2021年中考数学压轴题专项训练03圆含解析

圆

1.【解析】(1)证明：・・・AB是。。的直径，.-.ZADB=90°,

VCC/7BD,/.ZAE0=ZADB=90°,即OC_LAD,

(2)解:连接CD,OD,VOC=OB,AZ0CB=Z0BC=30°,

/.ZA0C=Z0CB+Z0BC=60°,

VCC/7BD,

/.Z0CB=ZCBD=30°,

・・・NCOD二2NCBD=60°,NABD=60°,

/.ZA0D=120°,

VAB=6,

・•.即=3,AD=37J,

VCA=0B,AE=ED,

13

r.CE=—

22

・ayo_120乃x321/r3.9G

••，加影一、WJKAOO-O^AOO-------------------------------------X37Jx-=3不

36022~1~

2.【解析】（1）・・・/£）和64是力C所对圆周角,

•••Z£）=ZB：

TAB是圆的直径，

丁./BC4=90。，

在心△ABC中，ZB+ZBAC=90°,

ZD+ZBAC=90°,

vZE4C=ZD,

/.ZE4C+Z^AC=90°,

：.BA±AE>IE是。。的切线.

⑵如图：

•••AB是圆的直径，DC平■分NACB,

ZBC4=90°,NDC4=45。，

•・•ZDOA=2ZDCA,

Z/X14=9O%△OOA是直角三角形;

QOD=OA,OA=g/W=5,

/.AD=752+52=5>/2•

3.【解析】（1）证明・.・OM=OE,

:"OME=/OEM.

〈ME平分4DMN,

:"OME=NEMD,

:"OEM=/EMD,

:.0E//MD.

.MD工DE,

:.OE±DE,

・•・DE是。。的切线：

⑵证明：连接NE,

•:MN为0()的直径,

；・4MEN=决)。.

•;MD1DE，

.-.ZMDE=90°.

•;ZOME=/EMD，

:AMDE〜&MEN,

•_M___D___M___E__

,MF-AW'

:.ME^=MDMN.

4.【解析】解：（1）连接DN,ON

•・・。0的半径为2,

2

・・・CD=5

VZACB=90°,CD是斜边AB上的中线,

・・・RD=CD=AD=5,

.\AB=1O,

AB1-AC1=8

VCD为直径

AZCND=90°,且BD=CD

/.EN=NC=4

(2)VZACB=90°,D为斜边的中点,

.*.CD=DA=DB=—AB,

2

AZBCD=ZB,

VCC=ON,

:.ZBCD=ZONC,

AZONC=ZB,

・・・CN〃AB,

VNE1AB,

ACNINE,

.•・NE为。0的切线.

5.如图，/火为。。的直径，点。是。。上的一点，A斤8cm,/浏右30°,点〃是弦/I。上的一点.

(1)假设OD_LAC,求0D长；

(2)假设CD=2OD,判断八4。0形状，并说明理由.

【解析】解：(1).••力6为。。的直径，

,/月庐8c勿，/的030°,

•••0D1AC,NACB=90°,

:.OD//BC,

(2J/XA。。是等腰三角形.理由如卜：

如图，过。作OQLAC于Q,连接OC

设OO=x,那么CO=200=2.%

由勾股定理可得:

.•.△ADO是等腰三角形.

6.AB是。。的直径，C是。。上的一点1不与点A,B重合)，过点C作AB的垂线交。0于点D,垂足为E

点.

(1)如图1,当AE=4,BE=2时，求CD的长度；

(2)如图2,连接AC,BD,点M为BD的中点.求证：MEXAC.

【解析】解：(1)如图1，连接优.

VAE=4,BE=2,

AAB=6,

ACO=A0=3,

ACE=AE-AO=1,

VCD1AB,

・•・CE=yjoc2-OE2=V32-l2=2V2

•，AB是。。的直径，CD1AB,

ACE=DE,

:.CI)=2CE=4X/2.

⑵证明：如图2,延长ME与AC交于点N.

VCD1AB,

AZBED=90°.

•・•M为BD中点,

AEM=—BD=DM,

2

AZDEM=ZD,

:.ZCEN=ZDEM=ZD.

VZB=ZC,ZB+ZD=90°

，ZCNE=90°,

即MEIAB.

7.如下列图所示，在直角坐标系中，以(〃7,0)为圆心的与K轴相交于C、。两点，与y轴相交于48

两点，连接AC、BC.

srAB

(1)48上有一点E，使得£4=EC.求证---=----；

AEAC

(2)在(1)的结论下，延长EC到尸点，连接尸B，假设依二尸E，请证明与。O'相切;

(3)如果〃?=1,0O'的半径为2,求(2)中直线心的解析式.

