2021年中考数学综合题冲刺专题30 三角形综合练习（基础）（含答案及解析）

专题30三角形综合练习（基础）

I.如图，在四边形A8CQ中，AB=CD,AD=BC,。为AC的中点，过点。作直线.

（1）若直线与A。、分别相交于点£、F,如图①，则AE与CF有何数量关系？请说明理由.

（25若直线马AQ、.C8的延长线分别相交于点.£、F,如图则（1）,ME与C尸的关系成立吗？

（3）若直线与DA、6c的延K线分别相交丁点E,尸，如图③，贝【J（I）中AE勺C厂的关系还成立吗？

请说明理由.

【分析】（1）先判断出四边形A8C。是平行四边形，即可得出NAEO=NCFO,即可判断出△AOEgA

COF,即可得出结论：::::

〜一（2）同（1）的方法即可得出结论；'〜〜.

］>小3>同（I）的方法即可得出备论.：二?二二'：1一

［解答］解：（1»,AE=CR,.”，S.•［、

理由：'：AB^CD,AD=RC,

f，・•・四边形ABC。是平彳亍四边形，<cf■'

：,AD//BC,

JZAEO=ZCFO,

•.•。为AC的中点，

二P1r»,j*'yjJ^•，7\JL^，一jVjpw

：.OA=OC,

•—•••

4EO=4FO

^AOE=LCOF，

（OA=OC

•••△AOEWZXCO尸，,..

：.AE=CFt

（2）（1）中A£与C『的关系仍然成立，理由：耳⑴的方法；.，.：，..

--

3

（3）（1）中A瓦与的关系仍然成立，理由：同（1）的方法；..

【点评】此题是士角形的《合题，主要考孟宇平行四必形的判定和整戢全等三%形的判定和在意解

本•题的关键是判断出24EO=/C厂0,泥一道简单的中,常考题.，z

2.如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,5C=m点Z）是BC上一动点（不与点B、C）重合，Z

BDE二NC,BE±DE.

（I）求乙4厂。的度数；

Dp

（2）在点/）运动过程中，广;的值是否为定值？说明理由.

DF

1

（3）当。。=割。时，连结AD,△A3。三边上分别有动点尸、M、N,（点尸在3D上），当△PMN的

周长取最小值时，求AP的长.

1

【分析】（1）.先由等腰直角三角形的性质得/ABC=NC=45°,贝IJNBDE=3/C=22.5°,再由三角形

’的外角性质求解即市＜':-3'''］；='〜

，（2）过点。作AC的平行线，交A8于G,交BE的延长线于从先证入4DG是等腰直角三角形，’得BG

=GD,NBDH=45°,再证。8=。从得BE=EH,然后证△3〃G0△OFG（/US）,•得。/=/汨=28，

/*Z//#«

即可得出答案；：：：

（3）分别彳乍点P关于A。、AB的对称点尸，片，连接PF,分别交AB、AD于M、N,由对称的性质得：

PM=P-M,PN=PN,4严=AP=4/，ZP'AD=ZPAD,^P-AB=ZPAB,则△尸MN的周长=P'P"，上

匕4P”=2N84D为定值，是顶角为碑值的等腰二角形，当”上3C时，“最短，即腰馋型小,

则•产P“最短，即可得出结论.49••

J尸*Jr，

【解答】解：（1）・・・AB=AC,NZMC=90。，

•••△ABC是等腰直角三角形,

・・・2ABC=/C=45°,一'

/»,.♦"A

・•・/BDE=1ZC=F22.5°,:、

2.卜・••>

：.^AFD=ZABC+^BDE=^50+22.5°=67.5°；

（2）在点O运动过程中，空的值是是值，理由如下;

过点D作AC的乎行线，殳AB于G,交BE的延长线于H,如图1所示：

',:GDHAC,，・，・

••

：・NBGD=/BAC=9a0,

・•・△MG是等腰直角三角舷，

；・BG=GD,NBDH=45°,,■,■・

・・・NEQ”=45：：-NBOE=45°-22.5°=22.5°,

?.ZBDE=ZEDH=22.5°^\t

Vto±DE,#,f...

