2024届广东省佛山市普通高中数学高二年级上册期末综合测试模拟试题含解析

2024届广东省佛山市普通高中数学高二上期末综合测试模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(力=廿与g(x)=x+l,则它们的图象交点个数为()

A.OB.1

C.2D.不确定

2.椭圆V+2./=4的焦点坐标为()

A.(V2,0),(-V2,0)B.(0,V2),(0-V2)

C.(V6,0),(-76,0)(0.-^)

3.已知抛物线C：V=4x的焦点为E,A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于M,

N两点，且A,F,M三点共线，则|人目=()

A.2B.4

C.6D.8

4.已知i是虚数单位，则复数z=l-2i在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.已知。且4+/7+c=0,则下列不等式恒成立的是

A.t/2<b2<c2B.ab?<cb2

C.ac<beD.ab<ac

6.如图，已知二面角「-/一/平面角的大小为?，其棱/上有A、3两点，AC.8。分别在这个二面角的两个半

平面内，且都与垂直,已知A/=l,AC=BD=2f则。=()

a

A

5\yi

A.5B.13

C.75D.V13

7.如图，在三棱锥A—BCD中，OAOB,。。两两垂直，且DB=DC=2,点£为8。中点，若直线AE与8所

成的角为60。，则三棱锥A-AC。的体积等于()

8.12018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线二—二二1(。>(),〃>0)与抛物线)3=2/"(〃>0)有相同的焦

a-b~

点F,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点例(-3,。，|MF|二X至则双曲线的离心率为()

A&B百

23

C正D.6

2

9.已知抛物线)，2=2/>(〃>0)的焦点为尸，A为抛物线上一点，。为坐标原点，且04+0尸=(2,2),则〃=()

A.4B.2

C.y/2D.2>/2

10.已知定义在R上的函数/(戈)满足〃x)+r(x)>(),且有"3)=3,贝Ij/(x)>3ei的解集为()

A(3,-HX')B.(1,+<X))

C.(-oo,3)D.(r,l)

11.已知空间向量4=(3,5,-2),以=(1,4-1)且£与6垂直,则4等于()

A.-2B.-1

C.lD.2

22

12.设点P是双曲线二一二二1(〃>0,〃>0)与圆/+),2="+"在第一象限的交点，£、K分别是双曲线的左、

a-b-

右焦点，且归用=6|尸国，则此双曲线的离心率为()

A.石B.巫

2

C.V3+1D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如匡所示，在直二面角O-A8—E中，四边形A5C。是边长为2的正方形，AAEB是等腰直角三角形，其中

ZAE»=90°,则点O到平面ACE的距离为

21

14.已知正数MV满足一+—=1,则x+2y的最小值是________.

xy

15.数列｛4,｝的前〃项和为S”=〃2-2〃+3,贝」。1”=.

16.曲线y=?它在点M(*0)处的切线方程为

x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数=在x=l处有极值;.

(1)求的值;

(2)求函数/(x)在1,2上的最大值与最小值.

18.(12分)已知函数/(x)=2ox-2+hiY,且/(x)在x=l,x=，处取得极值.

x2

(1)求。1的值；

(2)当x«0,2],求外”的最小值.

19.(12分)已知抛物线C：y=4/上有一动点「(毛,%),i>0,过点尸作抛物线。的切线/交y轴于点0

(1)判断线段P。的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；

(2)过点尸作/垂线交抛物线C于另一点"，若切线/的斜率为亿设-PQM的面积为S,求;的最小值

K

20.(12分)已知等差数列｛qj中，4+%+4=18,a5+tz7=0.

(1)求，%”｝的通项公式；

(2)求也｝的前〃项和S”的最大值.

21.(12分)己知a=(2sinox,siri3：+cos3r),b=(coscox,\[?>(sincox-cos69.r)j(0<69<1),函数/(x)=o〃，

直线1二一是函数/(X)图象的一条对称轴

(1)求函数/(犬)的解析式及单调递增区间；

⑵若F(A)=0,a=2币,一ABC的面积为6石，求一A8c的周长

22.(10分)已知抛物线C：V=2px(p>())经过点(1,一1).

(I)求抛物线。的方程及其焦点坐标；

(II)过抛物线。上一动点尸作圆/:(%-2『+:/=1的两条切线，切点分别为A,B,求四边形PAM8面积的最小

值.

