2025届高考数学二轮复习：专题九 计数原理与概率统计（含解析）

专题九计数原理与概率统计典例分析考查方式计数原理是高考的常考点，试题以选择、填空题为主，注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查，难度较低.主要考查方向为两个计数原理的简单应用、有限制条件的排列问题或简单的组合问题以及利用二项展开式的通项求特定项或特定项的系数.值得注意的是，对此块内容的考查还有一个趋势，就是将计数原理与其他知识综合，例如排列组合与古典概型相结合.在复习过程中，要立足于掌握基本的排列组合方法并熟练应用二项式定理.概率与统计是每年高考的热点之一，难度控制在中等程度，试题多以实际问题为背景考查基本概型的概率（古典概型、独立事件的概率、条件概率等），正态分布，二项分布，离散型随机变量的分布列、期望与方差，样本的数字特征（众数、平均数、中位数、方差、标准差等），对统计图表的分析（频率分布直方图、条形图、折线图等），回归分析，独立性检验，概率与其他知识综合等.复习的重点在于提高阅读理解和信息整理能力（包括准确理解原文、较快的阅读速度、发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力），数据分析能力、数学建模能力以及数学运算能力.高考真题1．[2023年新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有().A.种 B.种 C.种 D.种2．[2024年新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.亩产量频数61218302410根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过C.100块稻田亩产量的极差介于到之间D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间3．[2024年新课标Ⅰ卷]（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）()A. B. C. D.4．[2023年新课标Ⅰ卷]（多选）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则()A.，，，的平均数等于，，…，的平均数B.，，，的中位数等于，，…，的中位数C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差D.，，，的极差不大于，，…，的极差5．[2023年新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.6．[2024年新课标Ⅰ卷]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为___________.7．[2024年新课标Ⅱ卷]在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是__________.8．[2024年新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.（2）假设.（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？参考答案1．答案：D解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有种.故选D.2．答案：C解析：对于A，因为前3组的频率之和，前4组的频率之和，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为，故B不正确；对于C，因为，，所以100块稻田亩产量的极差介于至之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值为，故D不正确.故选C.3．答案：BC解析：由题意可知，，所以，，所以，所以A错误，B正确.因为，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正确，D错误.故选BC.4．答案：BD解析：对于选项A：，不确定，，，…，的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；对于选项B：不妨设，则，，，的中位数为，，，，，，的中位数为，故B正确；对于选项C：，，，，，的波动性不小于，，，的波动性，，，，的标准差不大于，，，，，的标准差，故C错误；对于选项D：不妨设，则，，即，，，的极差不大于，，，，，的极差，故D正确.故选BD.5．答案：64解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有（种）.法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有（种）.6．答案：解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：，，，.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为，，，；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有，，，或，，，或，，，，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7种组合.综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有（种），所以甲的总得分不小于2的概率.7．答案：24；112解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为.8．答案：（1）（2）（ⅰ）甲（ⅱ）甲解析：（1）设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则.设“乙在第二阶段至少得5分”，则.设“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则.（2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，则.设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，则.则，由，得，，所以，即.故应该由甲参加第一阶段比赛.（ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.，，，，所以.若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.同理，可得.，由，得，，所以，即.故应该由甲参加第一阶段比赛.重难突破1.某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是()A.40 B.30 C.20 D.102.某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：x（万元）34567y（万元）4550606570由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为()A.89.5 B.90.5 C.92.5 D.94.53.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A，B，C，D，E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有()A.420 B.460 C.480 D.5204.某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为()参考数据：，，A.455 B.1359 C.3346 D.10455.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是()A.图中a的值为B.这200天中有140天的日销售量不低于C.这200天销售量的中位数的估计值为D.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有85天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为6.若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为()A.54 B.-54 C.108 D.-1087.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.8.已知事件A，B满足，，则()A.若A与B相互独立，则B.若A与B互斥，C.若，则C与B相互对立D.若，则9.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则()A.， B.， C.， D.，10.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为()A. B. C. D.11.一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：ABCDE分值1020202030答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对A题的概率为，答对B，C，D题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为()A. B. C. D.12.随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的N个.设当参与者手中有n个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是()A.，B.记参与者通关的局数，在前13局中，，C.D.若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为13.（多选）在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标.如图是某专业机构统计的2023年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是()A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差14.（多选）关于下列命题中，说法正确的是()A.已知，若，则B.数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为77C.已知，若，则D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人15.（多选）对于二项式（m为常数且），以下正确的是()A.展开式有常数项B.展开式第六项的二项式系数最大C.若，则展开式的二项式系数和为D.在上恒成立，则16.某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为__________.17.若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为___________.18.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______.(结果用分数表示)附参考数据：；；.19.已知随机变量的取值为i（）.若，，则____.20.编号为1，2，3，4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示三个球号码的平均数，则m与n之差的绝对值不超过0.2的概率是___________.21.如图是某投资公司2012年至2021年每年的投资金额X（单位：万元）与年利润增量Y（单位：万元）的散点图.该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了Y关于X的两个回归模型.模型①：由最小二乘公式可求得Y与X的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，对投资金额X做换元，令，则，且有，，，.（1）根据所给的统计量，求模型②中Y关于X的回归方程；（2）分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.附：样本点的最小二乘估计公式为，.参考数据：，.22.进入12月就到了贵阳市附近草莓采摘的时间，某草莓园为了制定今年的草莓销售策略，随机抽取了去年100名来园采摘顾客的消费情况，得到如图的频率分布直方图.（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计顾客消费的中位数；（2）若把这100名顾客中消费超过120元的称为“超级消费者”，完成下表，并判断是否有的把握认为“超级消费者”与性别有关.男女总计超级消费者828非超级消费者32总计100附：，.0.500.400.250.150.1000.0500.025k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02423.为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：），得到了如图的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度之比为.（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲.假设第一周演讲的3名学生中假期日均阅读时间处于的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.24.食品有三个等级：有机食品、绿色食品、无公害食品.某调查机构在某大型超市随机调查了50种不同的食品，利用食品分类标准得到的数据如下表：等级有机食品绿色食品无公害食品种类101525（1）将频率视为概率，从这50种食品中有放回地随机抽取4种，求恰好有2种食品是有机食品的概率（结果用分数表示）；（2）用分层随机抽样的方法从这50种食品中抽取10种，再从抽取的10种食品中随机抽取3种，X表示抽取的是绿色食品种类的数量，求X的分布列及数学期望EX.25.2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：，，，.