''F9

:,NH=4DBH=675°,

：.DB=DH,

:.BE=EH,一,■■一

又•：NH=/DBE^75°,,

：.-ZH=ZAFD,••

ii一—s,.Ai/,2,

:.△BHGWMDFG(AAS),

:.DF=BH=2BE,

.BE1

，=—•

DF2'

'⑶当CD=hc=L时,‘NABD为锐角4形，

5J

分前作点P关于AO、“B的前春点P、P”,连接〃尸”，办别交AB、AO于A/、N,加图2所示：

£・■・励.■・

由对称的性质得：PM=P"M,PN=P'N,AP,=AP=AP\ZP'AD=ZR\D,ZP"AB=ZPAB,

则APMN的周长=PM+MN+QN=P'M+A〃N+PW=P'P"，4PAP'=2ZBAD为定值，AAPP'是顶角为定

值的等腰三角形，'

当腰长越小时J谣边长也越小，•J，•［、,•I、

当A/<L8C时，A尸将，即腰长最小，.:「‘，,*/’,

・•・/尸”最短：.

11.

即APMN的周长最小，此时/y=280=2%

接三角形的判定马性质、平行线的性质、轴对■称的性质、最小值问题等知识；本题综合性强，有］定难

度，熟练掌握全等三%形的判定与性质、等腰三脑形的判定与•性质是解题前关键，属于中考常考题型'

3.将两个全等的等边一:角形△ABQ和△BC。按如图所示放置，AB=2,七是边4。上的一个动点，将射线

BE绕点8顺时针旋转60°,交。。于点立

（1）判断aBE5的性状，并说明理由.

（2）设△BE尸的面积为S,求S的取值范围.

（3）当△8"的面积最小值’，在8£上是否存在点P,使QP+8P+AP最小？若存在，求H；QP+8P+AP

的最小值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）结论：ABEF是等边三角形.由AEBD且AFBC,⑥出8E=BF,由NE8F=6（?,推出△

仍少是等边与布形；

♦«♦

・•（2））①当‘点E与Ar重合时，△4"与AW/S重合，•此时得到△8EF面积的最大值.②当BE_L4OH%

'【■得到△BEr面积的最小值，，求出最大值以及最小俏.即可解决问题；.•［、，.）、

gf।j..__

（3）存在.如图;将AAB。沿A/?翻折得到△ABD',E的对应点为&.易知:%+P/）+PB=AP'+PD+PP'

»A-J，酒尸」》ft'，

=P'D'+PP'+PD,属于当。、P、P'、D'共线时，必+PO+PB最小，最小值为线段。》的长；

【解答】解：(1)结论：△8E”是等边三角形.

理由：:△"Q喻△BCD都是等边三角形,一

:.AB=BD=BC,NEDB=NC=6U0,

VZEBF=ZDBC=(/)°,

・•・4EBD=/FBC,.^.

在△EBD和△F8C7，

BD=BC

乙EBD=乙FBC，

ZEBD=乙FBC

••:△EBD@/\FBC,

工BE=BF,

VZE5F=60°,--川

•••△EM是等边壬角形.»；工》r・：【》，；，

(2)①当点E与A重合时，ABEF与△AO/3重合，此时得到△8EF面枳的最大值为=x22=翼,

②当/双LAO时，得到△坟沟面积的填小值，因为此时阵字X2=V5,^

所以△阳/面积的垠小值为半・(75)工学，

4、，•/»，■」

/.—<S<V3,.」/：・J.

4

t•*„ik

(3)存在.如图，将△AB。沿AB翻折得'到△AB。'，E的对应房为6'.

易知：PA+PLHPB=^AP'+PD+PP'=P'D'+PP'+PD,

・•・当。、P、P'、。'.共线时，始+PD+PB最小,最小值为线段。。’的长，最小值为26.

【点评】本题考套三角形综合题、等边三角形的性质和划定、全颦三角形的判定和性质、两点之间线段

’.最短等知识，解题白族键显正确寻找全等三角弦解决徜题，’学会利用对称.根加两种之间线段最短球夬

最值问题，属于中考压轴题.IJ（・■:」*♦

4.已知在△A8C中，NAC8=90°,CA=CB,CQ_LA8于。.

