条件概率8大题型归纳【基础+提升】【原卷】

【条件概率与全概率公式】

题型梳理I

知识讲解与常考题型__________________________

【题型1:利用定义求条件概率】

知识讲解

P(AB}

1.定义：设A、8是两个事件，且尸(A)>0,称P(3|A)=限—为在事件A发生的条件下事件8发

P(A)

生的条件概率。这里尸(46)表示事件A与事件8同时发生的概率。

2.理解：条件概率?(5|A)刻画的是在已知事件A已经发生的情况下，事件8发生的可能性大小。与无

条件概率尸(8)相比，它增加了“事件A发生”这个前提条件。

3.示例:例如，掷一枚质地均匀的骰子，样本空间Q={L2,3,4,5,6}。设事件A="掷出偶数点”={2,4,6},

311

事件3="掷出的点数大于4"={5,6},那么AB={6},P(A)=—=—，P(AB)=-,所以

626

1

P(B|A)=:2)=¥=g。这表示在已知掷出偶数点的条件下，掷出的点数大于4的概率为g。

2

4.性质：

非负性：对于任意事件8.有P(8|A)..O.

规范性：P(O|A)=1,其中。是样本空间。

0000

可列可加性：如果事件四,不，，纥，两两互斥，则尸(1)与[4)=2。(耳|4)。

Z=1Z=1

5.乘法公式：由条件概率的定义可得P(AB)=P(A)P(B|A)(当尸(A)>0时)，这就是概率的乘法公式。

该公式可以推广到多个事件的情形，例如对于三个事件A、B、C,14P(AB)>0,有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CIAB)

例题精选

【例题1](22-23高二下•北京延庆•期中)已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为30%与20%,且

两地同时下雨的概率为15%,则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为()

A.1B.-C.—D.—

24200100

【例题2](23-24高二下•重庆九龙坡•期中)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记4="两次的点数均为偶数”,

3="两次的点数之和为6"，则P(A|8)=()

【例题3】(23-24高二下•辽宁沈阳•期中)某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，

李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为3，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为:•用

事件A表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件B表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”,

则尸(3|A)=()

相似练习

【相似题1](24-25高三上•广东广州•期中)A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采

2

取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为1,且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最

终能获胜的概率是.

【相似题2](23-24高二下•天津红桥•期末)已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红

灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个

路口遇到红灯的概率是.

【相似题3](23-24高二下•吉林・期中)盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地

从中取产品，每次取1个，求；

(1)取两次，两次都取得二等品的概率；

(2)取两次，第二次取得二等品的概率；

(3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率.

【题型2：条件概率乘法公式】

知识讲解

公式形式：对于两个事件A和8,如果P(A)>0,那么P(AB)=P(A)P(B|A)。也就是说，事件A和8

同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在A发生的条件下B发生的概率。

公式推广：

对于三个事件A、BC，如果尸(AB)>0,则尸(ABC)=尸(A)P(B|A)P(C|AB).

更一般地，对于〃个事件&&，•，4，如果P(A&AT)>0，那么有

A„)^P(A1)P(A2IA1)P(A3IAIA2)P(A„IAAA"。

应用示例：假设有一个盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地抽取两次。设事件A为“第一次抽到

3

红球”，事件8为“第二次抽到红球”。那么P(A)=g,在第一次抽到红球的情况下，盒子里剩下2个红球

和2个白球，所以P(B\A)=-。根据乘法公式，两次都抽到红球的概率

4

323

P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-o

例题精选

【例题1】(23-24高二下.安徽安庆・期中)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实

施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85,当第一

次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80,则该构件通过质检的概率为()

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

【例题2](20-21高二・全国•课后作业)设尸(A|B)=P(B|A)=；,P(A)=：,则P(B)等于()

/3

13

【例题3】(23-24高二下•江苏宿迁•期中)己知尸(例A)=§,P(A)=《，尸(AB)等于()

相似练习

35

【相似题1](23-24高二下•河北沧州•阶段练习)若尸(2)=小尸(加2)=:，则尸(AB)=()

76

5

BcD.

A.I-I-i6

【相似题2】

(20-21高二上.山东淄博•期中)盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄

球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率

为.

