初中数学专题03 分式【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题03分式【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1分式有、无意义的条件】 2【题型2分式的值为0的条件】 2【题型3分式的基本性质的运用】 3【题型4分式的运算】 3【题型5分式的化简求值】 4【题型6分式运算的实际应用】 4【题型7分式中的规律探究】 5【题型8与分式运算有关的新定义问题探究】 6【知识点分式】1.分式的定义一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。3.分式的约分和通分定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。4.分式的乘除①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。④整数负指数幂：。5.分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减：；②异分母分式的加法：。注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。【题型1分式有、无意义的条件】【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（

）A．x−12x+1 B．2x+1x+1 C．2x−1x−1【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义的整数xA．5个 B．3个 C．4个 D．2个【题型2分式的值为0的条件】【例2】（2023·四川凉山·统考中考真题）分式x2−xx−1的值为0，则xA．0 B．−1 C．1 D．0或1【变式2-1】（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式x−13x+1的值为0，则x的值是（

A．1 B．0 C．−1 D．−3【变式2-2】（2023·浙江金华·统考一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”，请写出一个这样的分式．【变式2-3】（2023·山东枣庄·校考一模）若分式x−3x2−x−6的值为0，则A．3 B．−3 C．±3 D．3或−2【题型3分式的基本性质的运用】【规律方法】分式化简的方法：寻找分子、分母的最大公因式；根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以（或除以）最大公因式，分式的值不变。【例3】（2023·河北·统考中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（

）a+2b+2=ab B．a−2b−2=【变式3-1】（2023·湖南·中考真题）若aa−a2=1A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+xx−y B．2yx2 C．2【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+11−【题型4分式的运算】【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简4x+2+x−2的结果是（A．1 B．x2x2−4 C．【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简a+1a−1A．1 B．a C．1a D．【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：x+2x2

【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子x2−9xA．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为C．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数【题型5分式的化简求值】【例5】（2023·福建·统考中考真题）已知1a+2b=1，且a≠−b【变式5-1】（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+【变式5-2】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知x−yy=2，求【变式5-3】（2023·四川成都·统考中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式1−【题型6分式运算的实际应用】【例6】（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)请证明（1）中的数学关系式．

【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a−1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．(1)用含x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b

【题型7分式中的规律探究】【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：第1个等式：11第2个等式：12第3个等式：13第4个等式：14第5个等式：15……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：a1=23【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=2【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：①12+22+③32+42+……

……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.【题型8与分式运算有关的新定义问题探究】【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“x→+∞JXAB”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．x→+∞JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x→+∞JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x→+∞JX【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+1【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．例如.分式3x+1与3x(1)分式12+x3+2x(2)若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“一⊕分式”（其中(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2

【变式8-3】（2023·四川·