答案以及解析1.答案：D解析：设样本中松树苗的数量为n棵，根据题意，可得，解得，即样本中松树苗的数量为10颗.故选：D.2.答案：B解析：由表中数据可知，，，所以，解得，所以当宣传费用时，销售额y的估计值为.故选：B.3.答案：C解析：求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，4个学校所选研学基地都不相同有种方法，所以不相同的选择种数有（种）.故选：C.4.答案：B解析：，则数学成绩位于的人数约为，故选：B.5.答案：D解析：对于选项A，由图知，解得，所以选项A正确，对于选项B，由图知日销售量不低于kg的频率为，由，所以选项B正确，对于选项C，设中位数为x，由，解得，所选项C正确，对于选项D，设第分位数为a，则有，得到，所以选项D错误，故选：D.6.答案：A解析：令，可得，所以，则展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为.故选：A.7.答案：B解析：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有，，，，，，，，，共10种.其中恰有2只做过测试的取法有，，，，，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B.8.答案：D解析：选项A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误；选项B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误；选项C，若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，，但事件B，C并不互斥，也不对立，故C错误；选项D，若，则，则，故D正确故选：D.9.答案：C解析：设这个班有n个同学，分数分别是第i个同学的成绩没录入，第一次计算时，总分是，方差第二次计算时，，方差，故.故选：C.10.答案：A解析：设事件A为甲去场地A，事件B为场地B有且只有1名志愿者，事件A：甲去场地A，当剩下的3名大学生只去场地A，B，C，有种方案，当剩下的3名大学生只去场地B，C时，有种方案，共12种不同方案，事件：甲去场地A，且场地B有且只有1名志愿者，场地B，C各有1名志愿者时，有种方案，共9种方案，当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为：.故选：A.11.答案：A解析：若从B，C，D中只选择了一题，则甲能获奖的概率；若从B，C，D中选择了两题，则甲能获奖的概率；若从B，C，D中选择了三题，则甲能获奖的概率.故甲能获奖的概率.故选：A.12.答案：C解析：对于A，当时，游戏币已经输光了，因此，当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确；对于B，由题意可得，，所以，故B正确；对于C，参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局，也可能来源于有个游戏币再输一局，由全概率公式，，故C错误；对于D，由C得，所以为等差数列，其中首项，设公差为，则，即，，所以，当时，，故D正确.故选：C.13.答案：BCD解析：对于A，2023年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故选项A错误；对于B，由校车销量走势图知月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故选项B正确；对于C，月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故选项C正确；对于D，由校车销量走势图知月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故选项D正确.故选：BCD.14.答案：CD解析：对于A，，，，解得，故A错误；对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，，分位数为第5个数，即78，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，故D正确.故选：CD.15.答案：AB解析：对于A中，由二项式的展开式的通项为，令，可得，此时展开式的第6项为常数项，所以A正确；对于B中，由二项式的展开式，结合二项式系数的性质，可得展开式的第6项的二项式系数最大，所以B正确；对于C中，当时，展开式的二项式系数和是，所以C错误；对于D中，由在上恒成立，可得或在上恒成立，即或在上恒成立，又由在上单调递减，所以，函数在上单调递减，所以，所以或，所以D错误.故选：AB.16.答案：解析：设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知，，，.故答案为：.17.答案：280解析：由题意可知：二项式系数和为，解得，则展开式的通项为，，令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：280.18.答案：解析：由题意可知，，事件为，，，所以，，，由条件概率公式得，故答案为.19.答案：解析：随机变量的取值为i(），，