6．【答案】B【详解】依题意可得，所以，因为在上单调递增，所以在上单调递增，即当在内增大时，也增大.故选B.7．【答案】C【详解】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示，先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色，因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，所以共有种涂色方法．故选C.8．【答案】D【详解】因为，所以．函数的极值点问题，等价于的零点问题，令，得，所以将函数的零点个数问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题．因为，所以，又，在同一坐标系中，画出函数和的图象，由图象可知，函数与函数的图象在上有5个交点，所以函数为6折函数.故选D．9．【答案】AC【详解】对于A,由于，故展开式共有9项，A正确，对于B，展开式中的常数项为，故B错误，对于C,令，则，故展开式中各项系数和为0，C正确，对于D,展开式中的二项式系数之和为，故D错误，故选AC.10．【答案】ACD【详解】由题意可知，,故A正确，所以，故B错误；，C正确，一次实验中，两处至少遇到一次红灯的概率为，故D正确；故选ACD.11．【答案】BCD【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；当时，，即.设，则，在处取得最小值，故B正确；当时，，即.由B选项的过程知，在时，，在上单调递减，，故C正确；画出的图象如图，可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，故选BCD.12．【答案】/【详解】由题意得：，再代入得：，解得：.13．【答案】341【详解】由于竞赛成绩服从正态分布，故，故竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为.14．【答案】30【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数，若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数，因此一共有个符合条件的偶数.15．【答案】(1)24(2)36【详解】（1）甲跑最后一棒，从剩下的4人里选出3人排序即可，即；（2）先从剩下的3人里选出2人排好，共种情况，排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况，所以总情况为：16．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为.【详解】（1）由题得，所以.当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.此时函数在时取得极值，所以.（2）由（1）得，因为，，，.所以在区间上的最大值为，最小值为.17．【答案】(1)分布列见解析，(2)【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有：，，，可知的分布列为：012所以的数学期望为.（2）记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件为“游客乙骑共享单车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有区域”，由题意可知：，，由全概率公式可得，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为.18．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，则，故，又，故在点处的切线方程为，即（2）的定义域为，，由于，故，当时，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递减，故在处取极小值，，因此函数至多有一个零点19．【答案】(1)小的想法不正确，理由见解析(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）理由见解析【详解】（1）由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：，小总出手200次，命中136次，