2023-2024学年浙江省温州市普通高中数学高二年级上册期末教学质量检测试题含解析

2023・2024学年浙江省温州市普通高中数学高二上期末教学质量检测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“-3＜/九〈4”是“方程^^+二一二1表示椭圆”的()条件

4—mm4-3

A.充分不必要B.必要不充分

C充要D.既不充分也不必要

2.己知全集。={04,2,3,4,5},集合A={1,3,5},3={(),1,2},则电力「8=()

A.{O,1)B.{0,2)

C.{1,2}D.{2}

3.已知，＞1,则“优＞1”是的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.若圆。1：(工+1)2+()，-2)2=产。＞0)上恰有2个点到直线/：4%-3)，—10=0的距离为1,则实数「的取值范围为

()

A(3,5)B.(4,6)

'2232]「22/

C.D.~^~，6

5.在等差数列{4}中，若％=7，%=U，则公差仁O

5「5

A.-B.--

22

C.3D.-3

6.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比

上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了，eN')年后，年平均盈利额达到最大值(盈

利额等于收入减去成本)，则〃等于()

A.6B.5

C.4D.3

7.一2与-8的等差中项是()

A.-5B.-4

C.4D.5

4a

8.已知力为正实数，且4+26=2,则一+7的最小值为()

ab

A.1B.2

C.4D.6

9.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)+/'(x)>0,且有"3)=3,则/(x)>3eJ的解集为()

A.(3,+OC)B.(l,-H»)

C.(f3)D.(-<O,1)

r2

10.设直线x-2y+l=0与双曲线工y=1(〃>(),人>0)的两条渐近线分别交于M,N两点，若点P(l,0)满

a-b2

足|PM|=|PM，则该双曲线的离心率是o

R2后

A.叵15.----

33

D.&

11.正数满足9a+。"，若不等式。+62-丁+2%+18?对任意实数x恒成立，则实数机的取值范围是

A.[3,-HX)B.(^O,3]

12.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到

与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,

前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列,

其前7项分别为2,3,5,8,12,17,23则该数列的第100项为()

A.4862B.4962

C.4852D.4952

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在数列｛4｝中，％=1,an+l-atl=9-2nf则数列｛4｝中最大项的数值为

14.在数列｛4｝中，若q=1,34.=%(〃21),则该数列的通项公式4=

15.函数y=^log2(x-2)定义域为.

22

16.设尸是椭圆£+三=1上一点，6,K分别是椭圆的左、右焦点，若|P£|.|P居1=12,则/白尸K的大小.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,圆〃：/一4九+丁2-5=().

(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；

(2)若过点(6,-2)的直线/与圆C相切，求直线/的方程.

18.(12分)已知函数｛x)=ax-21nx

(1)讨论/U)的单调性；

(2)设函数g(x)=x—2,若存在/£口33],使得大x)4(x),求。的取值范围

19.(12分)已知数列｛4｝是公比为2的等比数列，%是由与%-8的等差中项

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若"=5+l)log24,求数列的前〃项和I

[bn]

20.(12分)已知抛物线C：)，2=4X，直线/经过点且与抛物线C交于M,N两点，其中机>0.

(D若优=1,且|A"|=4,求点M的坐标；

(2)是否存在正数次，使得以为直径的圆经过坐标原点O,若存在，请求出正数/〃，若不存在,请说明理由.

21.(12分)已知抛物线£：)，2=2*(〃>0)的焦点为尸，以尸和准线上的两点为顶点的三角形是边长为殍的等

边三角形，过。(-1,0)的直线交抛物线£于4,〃两点

(1)求抛物线石的方程；

(2)是否存在常数人,使得|4q+怛曰=川4斗忸用，如果存在，求2的值，如果不存在，请说明理由；

(3)证明：.4片厂内切圆的面积小于兀

22.（10分）在如图二角形数阵中第〃行有〃个数，与表示第i行第J个数，例如，eq表示第4行第3个数.该数阵中

每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列,从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列

c1C4”

（其中〃2>0）.已知=2,4]=彳。32+2,=="?.

2

(1)求刑及〃S3；

(2)记。=即Ia22Ia33I-Ialinf求小

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

Y-y2*41

【解析】求出方程一匚+二一二1表示椭圆的充要条件是且，〃由此可得答案.

4一〃z+32

4-77?>0

v2V21

【详解】因为方程一0+」—=1表示椭圆的充要条件是，〃+3>0，解得—3v〃?v4且加工大，

4-+3，_2

4一〃z/m+3

22

所以“-3VmV4”是“方程」一+上=1表示椭圆”的必要不充分条件.

4-mm+3

故选:B

【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围，考查了充要条件和必要不充分条件，本题易错点警示:漏掉

4—工加+3,本题属于基础题.

2、B

【解析】根据题意先求出。0={0,2,4},再利用交集定义即可求解.

【详解】全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},3={0,1,2}

则毛4={0,2,4},故(Q,A)c8={0,2}

故选：B

3、B

【解析】求得">1中x的取值范围，由此确定充分、必要条件.