（I）按要求补全图1,若点E是线段C。上任意一点（不与端点重合），①过点E作£7LLCQ交人。于

F;♦②连接、8a③取8尸中点.G,连.接EG；♦、■

■（2）判断（1）中EG与8C的位置关系并证明：

（3）将（1）中的ACE/绕点C旋转到如图2的位置，其它条件不变，判断EG与4户的数量关系并证

明、

图1图2

【分析】（；）补全的图如图1所宗.〈二二"一”'一

.（2）如图1市，结论：EG//BC.延长F£交8c于”.只要证明FE=E从即可利用三角形中位线定理

证明.*:r.•:

\J〜^TLX*，:*'ZTX*</1一三L»・

（t3）结论：AF=2EG.延长柱到H,使得EH=£/,.,连接CH、BH.首先证明4〃=2£G,再证明△4C7；

〃，推出AFTBII即可解决问题.

£△〃CJ**/J,*<

【解答】解：。）补全的图如图1所示.

a

图1

,(2)如图1也%'论：瓦/〃BC..•』‘/,

理由：延长FE交BG于〃.，

I•'

'：CA=CB,NAC8=90°,CDLAB,

・・・，

N■AC,O=«NBCO/=45°；w

•■VEFlCD,♦”

工/CEF=/GEH=90°,>,

・・・/CFH=NCHF=45°,,•

□_.一,'Jr

：.CF=CH,・：CELFH,

:.EF=EH,"：FG=GB,

/♦・<**/r♦

:・EG〃BC.•,、•一

，°，"，，

••

(3)结论：AF=2EG.理由如下：

如图2中,延长尸E到H,使得EH=EF,连接CH、BH.

::EF=EH,FG言GB,

:・BH=2EG,

,J—・一

•••△CM是等腰直角三角形,

8

：・CE=EF=EH,CE^FH,

:・CF=CH,N,FCH=NACB=90',

•*••

：./ACF=《BCH,f

容ZVI"和△BCH中，

AC.=CB

乙ACF=^BCH,....t

CF=CH

:：AF=BH,・；BH=2EG,，’f.

：.AF=2EG.

【忘评】本题％查三角形综合瞿、三角形市位线定理、全等三角形.的加定和性质等网识，解题/关键是

二学会添加常用辅助绯构造全等三角形解决问题，属耳中考常考题型.；，•<•/；，

5.在△ABC中，AB=AC,将线段8C绕点8逆时针旋转60°得到线段8D.

(I)如图1,若NBAC=40°,则NABD=10°；.

(2)如图2,NBCE=150°,ZABE=60°,判断△A3E的形状并加以证明；

(3)在(2)条件下，连结OE,若NDEC=45°,设N8AC=a(00<a<6O0),求a的值.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出N.A8C,根据N4?0=/4〃C-NQ5c计算即可..

・A工・#/1w1*

(2)于△ABDgZ\ACQ(SSS),推出NADB—NAOC=15()0,再证明△AAQgZkE'BC(A4S),推出A/3

=BE即可解决问题.■

，.-，，-，・

(3)只要证明入。EC是等腰直角三角形，即可推出BC=CE,ZCBE=^CEB=\5Q

【解答】解：(1)如图1中，；A8=AC,NA=40°,,

・•・ZABC=ZC=70^,

VZDBC=60*,

：・2ABD=NABC-/DBCFC・60：=10°.

•Ir(vat:

故答案为10.

♦♦/•，一jftt

'，'(2)结论：XABE是等边2角形，''

理由：连接A。，CD：ED,

•・•线段BC绕B逆时针旋转60，得到线段BD,

BC=BD,ZDBC=60°,,»

•・•ZABE=60\,

:•・/钻。=/左改\,且488为等边三角形；'

f在AAB。与△ACO「I卜.

f/>*,4-

AB=AC

AD=AD，

BD=CD

■，1/1»4J：.

-'•••△ABDgZXAC。(^SSSK*

JNAOB-/AQC=150°,，

\,・NBCE=150',.♦

，，,，

r.ZADB=2BCE,

在△A8O和中，

—\(ZABD=ZEBC..