参考答案

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】令〃(x)=e'-x-l,判断/?(x)的单调性并计算/2(x)的极值，根据极值与()的大小关系判断〃(x)的零点个

数，得出答案.

【详解】令Mx)=e'—x—l,则“(冗)=〃-1,由〃(x)=eT=O,得工=0,

，当x<0时，"(x)<0,当x>0时，”(x)>0.

，当x=0时，〃(力取得最小值力(0)=0,

・・・力(力=4一。一1只有一个零点,即F(力与g(x)的图象只有1个交点.

故选：B.

2、A

【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c,则椭圆的焦点坐标可求

【详解】由题得方程可化为，—+^-=1

42

所以/=4,6=2,/=4-2=2

所以焦点为(士加,0)

故选：A.

3、B

【解析】根据A,F,M三点共线，结合点尸到准线的距离为2,得到恒可|=4,再利用抛物线的定义求解.

【详解】如图所示：

・•・AM是圆的直径，

:.AN1MN,4V〃x轴，

又“为AM的中点，且点”到准线的距离为2,

.•.|/W|=4,

由抛物线的定义可得|A川=|AN|=4,

故选：B.

4、D

【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限

【详解】复数z=l—2i在复平面内对应的点为。,-2)

则复数z=l-2i在复平面内对应的点位于第四象限

故选：D

5、C

【解析】•；a+〃+c=O且。

:.a<0,c>0

:.ac<be

选C

6、C

【解析】以A/、为邻边作平行四边形连接CE,计算出CE、。七的长，证明出OEJ_CE,利用勾

股定理可求得CO的长.

【详解】如下图所示，以AB、8。为邻边作平行四边形ABDE，连接CE,

因为9_L/W,AE//BD,则隹，3。，

又因为AC_L/W,ACUQ,AEU0,故二面角a—/一力的平面角为NCAE=g,

因为四边形A3OE为平行四边形，贝！1AE=3O=2,DE=AB=1,

因为4c=2,故ACE为等边三角形，则CE=2,

•/DE!/AB,则DE上AC,-AC(}AE=Af故OE_L平面ACE,

因为CEu平面ACE,则OE_LCE,故CD=』CE?+DE?=石,

故选：C.

7、D

【解析】由题意可证AD_L平面。BC,取30的中点F,连接£尸，则NA£F为直线AE与CO所成的角，利用余弦

定理求出AD,根据三棱锥体积公式即可求得体积

【详解】如图，

,:DB=DC=2,点E为8c的中点，

/.DEA.BC,DE=V2>

VDA,DB,0C两两垂直，DB[DC=Df

・•・4)J_平面O8C,取"。的中点凡连接£尸，

・・・NA"为直线AE与C。所成的角，且比'=1,

由题意可知，Z4EF=60°,设=连接AF,

则A尸=1+FAE2=2+x\

AF24-FF2—AF2

在..AE尸中，由余弦定理，得cos/AM=———------------,

2AEEF

12+f+]—(1+厂)_r—

即；；=----------1->解得X=J2,即AO=g

22xlxV2+x2

・・・

三棱锥A-BC。的体积V=4SBCD-AD=-x-x2x2xy/2=—

38a323

故选：D

8、C

【解析】由题意可知，抛物线)，2=2〃/(〃>0)的焦点坐标为F(5,0),准线方程为x=—

由M在抛物线的准线上，贝卜/二-3,则〃=-6,则焦点坐标为尸(3,0),

所以眼产|=，(一3-3)2+，=^~，则/=(,解得/=±|,

双曲线的渐近线方程是），=±2工，将M代入渐近线的方程2=3x2,即2二1，

a2aa2

则双曲线的离心率为e=—=.1+—T=,故选C.

aVa22

【解析】依题意可得"与01设42°）,根据QA+O/=（2,2）可得%=2-勺稣=2,根据A为抛物线上一

点，可得〃=2.

【详解】依题意可得/（多0）,设ACW。），

由。4+。-=（2,2）得（小,），0）+（§0）=（2,2）,

所以工0+=2,yQ=2,所以x0=2-,兄=2,

因为A为抛物线上一点，所以22=2〃（2-解得〃=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.

10、A

【解析】构造b（x）=/（x）-e"应用导数及已知条件判断产（司的单调性，而题设不等式等价于尸（力＞尸（3）即可

得解.