【相似题31(23-24高二上•全国•课后作业)己知尸(A)=0.4,尸(B|A)=0.5,尸3)=0.25，则P®=.

【题型3：在古典概型中的条件概率】

知识讲解

1.古典概型的定义与特点

定义：若试验满足以下两个条件，则称该试验为古典概型。

试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

每个基本事件出现的可能性相等。

特点：古典概型具有有限性和等可能性这两个关键特点，这使得我们可以通过计算基本事件的个数来

确定概率。

2.古典概型中条件概率的定义

在古典概型中，设事件A和8是样本空间。中的两个事件，且尸(A)>o,则在事件A发生的条件下，

P(AB}

事件B发生的条件概率P(B|A)定义为P(B|A)=。

尸(A)

从古典概型的角度理解，尸(AB)是事件A和8同时发生的概率，即$八13$包含的基本事件个数与样本空

间。包含的基本事件个数之比；尸(A)是事件A发生的概率，即A包含的基本事件个数与样本空间。包含

的基本事件个数之比。所以P(B|A)就是在A发生的条件下，8发生的概率，其值等于$人8$包含的基本事

件个数与A包含的基本事件个数之比。

3.计算方法

步骤一：确定样本空间

明确试验的所有可能结果，确定样本空间。，并计算出。中基本事件的总数

步骤二：计算尸(A)和尸(AB)

分别找出事件A和事件$AB$所包含的基本事件个数，记为"(A)和"(A6)。

”(A)n(AB)

则尸⑷=P(AB)=

”(Q)〃(Q)

步骤三：计算条件概率F(B|A)

P(AB}

根据条件概率公式&网人)=发一，将前面计算出的尸(A)和尸(AB)代入公式，可得

n(AB)

P(B\A)=

”(A)

4.示例

例如，掷一颗质地均匀的骰子，观察出现的点数。设事件A为“出现奇数点"，即4={1,3,5}；事件8

为“出现的点数小于4"，即B={1,2,3)o

样本空间。={1,2,3,4,5,6},〃(。)=6。

31

“(4)=3,所以尸(A)=_=_

62

21

AB={1,3}-n(AB)=2,所以尸(AB)=—=—。

63

1

那么在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B\A)==-2-=|o从古典概型角度看,

2

在A发生的情况下，即出现奇数点的情况下，共有3种可能，而其中满足8(出现的点数小于4)的有2种，

所以尸（B|A）=g

5.性质

非负性：对于任意事件8,有P（B|A）20。

规范性：P（Q|A）=L

n_n

可加性：如果事件耳.B2,.纥两两互斥，则。（|一g|4）=2%g|4）。

i=lz=l

例题精选

【例题1】（24-25高二下•河南驻马店•阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人

分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色

教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率

为（）

D.2

4

【例题2】（24-25高三下•福建龙岩•阶段练习）某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、

乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（）

2

B-Ic-7D.

【例题3】（2025高三下•天津•专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、

丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处

景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件8为“只有甲去了锦水文风”，则P（A）=—,

P（&忸）=.

相似练习

【相似题1］（24-25高二下•天津•阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一

件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为.

【相似题2](2025•河北秦皇岛•一模)某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从

这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可

以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下：

参加一项的可能性参加两项的可能性参加三项的可能性

女生0.50.50

男生00.50.5

每参加1项比赛，社团的积分将增加100分.

(1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率;

【相似题3](2025高三•全国・专题练习)为迎接2024新春佳节，某地4s店特推出盲盒抽奖营销活动中，

店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜

色分布如下表所示.

红色外观蓝色外观

棕色内饰2010

米色内饰155

从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用8表示事件“取出的模型内饰为米

色”，求尸⑻和尸(8|A),并判断事件A与8是否相互独立.

