河北承德市双滦区实验中学2024−2025学年高二下学期高二4月份月考数学试卷含答案

/河北承德市双滦区实验中学2024−2025学年高二下学期高二4月份月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数（是的导函数），则（

）A．1 B．2 C． D．2．在等比数列中，，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．43．若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A．100 B．110 C．120 D．1305．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（

）A．2 B． C． D．8．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是A．24 B．36 C．40 D．44二、多选题（本大题共3小题）9．若，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．10．设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．11．已知函数，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．函数的单调递减区间为C．的极小值为e D．方程有2个不同的解三、填空题（本大题共3小题）12．由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有个．13．已知，则使恒成立的的范围是．14．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围．四、解答题（本大题共5小题）15．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.(1)求的值：(2)求展开式中的系数.16．某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.(1)求，的值；(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？（参考数据：，）17．已知等差数列的公差，且，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列前项和为；(3)设求数列的前项和．18．设函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.19．已知函数.（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明.

参考答案1．【答案】A【详解】由函数，可得，令，可得，解得，则，所以.故选A.2．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，所以.故选C3．【答案】B【详解】因为函数，所以，若在区间上不是单调函数，则在区间上有解，即在区间上有解，即设，则，，所以，实数的取值范围是，故选B.4．【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.【详解】在中，，，所以.故选C.5．【答案】C【详解】，由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，即当时，有两个不同正实数根，令方程有两个不同正实数根为、，则有，，则，解得，即实数a的取值范围是.故选C.6．【答案】A【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.【详解】因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选A．7．【答案】D【详解】，故，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，故，所以当时，，所以，故选D．8．【答案】D【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C42=6种情况；（2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4种情况；（3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24种情况；(5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.故选D.9．【答案】ACD【详解】依题意，，令，得，所以A选项正确.令，得，所以，所以B选项错误.令，得，所以C选项正确.由于二项式展开式的通项公式为，所以为正数，为负数，所以，所以D选项正确.故选ACD.10．【答案】BC【详解】，，则是公差为1，首项为的等差数列，所以，则.对A：，因为不是非零常数，所以不是等比数列，故A错误；对B：，因为，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，故B正确；对C：，故C正确；对D：因为，所以，两式相减得，故D错误.故选BC.11．【答案】ACD【详解】，，因为，，所以在处的切线方程为，故A正确；令，即，解得，因为，所以的单调递减区间为，，故B错误；令，解得，在时单调递增，时单调递减，所以在处取得极小值，极小值为，故C正确；方程，即，即求方程零点的个数，令，，当时，，即为单调递增的，，，故在区间有唯一一个零点，时，即为单调递减的，，即在区间存在唯一一个零点，故D正确；故选ACD．12．【答案】90【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则当0排在第6位时，共有（个）数；当0排在第5位时，共有（个）数；当0排在第4位时，共有（个）数，故这样的七位数共有（个）．故答案为.13．【答案】【详解】因，令，，依题意，，当时，，求导得，当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，求导得，在上单调递减，，于是得函数在上单调递减，，因此，则，所以的取值范围是.14．【答案】【详解】存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由题可得，，进而即得；(2)由二项式展开式的通项公式求解即得．【详解】(1)因为，，所以，解得；(2)由通项公式，令，可得，所以展开式中的系数为.16．【答案】(1)，(2)甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元【详解】（1）由题意知，，整理得，解得，；（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，则该公司获得的利润，；则在上单调递减，令，解得或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.17．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）变形得到，裂项相消法求和；（3）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意，因为，，，成等比数列，所以，又，解得，，故；（2）因为，所以；（3）因为，所以①，②，所以①-②得，所以.18．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为(2)3(3)【详解】（1）当时，，则，当或时，；当时，，所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由，得，设函数与直线相切的切点是，因为，所以，所以有，可得，又，相减得，所以，所以，解得；（3）时，，的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，设函数，则，时，或；时，，在和上单调递增，在上单调递减，时取极大值，时取极小值，所以的取值范围为.19．【答案】（1）（2）见解析【