【详解】设尸（/）=/（力通,则?"）=/'（。。'+/（。-=叫/3+尸（工）］＞（）,

，产（x）在K上单调递增.

又"3）=3,则/3）=〃3）看=.3

•・・）（x）＞3e3T等价于/。）.心＞3e3,即F（x）＞F（3）,

Ax＞3,即所求不等式的解集为（3,+oo）.

故选；A

11、B

【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.

【详解】・・・a_Lb

••a'b=O

••6/-Z?=5+5/1=0r解得4=-1,

故选：B.

12、C

【解析】根据几何关系得到△尸6K是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.

【详解】点尸到原点的距离为20=炉工=°，又因为在△尸耳人中，忻用=2c=21Po

所以△尸月居是直角三角形，即外=90.

由双曲线定义知归用—|尸闾=〃，又因为|历|=6|尸周，

所以归同=3a+Ga,|P周

在Rt△户耳F-,中，由勾股定理得(3a+岛＞+(Ga+4=(2c)2,

化筒得二二4+2石，所以£二百+1.

a~a

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、空

3

【解析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出点AC,。，笈的坐标，然后求解出平面ACE的一个法向量〃，利用公

ADn

式一一求解出点。到平面ACE的距离.

n

【详解】以AB的中点O为坐标原点，分别以08所在的直线为x轴、)，轴，过。垂直于平面回£的方向为z轴,

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,T,0),E(l,0,0),D(0,T,2),C(0,l,2),

AD=(0,0,2),A£=(l,l,0),AC=(0,2,2),

设平面4CE的法向量〃=(x,y,z),贝"〃——，x+y=()

、7[72AC=Oy+z=0

令y=l,=(一1,1,一1)

ADn|_2273

故点。到平面ACE的距离c/=-------二一尸=一「

n\|V33

故答案：亚.

3

14、8

【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.

21

【详解】因为一+—=1,x>0,y>0,

x)'

所以x+2y=(x+2y)[：+(14yx_

=4+-+->4+2

xy

当且仅当竺=2,即x=4,y=2时等号成立,

所以当x=4,y=2时，x+2y取得最小值8.

故答案为：8.

2,!?=1

15、位--

271-3,7?>2

S.,H=1

【解析】利用4=J10、。计算可得出数列(”｝的通项公式.

⑸一S,i，〃N2

[详解]当,22时，^=\-5„_,=(7?2-2/?+3)-[(//-1)2-2(77-1)+3]=2/7-3；

而q=5=2不适合上式，

2,〃二1

a,=<.

“⑵-3,〃22

[2,n=l

故答案：\C

2n-3,n>2

16、y=--(x-7v)

TV

【解析】由题意可得y'=8s『：—smx,据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.

JC

.5w_u-r”.，cosxx-sinx

【详解】由函数的解析式可得：y=------；-----，

XT

,,i4cos4一sin万1

所求切线的斜率为：k=y]=-------；------=一一，

IE7171

由于切点坐标为(小0),故切线方程为：y=--(x-^).

71

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线

是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点

三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=-tb=-\；(2)最大值为2—ln2,最小值为!

22

【解析】

(1)对函数/(工)求导，根据函数在x=l处取极值得出/"(1)=0,再由极值为得出/⑴=；，构造一个关于。、h

的二元一次方程组，便可解出外人的值；

(2)由⑴可知/(幻二；/一]g(/>0),求出了'(X),利用导数研究函数/(x)在g,2上的单调性，比较极值

和端点值的大小，即可得出/(犬)在；,2上的最大值与最小值.

【详解】解：(1)由题可知，f[x}=cuc+b\nxt/")的定义域为(0,+"),

f\x)=2ax+—(x>0),

x

由于/(x)在x=l处有极值;，

〃1)=。+励1=;,即1

a=—

2,

f([}=2a-^b=02a+b=0

解得：r/=l,b=-l,

2

(2)由(1)可知/*)=:%2一][]—其定义域是(0,+8),

ra)=J=d),

XX

令r(x)=0,而x>0,解得x=l,

由r(x)<0,得Ovxvh由r(x)>0,得X>1,

则在区间g，2上，A-,((X),/(X)的变化情况表如下:

X1(1，2)2

2

/3—0+

_1_

-+ln2单调递减单调递增2-ln2

/W82

可得/(4「/(1)小

由于“2)—/出=2—ln2—(1+ln2)>0,贝厅(2)>吗)

所以/(幻皿=八2)=2-ln2,

••・函数〃x)在区间(2上的最大值为2—ln2,最小值为，

【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调

性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.