［详解］a>\t

ax>6/°=l,x>0,

所以“优〉1”是“工>0”的充要条件.

故选：B

4、A

【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出，•的不等关系式，即可求得，•的范围.

/\I-4—6—10|

【详解】因为圆心G(-1,2)到直线/的距离d=।“2+32=4，

故要满足题意，只需卜T〈dv〃+1,解得3</<5.

故选：A.

5、C

【解析】由等差数列的通项公式计算

【详解】因为例=-1，/=U，所以1=年4=3.

故选：C

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得，二4二%，

n-m

6、D

【解析】设该设备第〃年的营运费为凡万元，利用{q}为等差数列可求年平均盈利额,利用基本不等式可求其最大值.

【详解】设该设备第〃年的营运费为见万元，

则数列{〃“}是以2为首项，2为公差的等差数列，则%二2〃，

则该设备使用〃年的营运费用总和为T,="+〃,

2

设第n年的盈利总额为5“，则Sn=11«-（77+n）-9=f2+10/?-9,

故年平均盈利额为io-（〃+：）,

因为n十222、，*2=6,当且仅当〃=3时，等号成立，

nVn

故当〃=3时，年平均盈利额取得最大值4.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时

注意检验等号成立的条件.

7、A

【解析】代入等差中项公式即可解决.

【详解】一2与-8的等差中项是/包=-5

2

故选：A

8、D

【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.

【详解】因为。，〃为正实数，且〃+2）=2,

4a42-2b42c$2a-44b之忖吟

所以—I--=+2-22+2=6.

ababcib〃八2ba

当且仅当即。二成年时取等号.

故选：D

9、A

【解析】构造b（x）=/a）-e"应用导数及已知条件判断产（司的单调性，而题设不等式等价于尸（力）尸（3）即可

得解.

【详解】设尸（/）=/&）©,则+/（。已，=叫/3+尸（工）］＞（）,

AF（x）K上单调递增.

又"3）=3,则尸（3）=/（3"3=3上

V/（x）＞如-'等价于/（x）.e'＞3e\即F（x）＞F（3）,

Ax＞3,即所求不等式的解集为（3,+00）.

故选；A.

10、C

匕o

【解析】先求出M,N的坐标，再求中点坐标，利用点尸(1,0)满足1PMi=|PM，可得一=-2,从

而求双曲线的离心率.

【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为)，二士2.丫，

a

分别于x-2y+l=0联立，解得:

«号，｝*£就

’2,方2、

所以MN中点坐标为—^—7，—；―?，

4lr-cr)

因为点尸(1，。)满足|PM|二|PN|,

，2-。

所以"尹一=一2,

―2—7-1

4bz-a~

/2?

所以36=2/,即」?=4,

a23

所以。=)+竺=史.

Y/3

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.

11、A

【解析】利用基本不等式求得。+〃的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.

【详解】9a+b=ab,

19

且。乃为正数，

abf

//%i八b9ainlb9air

:.a+b=（〃+〃）（一+一）=10d---1---..10+2./-----=16,

ababVab

当且仅当2=当，即〃=4,8=12时，（。+与.=16,

ab

若不等式a+b>-x2+2x+18-〃?对任意实数x恒成立,

贝iJ162-犬+2x+18-/〃对任意实数x恒成立,

即“2-x2+2x+2对任意实数x恒成立，

*.*~x~+2.x+2=—(x—1)~+3,,3>

/.m>3，

故选：A

【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.

12、D

【解析】根据题意可得数列2,3,5,8,12,17,23,…，满足：4—二〃—1(〃22),q=2,从而利用累加法

即可求出。“，进一步即可得到的值

【详解】2,3,5,8,12,17,23,…后项减前项可得1,2,3,4,5,6,

所以/_%_i=A2),q=2,

所以见二(凡一4一)+(4i—a,.)+…+(出-4)+4

=(〃_l)+(-2)+L+l+2=(〃一可(j)+2=*l+2,〃”

az100x99

所以小x)=—；—+2=4952.

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、17

【解析】用累加法求出通项，再由通项表达式确定最大项.

【详解】当〃22时，

an=(。〃-%)+(《--。〃一2)+…+(〃2-4)+4

=(11-2〃)+(13-2〃)+…+7+1

=9(M-l)-2x(n~1)Z?+l

=一〃2+10,7-8=一(〃-5)2+17,所以数列｛an｝中最大项的数值为17

故答案为：17

1

3，一

14、—3”i7

【解析】由已知可得数列｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.

【详解】解：由在数列｛q｝中，若4=1,3。用=。〃(〃21),

则数列㈤｝是以1为首项，g为公比的等比数列，

由等比数列通项公式可得知=1Xg)"T=击,

故答案为：占3'i.

【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

15、［3,*o)

【解析】根据函数定义域的求法.即可求解.

X-2>0r、

【详解】解：),‘八，解得工23,故函数的定义域为:3,+8.

log2(x-2)>0

故答案为：［3,也).

16、60

加+〃=2。=8

【解析】归用=机，|尸名|二〃，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得"折=12

28=机2+2-2mHeos/F'PF?