\BD=BC、，

U4DB=乙BCE

：.AABD^^EBC(A4S),

：.AB=BE,VZABE=60°,

•••△ABE是等边三角形.•.,一

八/./a丫―

(3)如图2中，.'由(2)可知,ZBCD=60°,

［、，。、•・工、

VZBC£=150°,

^9.4..一・•

/.ZDC/-=90°,

•・•NOEC=45°,.

・・・/C£>E=/OEC=45°,,

：.CD=CE=CB,

Fir(♦j,

：・NCBE=NCEB±15。,/,

■：NBAD=NDAC=NBEC,'t

■•

・•.N8AO=N/”C=15°,

AZBAC=30°

【点评】本题考查‘了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性

••••

质的应用，注意：全尊三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS，全等老角形的性质是全浮三角形的

对应边相等'，对四角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线构强基至三角形解决问题，属'于;I速压轴

题•♦

6.等腰△ABC中，AC=BC,ZABC=a.

'(I)如图1,C7)_LA〃于。，作AC’的垂直平分线交A8于上，若A〃=X,AC=3,求他的值；

(2)如图2,若BQ平分NAEC,分别过C、。作BC、B。的垂线，相交于尸点，‘当a=30°时，试探

究尸Q、BQ、CQ三边的关系；

(3)若将图2中NPCB、ZPQB都改为120°,当a=20°时，其他条件不变，试探究PQ、BQ、CQ

.三边的关系.

【分析】(1)根据等微三面形的性质得到小＞=8。=%3=4,由勾股定理得到CQ=3,由线段垂直平分

线的性质得到CE=P£,根据勾股定理即可得到结论；，

(2)如图2,过C饵CDJLC。交BQ于。，根据等腰三角形的性质得到/川石=120°,根据角平分我

的定义得到NC8Q=15°,推出△CQD是等腰直角三角形，求得'。。=&CQ,根据全等三达形的性质

得到BD=PQ,亍是得到结论：

(3)如图3,作NQCQ=120°交〃。手。，过C作C〃J_8。于〃，根据角的和差得到NQCP=NBC7),

根据等腰三角形的性质得到NACB=140。：,•根据全等三角形的性质得到BD=PQ,于是得到结论：一

【解答】解：(1)VAC=BC=5,CDLAB,

1

：.AD^BD=^AB-4,

L•3f•JrT•.X♦

：.CD=3,

•:BC的垂直平分线交AB于E.

:.CE=BE,

：・DE=4-RE,.

•:3+D呼宁C仔,.

.

A32+(4-BE)2=/法2,

(2)如图3,•理C作CQ_LCQ交BQ午。，

*：AC=BC,ZABC=30°,，

・•・NAC4=120。；，

14Q平分N/Wc!、

，・・・'/CBQ=15°，/.,'f.

:・NCQB=45°"

・・・ACQ。是等腰直角三角形，.

：.DQ=y[2CQ,-*

*：ZPQB=ZBCP=90°,»,

・・・NP=NCBQ=5,

f^P=ZCBE

在△CQP写hpQC=Z.BDC=135°-

(3=CD

♦*<\"1j1/♦•<**!_/:♦

■'：.XCQP@1XCDB一■..

；・BD=PQ..j.•广.广

，：BQ=BD+DQ,

/.BQ=PQ+&CQ；

(3)如图3,作N0CO=12O°交80于。，过C作C〃_L4。于〃，〜

.〈2PCB=/PQB=1200・,'

,•,v./厚,_*♦Jr•■

:・/QCP±/BCD,

k〜口^"\X>W>G

\'AC=BC,NABC=20°,

••

••・N4C8=140°,f，

•・・3Q平分/ABg

・・・NC8Q=100.，

:・NCQB=30°,

AZCDe=30°，

：.CQ=CD,

:.DQ=2QH=V3CQ,

a

■I，f2QCP=NDCR

在ACQP与△CQB中，jCQ=CD，

[z-PQC=乙BDC=150。’

I,

:ACQP沿4CDB,

:,BD=PQ,

，：BQ=BD+DQ,

・"Q=PQ+V5CQ.

/彳三角形的判定和性底，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.已知等腰△ABC中，A8=AC,点E是△48C内一点,，点。是8C边的中点，连接A£,DE.

