第04讲 有理数的加减运算（3个知识点+3种题型+过关检测）（解析版）

第04讲有理数的加减运算（3个知识点+3种题型+过关检测）知识点1．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知识点2．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．知识点3．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．题型一、有理数加法运算律1．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（）A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律C．加法结合律 D．无法判断【答案】B【知识点】有理数加法运算律【分析】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．根据加法交换律和加法结合律即可求解．【详解】解：将式子先变成再计算结果，∴小磊运用了加法交换律和加法结合律．故选：B．2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）定义一个新运算，已知，则．【答案】【知识点】绝对值的意义、有理数加法运算律、有理数的减法运算【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可．【详解】解：，，，当时，，当时，，，故答案为：．3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用加法运算律简便运算．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)1(2)(3)【知识点】有理数加法运算律【分析】本题考查有理数加法运算：（1）利用加法交换律和结合律进行简算即可；（2）利用加法交换律和结合律进行简算即可；（3）利用加法交换律和结合律进行简算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．题型二、有理数的减法运算4．（24-25七年级上·全国·阶段练习）在数轴上，与表示数的点的距离是的点表示的数是（

）A． B．−7 C． D．或−7【答案】D【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减，分为两种情况：①当点在表示数的点的右边时，②当点在表示数的点的左边时，列出算式，求出即可．【详解】解：当点在的左边，则表示数的点的距离是的点表示的数是；当点在的右边，则表示数的点的距离是的点表示的数是；5．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点A，B是数轴上从左到右排列的两个点，对应刻度尺上的数分别为0.5，3，若B点在数轴上表示的数为．则数轴上点A所对应的数为．【答案】【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算【分析】本题考查了数轴、有理数的减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先求出的长，再利用数轴的性质求解即可得．【详解】解：∵点对应刻度尺上的数分别为，3，∴，∵点是数轴上从左到右排列的两个点，点在数轴上表示的数为，∴数轴上点所对应的数为，故答案为：．故选：D．6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）小明用下图直观解释，请你解释一下小明的想法，并用类似的方法直观解释．【答案】见解析【知识点】有理数的减法运算【分析】本题考查有理数减法运算的直观解释，根据有理数减法运算法则画图即可．【详解】解：小明第一步根据正负相抵消得到仍然为，再根据减去就去掉个负号，最后剩下个正号，故；由题可知，解释如下：题型三、有理数加减混合运算的应用7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】有理数加减混合运算的应用【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解．【详解】解：，，故选：A．8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）某公交车原坐有25人，经过2个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，则车上还有人．【答案】21【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握正数和负数的意义，加减运算法则，运算律使运算简便，是解决问题的关键．根据有理数的加减法列式计算，运用加法交换律结合律，可得答案．【详解】解：（人）．故答案为：21．9．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”．中秋节是我国的一个重要的传统节日，自古便有中秋赏月、吃月饼、看花灯等民俗。临近中秋节，王芳和妈妈一起去买月饼，妈妈买了个月饼．【提出问题】回家后，妈妈要求王芳用称重不超过的电子秤，结合所学知识判断这个月饼的质量是否都合格．【分析问题】王芳仔细地看了标签和包装袋上的有关说明，包装说明上标记的每个月饼质量合格标准为，确定了以下解决方案．【解决问题】把8个月饼的质量（单位：g）称重后统计列表如下：序号12345678质量/g王芳选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，她把超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，列出表格如下（数据不完整）：序号12345678质量/g请你解答下列问题：(1)王芳选取的这个标准质量是______；(2)表格中______，______，______；(3)王芳对妈妈说这个月饼中有个月饼的质量是不合格的，但是这8个月饼的平均质量又是合格的，请你通过计算说明理由．【答案】(1)(2)；；(3)这个月饼的平均质量是合格的，计算见解析【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握正数和负数运算法则是解题的关键；（1）根据题意可知，标准质量为克据此可得结果；（2）根据标准质量计算求解即可；（3）计算这盒月饼记录之和，再进行判断即可求解．【详解】（1）解：根据题意，可得；标准质量为；故答案为：（2）；；；故答案为：；；（3）解：根据题意可知，第四个和第八个月饼的质量是不合格的；故这个月饼的平均质量是合格的．一、单选题1．比大1的数是（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【知识点】有理数加法运算【分析】用-2加上1，求出比-2大1的数是多少即可．【详解】解：∵-2+1=-1，∴比-2大1的数是-1．故选：A．【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，解答此题的关键是要明确：求比一个数多几的数是多少，用加法解答．