【题型4：条件概率的性质及其应用】

知识讲解

1.非负性

对于任意事件8,在给定事件A发生的条件下，条件概率?(6|A)的值始终大于等于0。这是因为概

率本身就是一个非负的度量，条件概率作为一种特殊的概率，也遵循这一基本性质。它表示在事件A已经

发生的前提下，事件8发生的可能性大小，而可能性大小的取值范围是从0到1，所以尸(B|A)之0。

2.规范性

P(O|A)=1,其中。是样本空间。这意味着在事件A发生的条件下，样本空间。必然会发生，因为

。包含了所有可能的结果。既然事件A已经发生，那么在这个条件下，所有可能的情况仍然在样本空间。

内，所以其条件概率为1，这体现了条件概率在这种特殊情况下的规范性。

3.可加性

n

如果事件与，B2,,纥两两互斥，那么「(^|g|4)=2。(g|4)。也就是说，在事件A发生的

/=1Z=1

条件下，这些两两互斥事件的并集的条件概率等于它们各自条件概率的和。这一性质与普通概率的可加性

类似，反映了条件概率在处理互斥事件时的基本规律。例如，在掷骰子的试验中，设事件A为“掷出奇数

点”，事件印为“掷出1点”，事件B2为“掷出3点”，事件B3为“掷出5点”，耳、之、鸟两两互斥，那

么「((耳。32。与)|4)=「(4|4)+「(52|4)+「(53|4),因为在A发生(即掷出奇数点)的条件下，

B]、鸟、居这三个事件的并集就是“掷出奇数点”这个事件本身，其概率等于这三个互斥事件在A条件

下的概率之和。

4.乘法公式

P(AB]

由条件概率的定义「(5|A)=FTJ(P(A)>0)，可变形得到乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)。

尸(A)

这个公式可以推广到多个事件的情况，例如对于三个事件A、8、C,有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)o乘法公式在计算多个事件同时发生的概率时非常有用，它将联合概

率转化为条件概率和单个事件概率的乘积形式，便于通过已知的条件概率和事件概率来计算复杂事件的概

率。

例题精选

【例题1】(24-25高二上•辽宁•期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=；,P(B)=1,

P(AuB)=1,则P(团4)=()

【例题2】(23-24高二下.安徽马鞍山•期末)假设A,B是两个事件，且P(A)>0,则下列结论

一定正确的是()

A.P(^B)P(B)=P(AB)B.P(A|B)=P(B|A)

C.P(A忸)4P(A)P⑻D.P(A|B)<P(A)

【例题3】多选题(2025•陕西宝鸡•二模)已知A、B是两个随机事件，且0<P(A)<l,0<P(B)<l,则

下列说法正确的有（）

A.若A、8相互独立，则P（网A）=P（8）

B.尸⑻2P（网A）恒成立

C.若“433）=「（4）+尸（3）,则尸（B|A）=O

D.若尸（网A）+P（网A）=l,则A、8相互独立

相似练习

【相似题1］多选题（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知事件A,B,C为随机事件，且O<P（A）<1,

则（）

A.若事件8与事件C对立，则尸（网4）+「（C|A）=1

B.若尸（叫A）+P（C|4）=1,则事件8与事件C对立

C.若事件A与事件8独立，则尸（网4）=尸（8）

D.若尸（网A）=P（8）,则事件A与事件8独立

【相似题2］多选题（2024.四川成都.模拟预测）随机事件48满足P（A）=g,P⑻=：，6N⑻=1则

下列说法正确的是（）

A.P（AB）=P（A）P（B）B.P（AB\=-

''8

C.P（A+3）=1D.P（AB|（A+B））P（AB）=p-（A）P2（B）

【相似题3］多选题（23-24高二下.江苏南京.阶段练习）已知A万分别为随机事件A,8的对立事件，则下列

说法正确的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.P（B|A）+P（B|A）=1

C.若P（A）=；,尸⑻=g,P（M=P（啊，则事件A与事件B相互独立

D.若P(A|3)=P(A),则P(3|A)=P(3)

【相似题4］（24-25高三上・江西吉安•期末）若P（A）=g,P（A\~B\=^~,则尸（8）=_____.