,，•

(1)如图1,当NBAC=60°.,ZBEC=\2Q°时，求证：AE=2DE；

(2)如图2,当NBAC=90°,ZBEC=135°时，求证：AE=V2DE：

(3)如图3,当NBAC=a,NBEC=90°+,a时，猜想AE、OE的数量并证明.

【分析】（1）根据旋转的性.质，可得谗且为等边三角形，根据三角形外角的性施,

可得NFR4+4/法=120°（N4CE+/EBC）=60—,,根据全等三角彩的判定与性质，可得EC*G,

/ECD=NGBD,再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=E凡根据等量代换,.可得答案；.

f••1

（2）同（1）的方法得出'再同（1）的方法得出£尸/EG=2OE,即可得出结论；

（3）同（1）的方法彳导出E/=EG=2OE,再用锐角三角函数即句得出结论.-

【喊答】解：（1）犯图1，将AACE绕点A时期针旋转6（5。得到△然凡学接荏长团至点G：

使OG=£Q,连琢BG.•二.'•二.-1•

・•・/VW"'0△ACE且为等边2角形.

：.AE=AF=EF,CE=BF,NF8A=/ECA,’.

V^FBA^ABE=ZEC/H600-Z.EBC_

=60°-Z^CE+60°-ZEBC=120°.-QBCE+/EBC)=60：，

'，」.♦J，9“A9.“

：,ZFBE=ZFBA+ZABE=6^.

*

(ED=GD

在△ECD和△G6£>中，4CDE=乙BDG」

■CD=BD

:.△ECDgAGBD(SAS),

工E«=BG,WECD=NGBD,.

\\BG=BF,ZGBE=^GBD+ZEBD=ZECB^EBC=600=NFRE.

BE-BE

'在△EBG和△防尸中，乙EBG=乙EBF,

,BG=BF

:AEBG@4EBF(SAS)

:.EG=EF,一

一工."r.•―.?

•:.EF=EG」2ED,--

；,AE=2ED.\'

（2）如图2,将△ACE绕点A时顺针旋转90°得到△ABF,连接EE延长EZ）至点G,

使。G=£。，连扳8G.

'MJ"一，,।.3，

・•・△440△ACE,且△?1£尸为等腰直角三甭形.

■

：,EF=V2AE,CE=BF,ZFBA=ZECA,

VZFBA+^ABE=ZECA+450-^EBC

=45°-Z^CE+45O-NEBS90°-(NBCE+/EBO=45°；

：.ZFBE=ZFBA+2ABE=45a\

*、(ED=GD.「

在AECD和△GB。中，1/.CDE=乙BDG，

，(CD=BD

»'

.*./\ECD乌丛GBD(SAS),

；・EC=BG,NECD=/GBD,

.-'：.BG=BF,/GBE±NGBD+/EBD=NECB七EBC=45)=/FBE.--

BE=BE.J'，.，.J

,在△E8G和/中，乙ERG=乙EBF,

1(BG工BF

.,•△EBGWAEBF(SAS)

:.EG=EF,

・

.•.：EF=EG=2ED,..w.

\.:・&AE=2ED，.•

jftJ，<,，，■,

：.AE-6DE\

*，-pJr.AJr,1J-

4♦r—・..:—一上

a

(3)AE*sin-=DE.

2

；,:理由：如图3,w..

j.、^AACE绕点A可顺针旋转a得到△A8£,♦存接EV.,延长ED至点,G)、，.工

使•。G=EO,连接BG.•••

—J，jBn*j・才.

AAABF^AACE,且△AEF为等腰三角形.

:・CE=BF,NFBA=NECA,

♦♦1・♦

,//FBA+/ABE=N£04+90°-1a-ZEBC.

二90。一焉a-N8CE+90。一｝-NEBC=l8(r-a-ZBCE+ZEBC)=90°4,

LLL

・・：NFBE=NFBA+NABE=9»-^a.

乙,

ED=GD

在△EC。和△G8D中，乙CDE=LBDG，、J*

CD=BD

:.AECDm4GBD(SAS),

:.EC±BG；ZECD=NGBD,

:・BC=BF,NGBE=NGBD+NEBD三NECB+NEBC=90°=NFBE.