2．比1小5的数是（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【知识点】有理数的减法运算【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．3．潜水员先潜入水下36m，计潜水员的位置为，然后又上升，潜水员所在位置为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】有理数加法在生活中的应用【分析】由水下36m计潜水员的位置为可得“”表示“水下”，则上升表示为，两数相加即可．【详解】解：，故选D．【点睛】本题考查有理数加法在实际生活中的运用，理解正负号的意义是解题的关键．4．下列计算正确的是（）A．（﹣5）+3＝8 B．+5﹣（﹣4）＝9 C．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣8 D．（﹣7）﹣|﹣7|＝0【答案】B【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算【分析】根据有理数的加减法法则，即可解答．【详解】解：、，故错误，不符合题意；、，正确，符合题意；、，故错误，不符合题意；、，故错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的加减法，解决本题的关键是熟记有理数的加法、减法法则．5．人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（）A．－0.8℃ B．＋0.8℃ C．－37.3℃ D．＋37.3℃【答案】B【知识点】正负数的意义、有理数的减法运算【分析】根据正数和负数的概念，用37.3℃减去36.5℃，计算即可．【详解】解：依题意得：37.3℃−36.5℃=0.8℃，则37.3℃比36.5℃高0.8℃，所以记为正数，+0.8℃，故选：B．【点睛】本题考查正数和负数的基本概念，有理数减法，属于基础题．6．如果，那么，两个实数一定是（

）A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数【答案】C【知识点】相反数的应用、有理数加法运算【分析】由，根据互为相反数的两个数的和等于0，即可求得答案．【详解】解：，，两个实数一定是互为相反数，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的加法运算．注意和为0的两个数互为相反数．7．能与相加得0的数是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算【分析】本题主要考查了有理数加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则准确计算．【详解】解：，A．，，故A符合题意；B．，，故B不符合题意；C．，，故C不符合题意；D．，，故D不符合题意．故选：A．8．计算（

）A．0 B． C．2 D．【答案】A【知识点】相反数的定义、化简绝对值、有理数加法运算【分析】先化简绝对值，然后找出规律进行计算即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的化简，有理数的加法，依据互为相反数的两数之和为0进行简便计算是解题的关键．9．超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为，，的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（）A． B． C． D．【答案】C【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用【分析】根据所给数据得到拿出的两袋大米质量的最大值与最小值，作差即可．【详解】解：，即它们的质量最多相差，故选C．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，正负数的实际应用，解题的关键是理解题中正负数的意义．10．国外几个城市与北京的时差如下表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）城市纽约巴黎东京时差/时如果小李在北京时间9月1日乘坐15时的航班飞行11小时到达巴黎，那么到达巴黎的时间是（）A．9月2日2时 B．9月2日11时 C．8月31日19时 D．9月1日19时【答案】D【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用【分析】根据题意可得，计算，即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，，即到达巴黎的时间是9月1日19时．故选：D．【点睛】本题主要考查了正数和负数，有理数的加减法的运算，熟练掌握正数和负数的运算方法进行求解是解决本题的关键．二、填空题11．．【答案】7【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．先化简绝对值，然后计算减法即可．【详解】解：．故答案为：7．12．在跳远测验中，合格标准是4.00m，小明跳出4.21m记作+0.21m，小海跳出了3.82m，应记为：．【答案】【知识点】相反意义的量、有理数的减法运算【分析】根据高于标准记为正，可得低于标准记为负．【详解】解：∵合格标准是4.00m，小明跳出4.21m记作+0.21m，∴小海跳出了3.82m，记作，故答案为：．【点睛】本题考查了正数和负数，注意高于标准用正数表示，低于标准用负数表示．13．计算：．【答案】【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算【分析】去绝对值符号，再进行加减计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算．从题干给定的等式中得到小数减大数的绝对值等于大数减小数，是解题的关键．14．表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示，请化简：．【答案】c【知识点】有理数的加减混合运算【分析】根据图示，可知有理数a＜b＜0＜c，且|a|>|c|>|b|，判断出c+b-a和a-b的正负后，去绝对值并求的值．【详解】解：根据图示，a＜b＜0＜c，且|a|>|c|>|b|则c+b-a＞0，a-b＜0故答案为：c【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，绝对值的知识，正确把握相关知识是解题的关键．15．数轴上表示不小于且小于2的整数和是．【答案】【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算【分析】先求出不小于且小于2的所有整数，再求出和即可．【详解】解：不小于且小于2的整数是，和为，故答案为：【点睛】此题考查了有理数大小比较与数轴，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的大小比较及运算法则是解题关键．16．数轴上点表示，那么点向左移动个单位长度的点表示的数是．