2024届吉林省普通高中数学高二年级上册期末检测模拟试题含解析

2024届吉林省普通高中数学高二上期末检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=xlnx-2在x=l处的切线方程为0

A.2x+y=0B.2x-y-4=0

C..v-y-3=0D.x+y+l=0

2.椭圆.d+4），2=4的离心率为（）

3.方程（犬+3〉，2一3）54=0表示的曲线是（）

A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线

C.一条射线D.一个椭圆

4.已知空间直角坐标系中的点P（L1/），A（l,0,l）,3（0,1,0）,则点P到直线AS的距离为（）

A.&B.立

66

C至D也

33

5.设双曲线£：I一与=1（。>0，/?>0）的右顶点为A,右焦点为产，“为双曲线E在第二象限上的点，直

/IT

线8。交双曲线七于另一个点。（。为坐标原点），若直线即平分线段尸C,则双曲线E的离心率为（）

A.3B.2

C・百D.V2

6.双曲线）/-4/=4的焦点坐标为。

A.(6,0),(-6,0)B.(A/3,0),(->/3,0)

C.(0,石石)D.(0,V3),(0,-X/3)

7.已知函数/(x)=lnx+c£,那么“4>0”是“/(x)在(0,+?)上为增函数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.《莱茵德纸草书》(RhindPapyruC是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个

人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是O个

A.12B.24

C.36D.48

9.设｛为｝是等比数列，贝卜对于任意的正整数〃，都有勺+2>41是"｛4｝是严格递增数列”()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.若圆&d+)，2—6x—6),_加=0上有到(―1,0)的距离为1的点，则实数小的取值范围为。

A.[—18,6]B.[—2,6]

C.[-2,18]D.[4J8]

11.已知直线/：〃比一》-3m+1=0恒过点尸，过点尸作直线与圆。：(工一1)2+(>-2)2=25相交于4,8两点，

则|人用的最小值为()

A.475B.2

C.4D.2出

12.函数〃x)=『—x+i的导数记为尸⑴，则r⑴等于()

A.OB.1

C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如果点M(x)，)在运动过程中，总满足关系式+幼+&x+1)，+V=4,记满足此条件的点M的轨迹

为C,直线戈=〃?与C交于O,E,已知A(-1,0),则..ADE周长的最大值为

14.已知直线y与双曲线三—亲■=交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是

15.若球的大圆的面积为冗，则该球的表面积为.

16.已知空间向量Q=(-L2,-4),Z?=(X,-1,3),若O_L(4+〃)，则x=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)已知耳，鸟分别是椭圆C：£+£=l(Q>b>0)的左、右焦点，点例是椭圆。上的一点，且

/月/尸2二^/4加工的面积为1・

(1)求椭圆C的短轴长；

(2)过原点的直线/与椭圆。交于AB两点，点p是椭圆C上的一点，若LPAB为等边三角形，求。的取值范围.

18.(12分)如图，在长方体A3CO-A石中，AB=BC=4,CG=6,若点尸为棱。。上一点，且OP=2,

。，R分别为棱上的点，且BQ=BR=2.

(1)求直线AQ与平面PBk所成角。的正弦值；

(2)求平面P8因与平面B。。耳的夹角a的余弦值.

19.(12分)已知椭圆。:三+£=l(a>〃>0)的离心率为当，点4(0,1)在椭圆。上，直线/:)，=履+/(左工0)

与C交于M,N两点

(1)求椭圆C的方程及焦点坐标；

(2)若线段MN的垂直平分线经过点A,求女的取值范围

20.(12分)已知函数/(x)=xlnx-；ar2

(1)若/。)在(。,+8)上单调递减，求实数。的取值范围

<2)若外，毛是方程/(%)=()的两个不相等的实数根，证明；x,ix2>-

a

21.（12分）如图，△A8C中，NAC，=90，NA〃C'=30,6。=石，在二角形内挖去一个半圆（圆心。在边“C

上，半圆与AC、AB分别相切于点C,M,与AC交于点N）,将△△8c绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

（1）求该几何体中间一个空心球表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线8C旋转一周所得旋转体的体积

22.（10分）如图，三棱锥P—ABC中，PALAB,PA±AC,AB1ACtAB=AC=2t%=4,点M是批

的中点，点。是AC的中点，点N在上，且PN=2NB.

（1）证明：BD平面CMN；

（2）求平面MNC与平面4BC所成角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程.