解得cos/£PF,J,从而可得结果

【详解】椭圆工+工=1,

169

可得2〃=8,设俨用=6，仍q=〃，

m+n=2a=8

可得，mn-12

4c2=28=nV+rT-2mncosZ.F]PF2

化简可得：cosNK「K=g,

.•./惭=60,故答案为60

【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：(1)

,222

a2=b2+c2-2bccosA;(2)cosA=,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、

2bc

三角函数有关的问题时，还需要记住30”,45”,60〃等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)圆C与圆M相交，理由见解析

(2)3x+4y—10=。或x—6

【解析】(1)利用圆心距与半径的关系即可判断结果；

(2)讨论，当直线/的斜率不存在时则方程为x=6,当直线/的斜率存在时，设其方程为)，+2=41-6),利用圆

心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.

【小问1详解】

把圆"的方程化成标准方程，得*-2)2+./

圆心为M(2,0),半径

圆C的圆心为C(4,2),半径弓二2,

因为lv|MC|='(4-2『+22=2行＜5,

所以圆C与圆M相交，

【小问2详解】

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=6到圆心C距离为2,满足题意；

②当直线/的斜率存在时，设其方程为丫+2=k1-6),

由题意得J~==-1=2,解得左=一:，

4+二4

故直线/的方程为3工+4)，-1()=0.

综上，直线/的方程为3x+4y—10=。或%=6.

18、(1)答案见解析；

(e2+21

(2)9,——.

I£」

【解析】(D根据实数。的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；

(2)利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即口J.

【小问1详解】

f\x）=a--=^—^（x>0）

XX

当后）时，r（x）〈o在（0,+8）上恒成立；

29

当心>0时，令/'（x）>0得x>—；令/'（x）<0得0<x<一；

综上：好0时八x）在（0,+8）上单调递减；

〃>0时，人x）在„上单调递减，在弓,+8）上单调递增;

【小问2详解】

由题意知ax—21nxsr—2在（0,+8）上有解

,,x-2+21nx

则-2+2]nx,a<--------------

x

令晨力「一2+21门,^(x)=4-24nx

人X

X[Id)/(e2,e3]

gW+0—

g(x)/极大值

所以8（4山—俨）=子，因此有，

所以。的取值范围为：（口,£?

Ie-」

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.

19、（1）4=2"；

（2）4=-

【解析】（1）根据给定条件列式求出数列｛a,,｝的首项即可作答.

⑵由⑴的结论求出。，再借助裂项相消法计算作答.

【小问1详解】

因为数列｛4｝是公比为2的等比数列，且凡是火与%一8的等差中项,

则有2%=%+%—8,即16q=4q+16q—8,解得q=2,

所以勺=2".

【小问2详解】

由（1）知，《,=2",则”=（〃+i）iog2q=（〃+i）bg22"=〃（〃+1），

ii_ii

即有初=而通=彳―可包，

所以<=（1―:）+（<―；）+（：—：）++（--一^）=1一一

22334nn+\〃+1〃+1

20、（1）（3,2行）或（3,-26）

（2）存在，〃z=4

【解析】（1）确定点A。,。）为抛物线的焦点，则根据抛物线的焦半径公式，结合抛物线方程，求得答案；

（2）假设存在正数机，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O,可推得OM-ON=0,由此可设直线方程，联立抛

物线方程，利用根与系数的关系，代入到工1占十%%=0中，可得结论.

【小问1详解】

依题意得AQO）为。的焦点，

故|M4|=4=%+1,解得修,二3,

故煤=12,则加=±26

・•・点M的坐标（3,2公）或（3,-26）；

【小问2详解】

假设存在正数〃，，使得以为直径的圆经过坐标原点。，

：・OMLON,OMON=0

设直线/：x=ty+mt（77?>0）,Af（百,yj,N（巧,必）

9

y~=4Ax『、

由（，得y2-4ty-4w=0

x=ty+m

△=16产+16〃？>0,

44

VOM1ON,OMON=0,1NW+X%=>+(-46)=0,

解得〃z=4或m=0（舍去）

所以存在正数〃2=4,使得以MN为直径的圆经过坐标原点O.

21、(1)y2=4x；

（2）存在，1；（3）证明见解析.

【解析】（1）根据几何关系即可求P；

11

（2）求解伊尸|土忸尸］为定值1，即可求久=1；

⑶先求,ABT7的面积，再由S三角形=gc三角“（C三角形为三角周长）可求内切圆半径匚

【小问1详解】

由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此”孚x*2,

，抛物线E的方程为）,2=4x

【小问2详解】

设直线的斜率为*（女工0）,直线方程为y=z（x+l）,记A（X］，X）,B（L）

;募可消去％得田+2俨-2卜+d0

由△=4|：/一2『一4攵’>0,得了vl且k。0,XjX2=1,玉+々

1113+々+2X1+4+2

I+---=I+一二1,

芭+1

\AF\\BF\x2+1XxX2+Xj+x2+11+^,+x2+1

因此|A尸|+\BF\=\AF\-\BF\f即存在实数2