【解析】解：(1)由题意可知，ZBAC=ZABC,

又因为E4=EC,所以NACE=NCAE=NA5C,

故MBCsAACE,

ACAB

所rriI以一=—

AEAC

(2)连接0'8,那么Na78=2NC45,

因为PB=PE,Z.PBE=ZPEB=2ZCAB=ZC(7B,

故乙PBO=NPBE+NEBO=NCOB+NEBO=90°,

即冲_LOB,所以依与O。'相加.

(3)00=1，O'B=2,所以/080'=30。,

ZCX/Z?=ZPB6>=60°,

所以"BE，△C8O'均为等边三角形，它们的高分别是8。=2.08=百，

故8点的坐标为(0,-G)；P点的横坐标为-2,纵坐标为26-6=-立，

33

b=—\/3

设阳的直线为丁=丘+力，那么，C,

-2k+b=-—

3

h=-x/3r

所以、回，所以直线依的解析式为)，=一9不一方.

k=-------3

3

8.如图1,CD是。。的直径，且CD过弦AB的中点H,连接BC,过弧AD上一点E作EF〃BC,交BA的延长

线干点F,连接CE,其中CE交AB于点G,且FE=FG.

(1)求证：EF是。。的切线；

⑵如图2,连接BE,求证：BE2=BG・BF；

(3)如图3,假设CD的延长线与FE的延长线交于点M,tanF=-,BC=5J7,求DM的值.

4

【解析】(1)连接0E,那么NOCE-NOEC一。，

VFE=FG,

・・・NFGE=NFEG=£,

・・・H是AB的中点,

ACHIAB,

:.NGCH+ZCGH=a+/3=90°,

・•・ZFEO=NFEG+ZCEO=a+£=90°,

・・・EF是。。的切线;

⑵VCH±AB,

AC=BC

：.ZCBA=ZCEB,

VEF#BC,

AZCBA=ZF,故NF=NCEB,

・・・NFBE=NGBE,

AAFEB^AEGB,

.BE_BF

^~RG~~RF,

・•・BE?=BGBF;

(3)如图2,过点F作FRJ_CE于点R,

3

设NCBA=/CEB=NGFE=/,那么tan/=二，

4

.,.ZFEC=ZBCG=/?,故ABCG为等腰三角形，那么BG=BC=54，

3

在RtZ\BCH中，BC=5V7，tanZCBH=tan/=-,

4

34

那么sin/=—,cosY=—,

55

3

CH=BCsinX=577X-=377,同理HB=4g；

设圆的半径为r,那么OB-Olf+BH?,

2

即产=(r-3J7)+(4J7)2,解得：「=生且；

6

GH=BG-BH=5近-477=不，

GHyj]13

tanZGCH=---=-=•=—,那么cosZGCH=；,

CH3773V10

那么tanZCGH=3=tanP,那么cos0—1——

vl0

连接DE,那么NCED=90°,

在RtACDE中

CECE3,,5J70

cosZGCH=—=—=-/=,解得：CE=-----，

CD2rV102

1“3屈

在aFEG中，cos/3=2____4_[»

FG~FG-710

解得：FG=15>/7.

2

VFH=FG+GH=12^L,

2

AIIM=FHtanZF=亚2X-=卫也；

248

VCM=I1M+CH=Z5^L,

8

AMD=CM-CD=CM-2r=.

24

9.(1)如图①，ZXOAB、△OC。的顶点0重合，且NA+N8+NC+NO=1800,那么

NA0B+/C0D二°：1直接写出结果)

(2)连接A。、BC,假设40、BO、CO、分别是四边形ABC。的四个内角的平分线.

①如图②，如果NAO8=U0。，那么NCOD的度数为；(直接写出结果)

②如图③，假设NAQD=N3OC,A3与CO平行吗？为什么？

【答案】(1)180；⑵①70。；②A8//CD,理由见解析.

【解析】(1)Z/l+N3+NC+N£>+NAO8+NOOC=360°,可得NAO8+N/)OC=180°;

(2)①结合NA08+4DOC=180°,NA08=110°,可得NC0D=70°；

②AB//CQ,

理由是：因为A。、BO、8、。。分别是四边形A8CO的四个内角的平分线，

所以NOAB=L/OAB,ZOBA=-ZCBA,NOCDJNBCD,ZODC=-ZADC.