18、(1)a=--,b=~-；

33

(2)——+In2.

6

【解析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出。力，然后讨论函数的单调区间进行验证,

最后确定答案；

（2）根据（1）得到函数在（0,2］上的单调区间，进而求出最小值.

【小问1详解】

⑴=2〃+/?+1=01

x>0，r(.v)=26/+4+-»因为/(“在x=l，x=:处取得极值，所以，

n•则

4-Vjf-=2々+4Z?+2=0

b=~3

广(同=H+g=-9(1)(2工-1)，

所以xjo,；］时,八戈）＜（）,小）单调递减I\

-A时，,r（x）＞o,/（6单调递增，时，r（x）＜o,

乙），7

/（X）单调递减，故x=l,x=5为函数的极值点.

丁口1,1

于是。=—,b=—•

33

【小问2详解】

结合⑴可知，/（X）在［0,521

上单调递减，在-J上单调递增，在（1,2］单调递减,而/(x)=一一x+—+\nx,

33x

I21417

=——+——ln2=——ln2,/(2)=——+-+ln2=——+ln2.

所以v7

V/333366

因为==所以（2）.

\ZJ2e22.fZ19.Oo32\Z7

7

综上：/（力的最小值为一二十102.

19、（1）线段PQ的垂直平分线过定点/（0,工、

\16）

⑵得

【解析】（1）设切线PQ的方程为）+并与抛物线方程联立，利用判别式求得P点坐标，进而求得Q点坐标,

从而求得线段PQ的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.

q

（2）结合弦长公式求得一的面积S,利用基本不等式求得丁的最小值.

K

【小问1详解】

依题意可知切线一。的斜率存在，且斜率大于。.

设直线尸。的方程为>=奴+力，Z〉0.

y=kx+b

由《消去)'并化简得4/-kx-b=0>

y=4A2

川L2/L\2

由△=0得k2+16Z?=0,b=-----,则4f一区一〃=4/一米+一=2x——=0,

161614)

2

解得x=9k,所以P(kk\,

oIo10；

在)，=小+Z?中，令x=()得y=Z?,所以。0,---

尸。中点为如，所以线段。。的中垂线方程为k一小

即尸一人+工所以线段PQ的垂直平分线过定点电心・

k16I16；

【小问2详解】

k21(k\11k2

由(1)可知，直线PM的方程为y—7T二一7%一.，即)，=一人工+上+工

16k[8)k816

11k2

V=X+—I.11k2

由.k816消去),并化简得:A4x~+-x-------=A0,

攵816

y=4x2

2

_1_LkJ__k

所以816，而工p二三，所以得4,=

"=o获一W'

所以二PQM的面积s=，•归°卜|尸加卜[地还•/二(2+-!-)=(i,

228VAi44k)64%

(1+可

所以S64A_/+2公+1_111.

2/2卷+2=

764炉64*+2+2》6416

、1

当且仅当/%=1时等号成立.

k-

qI

所以;的最小值为7.

K16

20、(1)an=12-2n；(2)30.

【解析】(1)设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列｛4｝的

通项公式；

(2)利用等差数列求和公式求和，再利田二次函数求得最值即可.

【详解】解：(D由题意得，数列｛q｝公差为d,

则a1+q+%=3q+6c/=18

%+%=2q+10d=0

解得：a=\0,d=-2

/.an=qJ=10-2(/?-1)=12-2/?

,、7/(10+12-2/?))

(2)由(D可得，S=---------=--------------=-n~+11/2

"22

/.S=-〃2+11/?=-(〃——)24-

“24

■:nwN'，，当〃=5或〃=6时，

S“取得最大值SS=S6=30

【点睛】本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前〃项和及最值，属基础题

21、(1)/(x)=2sinx--,单调递增区间为一工+2攵4,3+2%乃(ZsZ).

V3J[_66J

⑵2疗+10

【解析】(1)先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出/(x)=2sin(x-]｝再求单增区间；

(2)利用面积公式求出庆二24,再利用余弦定理求出人+。=10,即可求出周长.

小问1详解】

已知a=(2sinox,sin(yx+cos<yx),=(coscox,73(sincox-cosa)x))(0<<1),函数/(x)=a〃，

所以/(x)=sin2cox-