【详解】/(x)=xlnx-2,

/./r(x)=lnx+l,/(I)=-2,

“'(1)=1，

••」(/)在(1,一2)处的切线为：y+2=x-l,即x—)，—3=0・

故选：C.

2、D

【解析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出。，〃，c便可得到离心率.

【详解】解：由题意得：

2

x2+4y2=4n?+y2=1

「•/=4,/?2=1

/.c2=cr-b2=3>e=—=—

a2

故选：D

3、A

［解析］根据题意得到“2+3/一3=o或1=0,即可求解.

【详解】由方程(丁+39-3)77^=0,可得丁+3)，2-3=0或X—4=0,

即工+),2=1或％=4,所以方程表示的曲线为一个椭圆或一条直线.

3

故选：A.

4、D

【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】•.A(l,0,1),仅0,1,0),

=>4P=(0,1,0),\AP\=11

*-A5-位APMB16

4。在48上的投影为一四="^二~T，

IAB\\/33

则点尸到直线AB的距离为|AP『-APAB

<1^1>

故选：D

5、A

【解析】由给定条件写出点A,尸坐标，设出点5的坐标，求出线段广C的中点坐标，由三点共线列式计算即得.

【详解】令双曲线后的半焦距为c,点4。,0),/(。,0),设8(%,%)(为<0,%>0),由双曲线对称性得C(—x°,一)，o),

线段产C的中点。(三区，吟),因直线的平分线段尸C,即点。，A,〃共线,

%

于是有《8二颔。，即』一二---=丁』一，即c=3。，离心率e=£=3.

cx

x()-aa-o厮-a2Q-C+X°a

112~

故选：A

6、C

【解析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.

【详解】q—/=],焦点在y轴上，c="7T=石，故焦点坐标为((),石),((),一石卜

故选：c

7、A

【解析】对函数/(x)=lnx十of进行求导得广(工)二血±1,进而得时，户在)>0,/(X)在(0,十？)上

为增函数，然后判断充分性和必要性即可.

【详解】解：因为“X)的定义域是(0,+?),

卬、।\1c2ax•\I

所以f(x)=—+2ax=------,

XX

当时,/^x)>0,/(x)在((),+?)上为增函数.

所以a〉()=>/(x)在(0,+?)上为增函数，是充分条件；

反之，“X)在(0,+?)上为增函数na>0或a=(),不是必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.

8、D

3

q(1+加产工

【解析】设等比数列｛4｝的首项为q>0,公比4>1,根据题意，由八_5\求解.

丁切=93

i-q

【详解】设等比数列a｝的首项为4>0,公比4>1,

3

4+%73

由题意得：，

%+a2+%+/+%=93

3、

%（1+夕）="4

即《

“W）-93

i-q

q=3

q

所以%=々q4=48,

故选：D

9、C

【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.

【详解】若｛q｝是严格递增数列，显然%.2>为，所以“对于任意的正整数〃，都有4+2〉。」是“｛4｝是严格递增数

列''必要条件；

2

•.an+2=a,,q>alt对任意的正整数〃都成立，所以｛aH｝中不可能同时含正项和负项，

2

:.an>0,^>1,即。“>0国>1,或％<0,夕2<i,即4〃<0,。<9<1,

当4>0应>1时，有凡夕>〃”，即4川>%,｛q｝是严格递增数列，

当q<0.0v4Vl时，有anq>anf即>a„,｛q｝是严格递增数列，

所以“对于任意的正整数〃，都有勺+2>%”是“｛4｝是严格递增数列”充分条件

故选：C

10>C

【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】将圆C的方程化为标准方程得(x-3)2+(y-3)2=〃?+18,

所以"2>—18.因为圆C上有到（一1,0）的距离为1的点,

所以圆C与圆C：（x+l『+y2=i有公共点，所以胸+18-1闫。呐册+18+1

因为|CC[=J（3+l『+32=5,所以（，〃+18-”45«|，〃7+18+，,

解得一2。臼8,

故选：C

11、A

【解析】根据=彳将馆区最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.

【详解】将〃吠—丁一3〃?+1=0,变形为），-1二"（工一3）,故直线/恒过点尸（3,1）,

圆心。（1,2）,半径r二5,已知点尸在圆内，

过点P作直线与圆（工一1）2+（尸2）2=25相交于4,8两点，记圆心到直线的距离为d,则

\AB\=2^r2-d2=2^25-cl2,所以当d取得最大值时，|A却有最小值，

结合图形易知，当直线与线段0P垂直的时候，d取得最大值，即|明取得最小值，

此时|OP|二+（1-21=石,

所以|A8|二2yjr-\OP[=2xV25-5=475.

