2025年广东深圳初中学业水平考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年深圳市初中学业水平模拟训练（一）数学说明：全卷共8页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙模型的俯视图是（

）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．广东新闻2024年12月28日消息，据深圳地铁日前通报，深圳地铁开通20年累计运送乘客超206亿人次，线网建设密度、客运强度、通勤便捷性、智慧出行等指标位居中国内地城市第一．其中“206亿”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（

）A． B．C． D．5．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（

）A． B． C． D．6．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（

）

A． B． C． D．7．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（

）A． B． C． D．8．如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图，如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比（）是，若点，，恰好在同一直线上，米，则缆车车厢高为（

）A．米 B．米 C．米 D．米第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．分解因式：．10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是．11．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点C，坐标原点O在边上，点E在边上，且，交y轴于点F，若的面积为10，则k的值为.13．如图，在中，，于D，点E在的延长线上，，若，，则．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．计算：．15．先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：甲同学解：原式解：原式乙同学(1)甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．16．2024年秋学期开始，深圳市义务教育阶段3年级至5年级践行了“每周半天不上课计划”，减少小学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分（分数为整数，满分为5分）．信息一：20名学生打分情况的折线统计图如图所示，信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示软件平均数众数中位数校外课程3.54a阅读课程3.4b3抽取的10位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为3．8分和4分．请根据以上信息解答下列问题：(1)填空：________，________．(2)学生对这两类课程评价较高的是哪一类课程？请说明理由．(3)如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？17．综合与实践项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：弹簧长度10152025拉力5101520素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．(1)任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．(2)任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．(3)任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．18．如图，在中，点B在边上，且，．(1)尺规作图：作的外接圆．（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图形中，若的直径为，①求的长；②若所在直线是的切线，求的长．19．“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，求的长．【数学思考】①如图2，小嘉同学延长至点D，使得，连接，通过可求的长；②如图3，小琪同学作的平分线，交于点D，可得，通过可求的长．（1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．【类比分析】老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师提出了下面的问题，请你解答．（2）如图4，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明．【学以致用】（3）如图5，与交于点C，，点E在上，．，，求的长．20．若，，那么我们把点B叫做点A的“倍增点”．例：，它的“倍增点”是．经过A，B两点的直线叫做点A的“倍增线”．(1)若点A在函数的图象上，点B是点A的“倍增点”，且点B也在函数的图象上，则点A的“倍增线”是(2)若点在直线上，点A的“倍增线”为．①若随x的增大而减小，求点A的“倍增线”与直线的交点C的纵坐标的取值范围；②当时，抛物线经过A，B两点，且当时，，求m的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】本题主要考查几何体的三视图，掌握俯视图是从几何体的正上方看到的平面图形是解题的关键．从该几何体上方观察几何体，得到的平面图形就是俯视图．【详解】解：从几何体的上方观察，我们可以看到左边平躺的圆柱的俯视图为正方形，右边的部分为正方形里面套着圆．故选：D．2．A【分析】本题考查了同底数幂乘除法、积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方逐项计算即可．【详解】解：A、，原计算正确，符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，原计算错误，不符合题意；D、，原计算错误，不符合题意；故选：A．3．A【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大数，解题的关键是掌握科学记数法的形式．利用科学记数法的定义进行表示即可，注意小数点移动的位数．【详解】解：206亿，故选：A．4．B【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可．【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定；B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定；C、图中是垂线或高线的作图，不能确定；D、图中是角平分线的作图，不能确定．故选：B．5．D【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可．【详解】将四部名著《周髀算经》，