815v730

【题型5：全概率公式及其应用】

知识讲解

1.全概率公式的定义

n

设与，当，，纥是样本空间。的一个划分，即耳，与，，纥两两互斥，且U4=Q，且P（耳）＞0

i=l

（i=l,2,那么对于任意事件A，有尸（A）=£P（4）P（A|5J。

i=\

2.全概率公式的直观理解

可以将样本空间。想象成一个大的“整体”，而四，B2,,纥是将这个“整体”分割成的〃个互

不重叠的“部分”。事件A发生的概率等于A在每个“部分”乌中发生的概率的加权和，权重就是每个“部

分”乌发生的概率尸（率）。

3.全概率公式的推导

nn

因为四，B2,,3"是样本空间。的一个划分，所以A=AcQ=Ac（U与）=U（Ac4）,

z=li=l

又因为用两两互斥，所以Acg也两两互斥。

根据概率的可加性，P（A）=P（［j（An4））=fP（AcBJ。

i=li=l

再由条件概率的定义尸（AcB,）=,就得到了P（A）=fP（g）P（A|耳）。

Z=1

4.全概率公式的应用步骤

第一步，确定样本空间。和合适的划分用，B2,,瓦，。这需要根据具体问题的背景和条件来选择，

通常选择那些与事件A有密切关系且容易计算概率的事件作为划分。

第二步，计算每个用的概率尸（用）、

第三步，计算在每个Bj发生的条件下A发生的概率尸（AIBJ。

第四步，将尸（耳）和P（A|瓦）代入全概率公式P（A）=XP（4）P（A|4）,计算出尸（A）。

Z=1

5.全概率公式的应用示例

例如，有两个箱子，箱子1中有3个白球和2个红球，箱子2中有2个白球和3个红球。现随机选择一

个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，求取出白球的概率。

设事件A为“取出白球”，事件及为“选择箱子1"，事件与为“选择箱子2”。则片和不构成了样本

空间的一个划分，尸（片）=尸（为）=g。

3

在用发生的条件下，即从箱子1中取球，P（A|4）=g；在层发生的条件下，即从箱子2中取球，

P（A|B2）=|O

13121

根据全概率公式，P（A）=P（4）P（AI旦）+P（4）P（A|B2）=-X-+-X-=-

6.全概率公式的意义和作用

全概率公式提供了一种计算复杂事件概率的有效方法。当直接计算事件A的概率比较困难时，通过引

入合适的划分用，B2,,Bn,将事件A分解为在不同条件下发生的子事件，然后利用已知的条件概率

和划分的概率来计算A的概率。它将一个复杂的概率问题转化为多个相对简单的概率问题的组合，在实际

应用中具有广泛的用途，如在风险评估、决策分析、可靠性分析等领域都有重要的应用。

例题精选

【例题1】（2025高三•全国•专题练习）有三个相同的箱子，分别编号123,其中1号箱内装有1个红球、4个

白球，2号箱内装有2个红球、3个白球，3号箱内装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能

从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件4表示“取到i号箱。=1,2,3）”，事件3表示“摸到红球”，事

件C表示“摸到白球”，则（）

A.P(B|A)=|

B.p(-4)+尸(c]4)=尸(A)

「⑻吃

CD.尸(A忸)

【例题2】多选题（2025•安徽马鞍山•一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球.整

个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件4为“取出的是红球”，事件&为“取

出的是白球"；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球"，事件C为“取出的两

球为一红一白“，则（）

A・尸（网A）=（B・尸（c14）J

D

C.P（B）=—P（c）4

v727

【例题3］（2025届宁夏银川市、石嘴山市高三学科教学质量检测（一模）数学试题）某中学举办知识竞赛，

题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题.根据以往经验，某同学答

对A,B,C三类试题的概率分别为80%,60%,50%.若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概

率是.

相似练习

【相似题11

3

（24-25高二下•江西抚州•阶段练习）小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为了，周二去健身的概

率为!■,且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李

0

周一、周二都去健身的概率为.

【相似题2］（2025・四川巴中•一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概

21

率分别为：，且每人每次投中与否互不影响.

⑴求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；

（2）求“乙获胜”的概率.

【相似题3］（24-25高二下•湖北荆门•阶段练习）现有编号为I,II,III的三个口袋，其中I号袋内装有两

个1号球，一个2号球与一个3号球；II号袋内装有两个1号球与一个3号球；III号袋内装有三个1号球

与两个2号球.第一次先从I号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任

取一个球，

（1）求第二次取1号球的概率；

（2）若第二次取到1号球，求它取自编号为I口袋的概率.