故选：A.

12、D

【解析】求导后代入％=1即可.

【详解】r（x）=W-l,/./（l）=4-l=3.

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8

【解析】根据椭圆定义判断出轨迹，分析条件结合椭圆定义可知当直线产加过右焦点时，三角形AOE周长最大.

【详解】•.­J（x-l）2+y2+7（^+1）2+/=4,

M（x,y）到定点（LO）,（-1,。）的距离和等于常数4>2,

・'•M点轨迹。为椭圆，且。=2,c=l

故其方程为工+上=1,

43

则A（TO）为左焦点,

因为直线才=机与。交于O,E,则一2<〃?<2,不妨设O在入轴上方，E在工轴下方,

设椭圆右焦点为A。连接。EA\

因为。

所以ZM+EA+O/T+E/T2ZM+EA+OE,即4“2ZM+E4+OE,

所以44。£的周长<4〃=8,当m=1时取得最大值8,

故答案为：8

14、（—石,+co）

12）

【解析】分析可知由《=/1+耳可求得结果.

a2Va~

221

【详解】双曲线£一£=1（。>06>0）的渐近线方程为），=±5X,

出师音用后〃、]c『la2+b2[~~瓦逐

由题意可知一>二,；.e=—=A—=.------=/1+—>——•

a2a\a2Va24\a22

故答案为：（更，+8.

15、4兀

【解析】设球的半径为〃，则球的大圆的半径为/，根据圆的面积公式列方程求出〃，再由球的表面积公式即可求解.

【详解】设球的半径为R,则球的大圆的半径为R,

所以球的大圆的面积为兀W=兀，可得R=],

所以该球的表面积为4兀店=4兀x『=4兀.

故答案为：4兀.

16、7

【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.

【详解】根据题意，易知。+〃=（/-1,1,一1）,因为〃_L（〃+h）,所以〃•（〃+人）=0,

即（X_1）X（_1）+1X2+（_1）X（T）=0,解得x=7

故答案为：7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2（2）声词

【解析】（D根据题意表示出的面积，即可求得结果；

（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到联立直线和椭圆方程，用点的

坐标表示上述关系式，化简即可得答案.

【小问1详解】

因为/平华二],所以|岫『+眼图2=4/,

又因为+\MF\=2a,所以玛,可玛=

24，；4「一=,

，.二今叫卜|"用=/=1,

所以〃=1,则椭圆C的短轴长为2.

【小问2详解】

若△E4B为等边三角形，应有|OP|=*|A8|,即|O"=6

当直线43的斜率不存在时，直线的方程为工=0,且=

此时若/xPAB为等边三角形，则点P应为长轴顶点，且QH=G|OA|=G，即Q=G.

当直线A8的斜率为0时，直线A8的方程为y=0,且|Q4|=a>l,

此时若△PA3为等边二角形，则点〃应为短轴顶点,

此时\OF\=\<不为等边三角形.

当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为〉二依，则直线OP的方程为〉=

K

x2+a2y2=a2,^,/(l+k2]a2

由《,得X；=------+=(1+K)x；=----------------------------

[y=^A1+/公।।八〃\…i+/公

1+/卜

(1+攵2)/

同理|0P「=\

k2+a2

(1+攵2)/3(1+k2)/

因为|OH=J5|OA|,所以

k2+a2]+a2k2

解得FR2-3)=3a2—l.

因为所以3c/—1>0,则/一3>0，即心6・

、

18(1)TT

⑵等

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角;

（2）用空间向量法求二面角

【小问1详解】

以。为坐标原点，射线D4,OC,OA方向为X,y,Z轴正方向建立空间直角坐标系.