2222

所以NOAB+ZOBA+ZOCD+NODC=-(/DAB+NCBA+/BCD+NAOC)

2

在四边形ABC。中，ZDAB+ZCBA+ZBCD+ZADC=360°.

所以ZOAB十AOBA十ZOCD十ZODC=-x360°=180°

2

在△QAB中，A.OAB+ZOBA=180°-.

在©CD中，ZOCD+ZODC=180°-/COD.

所以180。一乙4。8+180°-/COD=180°.

所以ZAOB+乙COD=180°

所以ZADO+ZBOD=360。一(ZAO3+ZCOD)=360°-180°=180°.

因为NAOD=/BOC，

所以ZAOD=NBOC=90°

在ZAOD中，^DAO+^ADO=180°-^AOD=lSO°-9(r=90°.

因为ZDAO=-/DAB,ZADO=-ZADC,

22

所以，NOA8+」NAOC=90。.

22

所以ADAB+AADC=180°.

所以A6//C。

10.如图1,设AABC是一个锐角三角形，且ABwAC,「为其外接圆，O、以分别为其外心和垂心，CD

为圆「直径，M为线段上一动点且满足A〃=2OM.

(1)证明：M为BC中点；

(2)过O作8c的平行线交A8于点E，假设厂为AH的中点，证明：EF1FC；

(3)直线40与圆厂的另一交点为N(如图2),以AM为直径的圆与圆「的另一交点为P.证明：假设

AP.BC、。“三线共点，那么/W=HV：反之也成立.

【解析】解：(1)连接AD,8D,那么ZM_LAC,DBA.BC

又”为AA3C垂心

/.BH±AC,AH1.BC

：.AD//BH,BD//AH

・•・四边形ADBH为平行四边形

:・DB=AH=2OM,又。为CO中点

・・・M为8C中点

(2)过£作田_13c

连接G4,由(1)可知四边形EG”尸为平行四边形，四边形网为平行四边形

'：CHLAB,AB\\GF

:・CHIGF

・•・，为△尸GC垂心

・•.GH±CFjhiGH\\EF

:.EF-LFC

(3)设AM与OF交息为I

由(1)可知四边形OMFZ为平行四边形

・•・/为直径AM中点

而圆/与圆「相交弦为A尸

・•・OFLAP^MH\\OF

；・MHLAP

设MC,4P交于。

那么〃为初加。垂心

:.QH±AM

AP、BC、。"三线共点o。三点共线

11.如图，3C是。。的直径，AQ是。O的弦，AO交8。于点E,连接A3,C。，过点E作防J_A8,

垂足为尸，ZAEF=ZD.

(1)求证：ADLBCx

(2)点G在3C的延长线上，连接AG,ND4G=2N。.

①求证：AG与。。相切：

Ap2

②当一=一，CE=4时，直接写出CG的长.

BF5

【解析】(1)证明：・.・AC=AC

:・/B=/D，

即ZAEB=90°

(2)①连接4。

即ZQ4G=90°

•.•AO是。。的半径

AG与。。相切

②如图，

・・・BC为直径,EF1AB,

/.ZBAC=ZBFE=90°,

・・・AC〃FE,

CEAF2

•♦==9

BEBF5

VCE=4,

AEE=10,

.\EC=14,

/.CA=0C=7,

・・.。石=7-4=3,

在Rt4AOE中，由勾股定理，得

AE=《T-寸=2面，

•・•ZAOE=ZDAG，ZAEO=ZAEG=90°，

AAAEO^AGEA,

，也竺即__亚,

AEGE2屈GE

GE=—，

3

.…f4028

..CG=GE—CE=-----4=——.

33

12.如图，A3是O。的直径，点。是弧Ab的中点.

(1)如图1，求证：AH=FH；

(2)如图2,假设CD_LA3于点。，交AF于点E,求证：AE=CE；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BC交A/于丁，连接OT,CRIIAB交AF于S、交0。于点R，

ZOTO=45°,TH=1，求CR的长.

【解析】解：(1)连接OF,•・•点C是弧AF的中点，

:.弧AC=弧CFJZAOC=ZFOC

VOA=Ob/.AH=卜H;

(2)延长CO交。0于点M，连接AC.

CDA.AB,AB是。。的直径.••弧AC=MAM

■.,弧AC=弧CF弧AM=弧CF

:.zLFAC=/MCA・•・AE=CE.

(3)连接尸B

VAB是OO的直径・•・ZAFB=90°

设/EBC=。・•