-•yzV

(BE=BE

在AEBG和中，LEBG=乙EBF,•JL»

BG=BF

•■.•

•••△EBGg△砂产(SAS)

・・・EG=EF；

：.EF=EG=2EDf•

“♦^j|r.，,/•./w0

过点A作AHA.EF,

'：AE=Ab,

'•

111

:.HE=^EF/EAHN左NEAF=尻,

L922••

在RtZ\AE”中,sin/E4”=冬，

..2Er..

..sin-=-----,•

2AE

a1

AAE-sin-=-EF^ED,,

22

••

aff

.*.AE*sin-=DE.

2

【点评】此题是三角形综合题：主要考直了•旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是判断出EF=DG=2QE.4

8.如图，/XABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=4,线段MN在8c边上沿8c方向运动（运动开始时,

点M与点8重合，点N到达点C时运动终止），MN=1,分别过点M、N分别作3。的垂线，与折线5

->4一。交于P、。两点，设线段/3M的长为工

⑴线段MN在运总的过程中，当PM=QNH$,求x值；

（2）线段M/V在运动的过程中，尸M+QN=v,请用含x的式子表示），，并与出x的取值范围.

【分析】（1）先利用等腰直角三角形得出PM=BM,QN=CN,再利府线段的和差和PM=QN即可得出

2,）,TV-，口,，,，二.

.V；

（2）分三种情况讨论计算，①点P,Q都在4光E,②kP在43上，点。在AC*Jt，③点P,。都在

ACh,利用等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论.

【解答】解：（1）如图1,在448C中,A8=AC,N84G=90。，

・・・N48C=/AC8=N5。

*：PMLBC,QNkRC,

：・2PMB=4QNC=*S,.

在RtZ\PMB中，PM=BM,

同理：QN=cZ,

♦・I,―/e，・«・丈；♦

♦：PM=QN,--

:・BM=CN,.•:、

V/?C=4,M/V=l,

.*.BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4,

・「（2）①、如图2,在等腰宣先三角形A8C中，-5C=4,

:,BH=CH=兄=2,

,■:MN=T,,，；*，，

当OWxWl时，

■■《JtJ♦

二花RlZ\OMB中,；NKBC345。，

在,□△QN8中;QN=BN=BM+MN=x+\,

‘‘/

/.y=PM+QN=x+x+1=2.v+1,

..•・②、.如图3,当iq<2时,而①得,PM="M=x，

・.、在RtZ\QNC中，QN=CN,•.、

.•A>[,

IRC=BM+MN+CN,

，•一Sr-,

QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x,

/.},=PM+QNf+3-x=3；

♦•«"♦

，・♦♦4♦..'._1<<

J，下/4>■/•*

»,」>»*t%,

③、如图4,当2WxW3时，.

••

VZ?C=4,BM=x,'•

：.CM=BC-BM=4-x,

VM/V=1,,

，CN=CM・MN=4-x・i=3・x，

在为△PMC中，PM=CM24-x,

人同理：QN=CN=3-x,^,

.\y=m+QN=4-x+3-x=7-2x；

px+l(O<x<l)

•、即：y=3(l<x'<2)，.♦：「，♦一、，・「

(7-2x(2<x<3)

图3

图2

【点评】此题是三角/综合题.主要考查了等底直角三角形的性质，线段向和差，解本题的关键是用1

表示出PM,QN；是一道比较笥单的媒合题目.

9.如图所示，在△ABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BCm12cm,将△ABC绕点8顺时针旋转60°,得

到连接OC交AB于点尸.

(I)求NABE的度数：

9・•

(2)求7)。的长；

.-€'1-

(3)求△AC/与△B。/7的周长之和是多少？

【分析】(1)根据旋转角的定义进行解答；:

，，二》••i

'(2)根据旋转的性质得到NC80=6O°,BC=BD,然后根据等边三角形的判定方法判断△8C。莫等边

三•角形，则等边三角形的三床边相等；一

(3)先根据勾股定理计算由AB=13cm,再利用三角该周长定义得到△A。'与&DF的周长之和=