当£)尸=2时,当0,0,2),&(4,4,6),砥2,4,0),

所以Pg=(4,4,4),PR=(2,4,—2),

设平面PB.R的法向量为〃=（x,y,z）,

小尸片=04x+4y+4z=0,

所以"，即＜

n-PR=02x+4y-2z=0,

不妨得，n=(-3,2,1),

又D](0,0,6),0(4,4,4),所以二(4,4,一2),

_|-6|_旧

贝1]sin。=

|/2||r>,e|-V14xV36-14

【小问2详解】

在长方体片中,

因为Bq_L平面A8CO,所以平面8。。蜴_L平面A8CO,

因为平面BDDR与平面A3c。交于BD,

因为四边形ABC。为正方形，所以AC_L80,

所以AC_L平面3。。蜴,即AC为平面3。。耳的一个法向量,

A(4,0,0),C(0,4,0),所以AC=(-4,4,0),

又平面尸8阳的法向量为〃=(-3,2,1),

所以cos”回埠二丁。|区.

\n\\AC\714x47214

2

19、(1)?+),2=1,卜Go)

(2)(-x/2,0)u(0,V2)

【解析】(1)由题意，列出关于。，瓦c的方程组求解即可得答案;

⑵设M羯八N八川，线段MN的中点5…），则R+，作差可得夭+2y后。①，又

昌+）（=12

线段MN的垂直平分线过点4（0,1）,则%=-9+1②，联立直线MN与椭圆的方程，可得△=・产+1+4公＞0（*）,

%="^=一「黑③，由①②③及（*）式联立即可求解

【小问1详解】

cG

e=—=——

a2

解：由题意可得，b=1,解得。=G,a=2,方=1,

a2=b2+c2

所以椭圆。的方程为?+），=],焦点坐标为（±6,0）

【小问2详解】

解：设M（XI,Ji）,N（X2,J2）,线段MN的中点（Xo,jo）,

X.21

------1-X=1〉0

因为,,所以」——+),「-%-=o,即---+(y+%)------------=°，

%,I4/-4X.-x2

所以;%+2)，%=0①,

因为线段MN的垂直平分线过点4（0,1）,所以江口=-1,即）,=一包+1②,

/kk

y=kx+t

联立，犬、,得（1+4炉）/+8%氏+4产-4=0,

2

所以△=(8Af)2-4(1+4/1)(4产-4)=・16»+16+64户＞0,即-尸+1+4公＞0(*),x0~=-----------?(5),

21+4上~

Akt

把③代入②，得、，.跖4_一寸记4，(4),

‘。kk1+4公

把③④代人①得密律M$+小=。,

2

2kt8K1,L(]+4攵—

所以+2Z=0,即仁―匕竺，代入(水)得一-二上+1+4/:2>0,解得一及<k<\H，

1+4公1+4公33

又20,

所以k的取值范围为卜①0卜(0,@

20、(1)a>\；

(2)详见解析

【解析】(D首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求

得实数。的取值范围;

(2)将方程/(x)=()的实数根代入方程，再变形得到lnx-lnx2=g“N—X2)<0,利用分析法，转化为证明

2-1

通过换元，构造函数，转化为利用导数证明〃(/)=京不-1。，>0,，£(0,1)恒成立.

2J1

【小问1详解】

/(x)=xlnx-^ax2(x>0),

/(x)=lnx+l-O¥,/(戈)在(0,十功上单调递减,

.•./'(x)=lnx+l-ovW0在(0,+向上恒成立，即orNlnx+1,

nrInX+l./X

即〃>------在(0M,4-^>),

设g(x)=W，(x>0),/(力匕吗却=_学

XXX

当0<尢<1时，g'(x)>o,函数单调递增，当X>1时，g'(x)<o,函数单调递减,

所以函数g(x)的最大值是g(l)=l,所以421；

【小问2详解】

若与与是方程/。)=。两个不相等的实数根,

即=()又2个不同实数根.与，且X>0,x2>0,

2.1

x{InXj--aVj=01呻=彳⑻

得《；,BP-乙

x,\nx---or，=oInx)=—ax^

--y2

所以Inx}-Inx2=—a(xi-x2)f

不妨设0<X<x2,则In%-Inx2=^a(x]-x2)<0,

要证明%+%>-»

x]+x21

只需证明go(玉—X2)<“lnx-ln%)，

i-1

即证明<〉ln$_lnx2,即证明T_x>^-t

2($+%)2Jl*

令”五，/«0,l),

令函数〃。）二行可一足乙

1

<0,

所以〃（尸4（3；7制下(+1)2

所以函数/?（/）在（0,1）上单调递减,

当,=1时，/?(1)=0,所以力(/)>0,re(o,l),

工T

所以老&〉用,，即一^~7>ln—,

即得X+x>—

2（八1）2五+1%2

【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采

用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.

21、⑴和,

【解析】根据旋转体的轴截面图