【相似题4］（2025•广东深圳•模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运

动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或

乙运动场的概率均为每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X,已知

X的分布列如下：(其中4>0,0<p<l)

X0123

a

Pa

P

记事件4表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次［=0,1,2,3),事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻

炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.

(1)当p=g时，求尸(8)的值；

【题型6：贝叶斯公式及其应用】

知识讲解

1.贝叶斯公式的定义

设四，B2,,纥是样本空间。的一个划分，且尸(耳)>0(z=l,2,,n),对于任意事件A，若

P(A)>0,则有尸叫A)=

白,j=1,2,，几。

ZP(4)P(A|4)

Z=1

2.贝叶斯公式的推导

P(AnB)

由条件概率的定义可知做

n

再根据乘法公式P(Ac鸟)=P(4)P(A|鸟),以及全概率公式P(A)=XP(g)P(A|g),将其代

i=\

入上式，即可得到贝叶斯公式。

3.贝叶斯公式的直观理解

贝叶斯公式实际上是在已知事件A发生的条件下，对导致A发生的各种原因与的概率进行重新评估。

尸(鸟)是在没有任何额外信息时Bj发生的先验概率，而P©lA)是在知道事件A发生后Bj发生的后验概

率。贝叶斯公式通过利用新的信息A来更新我们对各个原因与发生概率的认识。

4.贝叶斯公式的应用步骤

第一步，确定样本空间。和合适的划分用，B2,,B,,这要依据具体问题的背景和条件来选择,

通常选取与所研究事件有密切关联且其概率容易计算的事件作为划分。

第二步，计算每个比的先验概率尸（瓦）。

第三步，计算在每个乌发生的条件下事件A发生的概率尸（AI耳）。

第四步,将尸（耳）和尸（A|耳）代入贝叶斯公式fp（4）p（A|g）计算出后验概率

1=1

P（与IA）。

5.贝叶斯公式的应用示例

例如，在一个疾病诊断的例子中，已知某种疾病在人群中的发病率为尸（。）=0。1（。表示患病），-

种检测方法对患病者检测呈阳性的概率为尸（+1。）=0.99,对未患病者检测呈阳性的概率为

P（+1D）=0.05（方表示未患病）。现在有一个人检测结果为阳性，求他实际患病的概率P（D|+）。

这里样本空间可划分为患病。和未患病方。已知？（。）=0.01,则P（方）=1—0.01=0.99,

P（+1£＞）=0.99,P（+1D）=0.05

、P（D）P（+1D）0.01x0.99…八

根据贝叶斯公式，P（D+）=----------—-----h=----------------------a0.169,

P（D）P（+|D）+P（D）P（+|D）0.01x0.99+0.99x0.05

6.贝叶斯公式的意义和作用

贝叶斯公式在很多领域都有重要应用。它可以帮助我们根据新的证据或信息来更新对事件发生概率的

判断，从而做出更合理的决策。在机器学习、数据挖掘、人工智能等领域，贝叶斯公式是贝叶斯分类器等

算法的基础，用于根据已知的特征数据来推断类别等未知信息。在医学诊断、市场预测、风险评估等方面，

它也能通过不断纳入新的数据来修正先验判断，提高决策的准确性和可靠性。

例题精选

【例题1】（2025•广东佛山•二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为L2,3,4四个外观相

同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子.当抽奖人选

择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择

以便增加中奖概率.已知甲先选择了1号箱子，此时主持人打开2号箱子的概率为,在主持人打开2号

箱子的情况下，奖品在4号箱子的概率为.

【例题2】（23-24高二下•福建三明・期末）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱

内装有20件，其中有5件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.

（1）求取出的零件是次品的概率；

（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.

【例题3］（23-24高二下.福建泉州•期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟

了人机自然交流的新纪元ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于

ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲

箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.

⑴从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

（2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5,从乙箱

子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；

（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.

相似练习

【相似题1］（2023•福建三明•三模）在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞

技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课

外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名

队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、

3

乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为甲队

4

其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为g.（注：比赛结果没有平局）

⑴求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；

（2）已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.

