湖南省娄底市涟源市第二中学2024～2025学年高二下学期4月期中考试数学试题含答案

/湖南省娄底市涟源市第二中学2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数，则z的虚部为（）A． B． C． D．3．已知，，则（）A． B． C． D．4．的展开式中的系数为（）A．2 B．6 C．4 D．5．某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（）A．1440 B．2880 C．480 D．9606．已知，则的最大值是（）A．-1 B．1 C．4 D．77．圆与圆的公切线有且仅有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条8．设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（）参考数据：；；A．这次考试等级分的标准差为5B．这次考试等级分超过70分的约有45人C．D．这次考试等级分在内的人数约为48人10．设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（

）X012PA．恒为1 B．随增大而增大C．恒为 D．最小值为011．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么.13．从3名男生和5名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有种（用数字做答）；14．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为．(参考数据：，，)四、解答题（本大题共5小题）15．已知.(1)求的最小正周期，最大值和最小值.(2)把的图象向右平移后得到的图象，求的解析式.16．若.(1)求的值；(2)求的值.17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望.18．如图，在四棱锥中，平面，，，.

(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分.已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为.(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；(2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.求乙在答题过程中使得分最大的答题方式，并写出最大得分.

参考答案1．【答案】D【详解】由交集定义可知：.故选D.2．【答案】A【详解】复数的实部为2，虚部为.故选A.3．【答案】B【详解】因为，，所以.故选B.4．【答案】D【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数，又二项式的展开式的通项为，令，可得，则的系数为.故选D.5．【答案】B【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，与剩下4名学生进行排列有种排法，又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法，因此根据乘法原理得所求种数为，故选B.6．【答案】B【详解】由题意可得：，因为，所以，当且仅当时取等号，即故选B.7．【答案】A【详解】圆：，所以，.圆：，所以，.因为，，所以.所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线.故选A.8．【答案】C【详解】令，∵函数在上是可导的偶函数，∴在上也是偶函数又当时，，∴，∴，∴在上是增函数∵，由得即不等式转化为，∴x不为0时有，而x为0时，不等式显然成立，∴不等式的解集为.故选C.9．【答案】AD【详解】对于A，因，则，故A正确；对于B，因，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误；对于C，因，故C错误；对于D，因，故这次考试等级分在内的人数约为人，故D正确，故选AD.10．【答案】AC【详解】因为，解得：，所以随机变量的分布列如下图，X012P因为，恒为1，故A正确；B错误；，故C正确，D错误.故选AC.11．【答案】AC【详解】设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，．由余弦定理可得，所以，所以椭圆的离心率．设，，则，，，所以，又，，相减可得．因为，所以，所以．故选AC．12．【答案】0【详解】因为随机变量X服从两点分布，，所以，所以，因为，所以.13．【答案】30【详解】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有5种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为.14．【答案】131022【详解】n次二项系数对应杨辉三角的第n+1行，例如，系数分别为1,2,1,对应杨辉三角的第三行，令x=1,就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前n项和，可得当n=14，再加上第15行的前14项时，所有项的个数和为119，由于最右侧为2,3,4,5，……，为一个首项为2，公差为1的等差数列，则第15行的第15项为16，则杨辉三角的前17项和为，且前17行中有个1，故此数列的前119项的和为.15．【答案】(1)周期为2π，最大值为4，最小值为(2)【详解】（1），

∴的最小周期为2π，最大值为4，最小值为.（2）把的图象右移后得,.16．【答案】(1)242(2)【详解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴.（2）∵，令，可得①，令，可得②，结合①②可得：17．【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为；（2）X的可能取值为则，，，.

所以X的分布列如下：X0123P.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，，，所以四边形为直角梯形，取中点E，连接，则，则四边形为正方形，

则，，所以，所以.

因为平面，平面，所以，

因为，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，则，，，则，，

设平面的一个法向量，则，即，令，则，故.

由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量，记作，记平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．【答案】(1)(2)乙同学选择双选AC时得分最大，最大值为分【详解】（1）设事件A为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”，即，.

设事件B为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，则，，

所以，则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为.（2）由题知选项B，D不能同时选，则乙同学可