专题05 圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)原卷版

专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：垂直关系向量化 1题型二：向量坐标化 4题型三：利用向量求角 6题型四：利用向量证明三点共线问题 9专项训练 11题型一：垂直关系向量化1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆C：（）的离心率为，焦距为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与C交点P，Q两点，O为坐标原点，且，求实数k的值.2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)当为椭圆的右顶点时，直线与椭圆相交于两点（异于点），且.试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程：(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．

(1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；(2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.5．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线，.(1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值；(2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值.题型二：向量坐标化1．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.2．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．(1)证明：；(2)若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.(1)求双曲线的方程；(2)当直线过点时，求的取值范围.4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率．5．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.(1)求的值；(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.题型三：利用向量求角1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围.2．（2024·重庆·三模）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为的正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．3．（23-24高二上·吉林·期末）已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.(1)求抛物线方程；(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.4．（2024·北京·三模）已知椭圆C：（）过点，右焦点为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小．5．（23-24高二下·河北·开学考试）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为4．(1)求椭圆的方程．(2)平行于轴的直线与椭圆的一个交点为，与以为直径的圆的一个交点为，且，位于轴两侧，，分别是椭圆的左、右顶点，直线，分别与轴交于点，．证明：为定值．题型四：利用向量证明三点共线问题1．（2024上海崇明）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；(2)若，求的面积；(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，.（1）求椭圆的方程.（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，，三点共线.3．（2024·山西太原·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．专项训练1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为．7．（2024·河北·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与在第一象限的交点为，若，，则的离心率为．8．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为．9．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点，分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程;(2)当时，求点N的坐标；(3)当时，求直线的方程.10．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.11．（2024·山西太原·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切．