【相似题2】（2023•山东潍坊.模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛,

最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4

个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级

每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱.并分别统计两班级学生测评成绩的相

关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两

个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次.

（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计

数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5,方差为

0.25,求这20人答对题目的均值与方差；

（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题

目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

【相似题3]（23-24高二下•浙江温州•期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率

分别为6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数之比为5：6：9,

现任取一个零件，求：

（1）它是第1台机床生产的概率是多少？

（2）它是次品的概率是多少.

（3）若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明.

【题型7：全概率公式与数列结合】

知识讲解

全概率公式与数列结合的常见类型

一步转移概率问题

例如，在一个有〃个状态的马尔可夫链中，设玛•表示从状态，转移到状态/的概率，X"表示时刻〃的

状态。已知初始状态x0=i,求P（X”=j）。

我们可以利用全概率公式来建立递推关系。考虑在时刻〃-1的状态，设&=｛X“_]=左｝,左=1,2,,n,

则P（X“=/）=£P（X“T=k）P（X„=j\X,T=左）=£%P（X“_1=k）。

k=\k=\

“1/—Z

令=P（X,=j）,则得到数列｛*/｝的递推式anJ=£Pkjan_tk,n>l,%,=F'一.。通过

k=l[U,J手I

求解这个递推式，可以得到P（X“=j）的表达式。

产品抽样检验问题

设有一批产品，其中次品率为P,每次从中随机抽取一件，检验后放回。现连续抽取〃次，设4表示

“第〃次抽到正品”，及表示“前左—1次抽到正品，第左次抽到次品"，左=1,2,,n.

由全概率公式可得P（4）=XP（纭）P（4J用）。因为每次抽样是独立的，所以P（AJ瓦）=1一2（当

k二l

左<〃时），m,|5,,）=1,p（Bk）=p（i—p）i。

〃一1八一1

则P(A“)=XP(1—P)I(1-2)+P(1-P)"TX1=(1—p)XP(1—2)I+P(1—P)1。

k=lk=l

n-\

令4=p(4),则a〃=(i—P)XP(I—P)J+P(I—p)"-，这是一个关于数列｛%｝的表达式，通过等

k=\

比数列求和公式等方法可以进一步化简求解。

解题步骤

首先，根据问题的实际情况，确定样本空间的划分以及相关事件的概率。

然后，利用全概率公式建立数列的递推关系。

最后，通过求解递推关系，如利用累加法、累乘法、构造等比数列等方法，求出数列的通项公式，从而得

到所要求的概率。

示例

一个袋子里有3个红球和2个白球，每次从袋子中随机取出一个球，取出后放回。设%表示第〃次取到红

球的概率。

第〃次取球时，考虑第九-1次的情况。若第1次取到红球(概率为%_i),则第〃次取到红球的概率为

33

—；若第1次取到白球(概率为1-),则第〃次取到红球的概率为一。

55

33333

由全概率公式可得4=4TXg+(l—%T)Xw=§,n>2,又所以仅”｝是常数列，4=§，

neNJ

全概率公式与数列结合的问题需要综合运用概率知识和数列的求解方法，通过建立递推关系来解决概率问

题，在实际应用中具有广泛的意义，能帮助我们分析一些具有动态过程的随机现象。

例题精选

【例题1】(2023・新课标I卷•高考真题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人

继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮

的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(>，=力.记

(3)己知：若随机变量X,服从两点分布，且尸(X,=l)=l-P(Xj=0)=q,/=l,2,则E

i=l

前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y).

【例题2】（2025•四川成都•二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线8.公园附近的居

民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线8的概率

均为1;前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为g和.已知居民第一天选择路

244

19

线A的概率为：，选择路线B的概率为2.

（1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为y,求y的分布列及期望；

⑵若某居民每天都去公园散步，记第«天选择路线A的概率为P,..

（i）请写出匕+1与匕（〃eN*）的递推关系；

,.16.nM,

(ii)设M八=-4讦•]A<----1-------F+2<((〃eN*).

取|15^,-9|'水".4M2M3

Mn+l

【例题3】（2025・湖北・二模）已知某商店出售商品A,据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定,

每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：

对A的需求量0123

]_j_£1

概率尸

8248