5.3 一元一次方程的应用（三）行程问题（7大题型提分练）（原卷版）

（北师大版）七年级上册数学《第5章一元一次方程》5.3一元一次方程的应用（三）行程问题知识点知识点一元一次方程的应用★★1、列方程解应用题的步骤：1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．★★2、对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．一、相遇问题：往往根据路程之和等于总路程列方程．S甲＋S乙＝两地距离．二、追击问题：（1）对于同向同地不同时的问题（出发地、追及地相同，出发时间不同）S甲＝S乙先＋S乙后．（2）对于同向同时不同地的问题（两者出发地不同，但同时出发），S甲－S乙＝两出发地的距离.三、环形跑道问题：沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形：①同时同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝环形周长②同时同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝环形周长四、火车过桥或隧道问题：1、明确基本路程关系：在火车过桥（隧道）问题中，火车行驶的路程是桥（隧道）长与火车车身长度之和。例如，当火车完全通过一座桥时，从火车车头上桥开始，到车尾离桥结束，车尾所经过的路程就是桥长加车长。2、不同情况的分析①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．3、根据等量关系列方程①利用速度、时间、路程关系列方程，这就需要准确理解题目中所描述的火车行驶情况，确定是火车完全通过桥（隧道）还是完全在桥（隧道）内等情况，从而确定正确的路程计算方式，进而列出方程求解．②对于火车错车问题列方程当两列火车错车时：●●相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间．●●追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间．★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：题型一行程问题……相遇问题解题技巧提炼相遇问题：甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离；若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间；1．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（）A．x+27+x5=1 B．x−272．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了米．3．（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少19，当两人相遇时，两车出发的时间为4．（2024•海淀区校级开学）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地3/5处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为米/秒．5．（2023秋•安徽月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题．6．（2023秋•沙坪坝区期末）甲、乙两车分别从A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里，若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇，求甲车的速度；7．（2023秋•硚口区月考）甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120m的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s．（1）经过多少时间，两人第一次相遇？（2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？8．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．（1）求甲、乙每小时各行多少千米？（2）在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？9．（2023秋•莱芜区期末）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．（1）甲、乙两人的速度分别是多少？（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？题型二行程问题……追击问题解题技巧提炼追击问题：快者走的路程－慢者路程=追击路程；若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间；1．（2023秋•南京期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（）A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x2．（2024•黑山县一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，可列方程（）A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）3．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过分钟后乙首次追上甲．4．一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因为有事迟出发30min，为了赶上队伍，以6km/h的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？6．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒．（1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？（2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由）7．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米．（1）乙出发多长时间后能追上甲？（2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？题型三行程问题……航行问题解题技巧提炼航行问题：顺流速度=静水速度＋水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度.顺风速度=无风速度＋风速；逆风速度=无风速度－风速.往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程1．（2023•饶平县校级模拟）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（）A．18千米/时 B．15千米/时 C．12千米/时 D．20千米/时2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程．3．一架飞机从A城市飞往B城市，顺风需要5.5h，逆风需要6h，风速为24km/h，则A，B两城市间的距离为多少？4．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距离．5．（2023秋•天山区校级期末）轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．6．（2024秋•南岗区校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：（1）船在静水中的平均速度；（2）甲、乙两地之间的距离．题型四行程问题……环形跑道问题解题技巧提炼环形跑道问题：同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.1．（2024•南海区开学）运动场的环形跑道长为400m，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑240m，乙平均每分钟跑280m，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到的方程是（）A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400 C．240x＝280x D．240x﹣280x＝4002．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的23，且甲在乙后2400mA．120min B．60min C．80min D．90min3．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（）A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上4．（2023秋•永定区期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AB边上，请问它们第2024次相遇在（）A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上5．（2023秋•长兴县期末）已知甲沿周长为250米的环形跑道按逆时针方向跑步，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为5米/秒．当运动时间是50秒时，甲，乙两人第1次相遇，则甲的速度是米/秒．6．（2024•重庆开学）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是米．7．（2023•碧江区期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．（1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？8．（2023秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．题型五火车过桥（隧道）问题解题技巧提炼不同情况的分析：①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（）A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（）米．A．4003 B．133 C．200 3．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（）A．190米 B．400米 C．380米 D．240米4．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为m．5．（2023秋•韶关校级期末）有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥的长分别为多少．6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：设这列火车的长度是x米，那么（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是；（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）题型六火车错车问题解题技巧提炼当两列火车错车时：1、相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间．2、追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间．1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为秒．2．在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是．3．（2023•越秀区校级开学）现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？4．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米．（1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？（2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米．（1）若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？（2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？（3）在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？题型七方案决策问题解题技巧提炼方案决策问题选择设计方案的一般步骤：①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．1．（2023春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问：（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？2．（2023秋•播州区期末）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本定价为每本1.5元，经协商，文具店提供了两种购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案．方案一：每本优惠售价为1.4元．方案二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本则超过部分按定价的九折销售．设某班购买作业本的数量为x本（x＞50）．（1）方案一所需的费用为元，方案二所需的费用为元（用含x的整式表示）；（2）购买多少本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多．2．（2023秋•德州期末）随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量xGB．（1）张老师按第一种套餐每月需花费元，按第二种套餐每月需花费元；（用含x的代数式表示）（2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算；（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？4．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工；方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售；方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？5．（2023秋•代县期末）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉；方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）（2）试求当x取何值时，方案一和方案二的购买费用一样．（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元．6．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动