【答案】【知识点】有理数的减法运算、数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数【分析】根据数轴的性质，通过计算即可得到答案．【详解】由题意得：，∴向左移动个单位长度的点表示的数是，故答案为：．【点睛】此题考查了数轴的知识，解题的关键是熟练掌握数轴的性质，从而完成求解．17．数轴上点M表示有理数3，将点M向右平移5个单位长度到达点N，点E到点N的距离为6，则点E表示的有理数为．【答案】4或8/8或4【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、有理数加法运算、有理数的减法运算【分析】根据向右平移加求出点N表示的数，再分点E在点N的左边和右边两种情况讨论求解．【详解】解：∵点M表示有理数3，点M向右平移5个单位长度到达点N，∴点N表示3+5＝2，点E在点N的左边时，26＝4，点E在点N的右边时，2+6＝8．综上所述，点E表示的有理数是4或8．故答案为4或8．【点睛】本题考查了数轴，是基础题，主要利用了向右平移加，向左平移减，难点在于分情况讨论．18．点M在数轴上运动，从原点开始先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，则此时M点表示的数是．【答案】3【知识点】数轴上的动点问题、有理数加减混合运算的应用【分析】本题考查正负数的表示和有理数的运算，根据点的运动情况结合有理数的运算求解即可．【详解】解：∵从原点开始先向右移动7个单位长度，∴此时M点的位置为，∵再向左移动4个单位长度，∴此时M点的位置为，故答案为：3．三、解答题19．计算(1)(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】有理数的加减混合运算【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）根据有理数的加减运算法则计算即可；（3）根据有理数的加减运算法则计算即可；（4）根据有理数的加减运算法则计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查的知识点是有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的加减混合运算．20．邮递员骑车从凤凰中学出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行到达C村，最后回到凤凰中学．(1)以凤凰中学为原点，向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示A、B、C三个村庄的位置；(2)邮递员一共骑行了多少千米？【答案】(1)见解析(2)邮递员一共骑行14千米【知识点】有理数加法在生活中的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数【分析】（1）根据数轴的三要素画出数轴，根据题意，画出A、B、C三个村庄的位置；（2）根据快递员一共骑行走四段距离的和即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：，，，，邮递员一共骑行千米．【点睛】本题考查了数轴的画法及有理数在数轴上的表示，会求两点间距离，会用数轴解决实际问题，掌握数轴的三要素并来作图是解题的关键．21．如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，．(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？【答案】(1)A站是洪山广场站(2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米【知识点】绝对值的意义、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据按照正、负数表示的意义，相加计算即可得到答案．（2）利用正、负数表示站数的意义，相加得出总站数，再乘以平均距离即可得出答案．【详解】（1）解：．∴A站是洪山广场站．（2）解：，（千米）．∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米．22．某公司去年1~3月平均每月亏损3.8万元，4~6月平均每月盈利3.6万元，7~10月平均每月盈利2.5万元，11~12月平均每月亏损3.5万元．(1)如果把7~10月平均每月的盈利额记为+2.5万元，那么，11~12月平均每月的盈利额可记为______万元；(2)请通过计算说明这个公司去年的盈亏情况．【答案】(1)-3.5(2)2.4万元【知识点】相反意义的量、有理数加法在生活中的应用【分析】（1）根据意义相反的量可得结论；（2）把每个月的盈亏求和即可．【详解】（1）解：若盈利记为正，那么亏损记为负．所以亏损3.5万元记为：-3.5万元．故答案为：-3.5．（2）解：-3.8×3+3.6×3+2.5×4-3.5×2=-11.4+10.8+10-7=2.4（万元）．答：这个公司去年盈利2.4万元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握相反意义的量是解决本题的关键．23．两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“1+1”．如，等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和．42=，或者42=．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42=．【答案】5，37；11，31；5，5，13，19【知识点】有理数加法运算【分析】根据题意利用有理数加法计算即可；【详解】解：根据题意得：或；；（答案不唯一）；故答案为：5，37；11，31；5，5，13，19．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确计算是解题的关键．24．某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下：到达地点起点前进方向北南北北南北南北南北所走路程01046251239107请问地与起点之间的路程是多少千米？【答案】J地与起点之间的路程是24千米【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用【分析】规定向北为正，向南为负，根据有理数的加减混合运算法则列式计算即可．本题考查了相反意义的量，有理数加减混合运算，熟练掌握运算是解题的关键．【详解】解：规定向北为正，向南为负，则路程为：，，．故J地与起点之间的路程是24千米．25．世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）(1)守门员最后是否回到球门线上？(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？(3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球