江西省抚州市2023−2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷含答案

/江西省抚州市2023−2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数，则等于（

）A． B． C． D．2．在数列中，若，则（

）A．-2 B．4 C．1 D．3．2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（

）A． B． C． D．4．设，，随机变量X的分布列是a则方差（

）A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关5．已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（

）

A．的减区间是B．的增区间是C．有一个极大值点，两个极小值点D．有三个零点10．下列说法正确的是（

）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．若，则C．已知，若，则事件M，N相互独立D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.0511．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则的最小值为D．若方程有两个实根，则三、填空题（本大题共3小题）12．若直线与曲线相切，则.13．小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为．14．已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．已知函数(1)求的单调增区间；(2)方程在有解，求实数的范围.17．已知数列的首项，且.(1)求数列的通项公式：(2)若数列的前项和为，证明：.18．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．附：若，则．19．已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1.(1)求的值及函数的单调区间；(2)证明：当时，；(3)证明：当时，.

参考答案1．【答案】A【详解】因为函数,所以,所以.故选：A.2．【答案】B【详解】因为数列中，，所以，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.故选：B3．【答案】D【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有种情况，其中化学和地理都没有被选中共有种，因此化学和地理至少有一门被选中的概率是.故选：D4．【答案】B【详解】由分布列可得，故.故选：B5．【答案】D【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且，所以设，所以.故选：D6．【答案】B【详解】因为，则，因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，即，可得，设，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，当时，，故.故选：B.7．【答案】A【详解】由题意得当时，，则，所以，，……，，，所以，所以，所以，因为当时，，则，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A8．【答案】C【详解】由，两边同时加，得：.设，则，所以在上单调递增.所以.设，，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.由.故选：C9．【答案】BC【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.故选：BC10．【答案】BC【详解】对于A，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误；对于B，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确；对于C，因为，所以，即，则，则事件M，N相互独立，故C正确；对于D，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误；故选：BC11．【答案】BD【详解】定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；有且仅有两个不同的零点，A错误；对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.12．【答案】2【详解】因为，所以.由，因为，所以切点坐标为，因为点在直线上，所以.故答案为：213．【答案】/【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，则，，则.故答案为：.14．【答案】【详解】点到直线的距离，则，又，由知，和在上单调递增，所以在上单调递增，其值域为，又，令，令，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，因为对任意的，都有恒成立，所以，所以实数的最大值为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，得解得或（舍）∴；（2），，此时；

，，，，所以.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1），由解得，或，所以的单调增区间为，；（2），当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，，所以，若方程在有解，则.17．【答案】(1)(2)证明见详解.【详解】（1）因为，所以，即，将上述个式子相乘得，所以，当时，成立，故.（2）由（1）得，所以，所以，即.18．【答案】(1)159(2)取得最大值时n的值为8【详解】（1）因为，所以，则，所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．（2）依题意可得，，设，所以，所以所以，因为整数，所以，所以当取得最大值时的值为8．19．【答案】(1)，的单减区间为，单增区间为；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）