《算学启蒙》，

《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为，，，，根据题意可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有种，∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是，故选：D．6．D【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．【详解】解：由题意，得，，∴，∵，∴，∴，．故选：D．7．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由题意将代入，求出，进而可得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为,代入方程组的解，求出的值，再对照题意，即可得出结论．【详解】解：将代入得：，解得：，图2所表示方程组的解为，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，将代入得：，解得：．故选：A．8．B【分析】过点作交于，交于点，过点作于点，构造两个含的直角三角形，由题意可得，在中，根据含的直角三角形的性质得出（米），进而得出米．再根据题意索道之间如图均匀分布着五个车厢，米，由此得出米，在中，根据角的直角三角形的性质得出（米），再根据勾股定理得出的长度，由角直角三角形的性质得出，即的长度，再根据车厢的宽高之比（）是，进而得出答案．【详解】解：如图，点作交于，交于点，过点作于点，∵索道的倾斜角为，∴，∵，，，∴，在中，，∴，∵这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，，∴，∴，在中，，∴，∴，即，∵车厢的宽高之比（）是，∴（米），即缆车车厢高为米．故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式．直接提取公因式分解因式得出答案．【详解】解：故答案为：．10．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据列式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．11．55【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解．【详解】解：连接，则，∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，，∴点D在该量角器所在的圆上，∴，故答案为：55．12．30【分析】本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形等知识，根据相似三角形的性质得到是解题关键．先根据的面积为10，求出，再证明，得到，根据，得到，即可求出．【详解】解：∵的面积为10，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵反比例函数图象经过点C，∴．故答案为：30．13．【分析】延长到点G，使，连接，延长交于点F，首先证明出，得到，，证明出，得到，然后推出，然后证明出，得到，代入求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【详解】延长到点G，使，连接，延长交于点F，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴∴∴∴，∴，∵，∴，∴又∵∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点．14．【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，乘方以及零指数幂和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．利用二次根式的化简，乘方以及零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算即可．【详解】解：原式．15．(1)②；③(2)见解析【分析】本题考查了分式的化简，异分母分式的加减法，分式的乘法，乘法分配律，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据分式的基本性质和乘法分配律作出判断即可；（2）选择甲，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再与括号外的分式相乘，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式即可解答．【详解】（1）解：②；③，理由如下：甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质，乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律．故答案为：②；③；（2）解：若选择甲同学的解法：；若选择乙同学的解法：．16．(1)4，5(2)学生对这两类课程评价较高的是校外课程，理由见解析(3)该校师生更喜欢阅读课程【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键．（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；（2）根据学生对校外课程打分的中位数和平均数都比对阅读课程打分的中位数和平均数高即可得到答案；（3）分别计算出两类课程的得分即可得到答案．【详解】（1）解：将校外课程的打分按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的两个得分都是4分，∴中位数，由图可知，阅读课程的打分出现次数最多的是5分．∴众数，故答案：4；5；（2）解：学生对这两类课程评价较高的是校外课程，理由如下：∵学生对校外课程打分的中位数和平均数都比对阅读课程打分的中位数和平均数高，∴学生对这两类课程评价较高的是校外课程；（3）解：该校师生更喜欢阅读课程，

校外课程的得分为（分），阅读课程的得分为（分），∵，∴该校师生更喜欢阅读课程．17．(1)见解析，这些点在同一直线上(2)，弹簧B的最大拉力为(3)购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键．（1）先描点、再连线，即可得出函数图象；（2）利用待定系数法计算即可得出答案；（3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可．【详解】（1）解：如图所示，是在同一直线上：（2）解：设，把和代入，得：，解得，，，随x增大而增大，当时，，弹簧B的最大拉力为；（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，则，解得，记最大拉力为y，因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，则.且m为整数，y随m增大而增大，当时，，购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．18．(1)见解析(2)①；②【分析】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，直径定理，锐角三角函数，切线的性质定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．（1）利用线段垂直平分线的交点确定圆心，交点到三角形顶点的长度为半径画圆即可；（2）①连接并延长交于点，连接，利用圆周角定理得出，利用直径定理得出直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；②连接，利用切线的性质和等边对等角判定出，得出，根据给出边的长度代入求解即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：①如图，连接并延长交于点，连接，∴是的直径，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得．

②如图，连接，∵所在直线是的切线，∴，∴，∴，∵，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，即，∴，即，解得．19．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．（1）小嘉同学思路：延长至点D，使得，连接，可证，，继而可得，得，即可解答；小琪同学思路：作的平分线，交于点D，由，，，进而得，即可解答；（2）延长至点M，使，连接，先证明，得，，则，由，继而可得，即可得结论；（3）过点D作，且，连接，，设交于点H．先证，可得，，进而可得，设，则，得，则，同