热点专题 4-1 三角函数概念与诱导公式【10类题型】（原卷版）- 2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

专题4-1三角函数概念与诱导公式近5年考情考题示例考点分析考点要求2023年甲卷，第14题,5分三角函数概念与诱导公式考点分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定义，理解其在单位圆上的几何意义。诱导公式是重点，需熟练记忆并应用，解决复杂角度的三角函数值问题。（1）三角函数基本概念（2）任意角的三角函数（3）同角三角函数的基本关系（4）诱导公式2022年浙江卷第13题,5分2021年甲卷第8题,5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）【题型1】等分角的象限问题 1【题型2】三角函数的定义 3【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 4【题型4】弦切互化求值 5【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系 6【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 6【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） 8【题型8】扇形弧长与面积的计算 9【题型9】割圆术 10【题型10】象限与三角函数正负的辨析 12模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】等分角的象限问题如何确定角终边所在象限法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限已知是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【巩固练习2】已知，，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【题型2】三角函数的定义一、任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况已知为角α终边上一点，则=．（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（）A．B．C．D．【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（）A．B．1C．0D．2【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（

）A． B．0 C． D．【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系3、知切求弦：先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方关系求解若sinα＝－，则tanα＝.已知，则（

）A． B． C． D．【巩固练习1】已知，，则等于（）A．B．C．D．【巩固练习2】若，,则.【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【题型4】弦切互化求值1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．已知，则（

）A． B． C． D．若，则.已知角θ的大小如图所示，则＝（）

A． B． C． D．4【巩固练习1】已知，则.【巩固练习2】已知，则．【巩固练习3】已知，则的值是．【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系对于，，这三个式子，知一可求二：（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．已知为第三象限角，，则（）A．B．C．D．【巩固练习1】已知，A为第四象限角，则等于（）A．B．C．D．【巩固练习2】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数一、诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤eq\x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【巩固练习1】已知为第三象限角，=.【巩固练习2】已知，且，则＝.【巩固练习3】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．(1)求的值；(2)求的值．【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）等可利用诱导公式把的三角函数化已知，，则（

）A． B． C． D．已知，则（

）A． B． C． D．已知，则。【巩固练习1】已知，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】若，则等于（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知，则=。【题型8】扇形弧长与面积的计算一、扇形弧长与面积的基本公式已知扇形的半径为R，圆心角为弧长公式：面积公式：二、应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（

）A． B． C． D．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（

）A． B．3 C． D．4如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为．

若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.【巩固练习1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角扇形面积最大．【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（

）A． B． C． D．【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为.【题型9】割圆术割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（

）A． B． C． D．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【巩固练习2】如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（

）A．时， B．时，C．时， D．时，【题型10】象限与三角函数正负的辨析首先明确各象限坐标符号，再根据三角函