陕西省咸阳市实验中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷含答案

/陕西省咸阳市实验中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则等于（

）A． B． C． D．2．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（

）A． B．C． D．3．已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（

）A． B．C． D．4．若数列满足，，则的值为（）A．2 B． C． D．5．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（）A．715种 B．572种 C．312种 D．286种6．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（

）A． B．C． D．7．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（）A．种 B．种C．种 D．种8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设正方体的棱长为为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（

）A．B．平面C．设与所成的角为，则的最大值为D．当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为10．有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（

）A．只有1人未参加服务的选择种数是30种B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种C．只有1人未参加服务的选择种数是60种D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种11．设，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．用数字0､2､5､7四个数可以组成个无重复数字的三位数．13．展开式中的项的系数为．（用数字作答）14．设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为四、解答题（本大题共5小题）15．已知二项式，且．(1)求的展开式中的第5项；(2)求的二项式系数最大的项．16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？17．已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.18．如图，、、为圆锥的三条母线，．(1)证明：；(2)若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值．19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】，所以，故选C.2．【答案】C【详解】由函数的图像可知,在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时,;当x∈(0,2)时,.因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选C.3．【答案】D【详解】设椭圆焦距为，则，则，所以椭圆的左焦点为，所以双曲线的左顶点为，所以，所以，所以双曲线的渐近线为.故选D.4．【答案】A【详解】因为，，所以，，，，…，可得，则．故选A.5．【答案】D【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种．故选D.6．【答案】A【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选A.7．【答案】C【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，共有种分配方法；若名志愿者以形式分为四个服务小组，共有种分配方法.故共有种分配方法.故选C.8．【答案】C【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，所以函数在上单调递减；又，所以.因此，实数的取值范围是.故选C.9．【答案】BCD【详解】如图（1），当点与重合时，与所成的角是.故错误.如图（2），易证平面平面，平面，所以平面，故B正确.如图（3），因为，所以与所成的角为.因为平面，所以，所以，当点与（或重合时最大，此时最大，易得.故C正确.如图（3），因为，所以当点与重合时三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设外接球半径为，则，所以，所以该三棱锥外接球的表面积为.故D正确.故选BCD.10．【答案】AD【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法，再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，故选AD11．【答案】ACD【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确；又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；令，得，令，得，两式相减得，所以，故选项C正确；令得，故选项D正确；故选ACD.12．【答案】18【详解】依题意，由数字0､2､5､7组成无重复数字的三位数，百位有3种选择，十位有3种选择，个位还有2种选择，由分步乘法计数原理，可得所求三位数有个.13．【答案】【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用，该项为，所以展开式中的项的系数为.14．【答案】【详解】由题可得：，当时，，所以在上单调递增，若存在，使得在上的值域为，则，即在上有两解，令，，则，当时，，当时，，，故在上单调递增，在上单调递减，且，，，

所以要使在上有两解，则.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．的二项式通项为，当时，，所以的展开式中第5项为．（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，，所以的二项式系数最大的项是．16．【答案】(1)(2)【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法．再插空排甲、乙．有种站法．故甲、乙两人不相邻的站法共有种．（2）满足条件的站法可分为两类，第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法．第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法．故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题得，所以当时，，得，当时，，两式作差得，即，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）得.所以.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取的中点，连接、，因为，为的中点，所以，因为、均是圆锥的母线，所以，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以．（2）设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以．因为，所以，因为为底面直径，为底面圆周上一点，，则，由勾股定理可得，所以．因为，，，所以，所以，，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为，，，所以，则，所以，即，所以即为二面角的平面角，在中，，所以，所以，则，在中，.因此，二面角的余弦值为.19．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，则，若时，则