第8节　二项分布、超几何分布与正态分布

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第8节二项分布、超几何分布与正态分布INNOVATIVEDESIGN1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.

2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时对点精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.n重伯努利试验

将一个伯努利试验(____________________的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布 (1)概念:在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=______________,k=0,1, 2,…,n,称随机变量X服从二项分布,记作___________. (2)期望与方差:E(X)=______,D(X)=_________.只包含两个可能结果

X~B(n,p)npnp(1-p)

正态密度曲线x=μx=μ1⑤在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,曲线越“胖”;σ越小,曲线越“瘦”,如图2所示.

X~N(μ,σ2)μσ2常用结论与微点提醒1.两点分布是当n=1的二项分布,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.2.当X~B(n,p)时,且P给定:若(n+1)p是整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值.若(n+1)p非正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.注:若均值为正整数,则当随机变量k=np时,概率最大.3.若X~N(μ,σ2),则P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a).√

√√×B

C

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一

二项分布例1

(2025·福州模拟)电子商务在我国发展迅猛,网上购物已经成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖10元钱三瓶,有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖). (1)小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种?

(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.

所以ξ的分布列为ξ0123P

思维建模判断某随机变量服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.(4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数.ABC

(2)(2025·长沙调研)某综艺节目中,有一个盲拧魔方游戏,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况,某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查;得到的情况如表所示:C用时/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率,代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率,每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试,其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5

考点二

超几何分布例2

(2025·杭州调研)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型,它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术,在测试它时,如果输入的问题没有语法错误,则它的回答被采纳的概率为90%,当出现语法错误时,它的回答被采纳的概率为50%. (1)在某次测试中输入了7个问题,聊天机器人模型的回答有5个被采纳,现从这7个问题中抽取4个,以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数,求ξ的分布列和数学期望;

ξ234P

(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%,求p的值.解

记“输入的问题没有语法错误”为事件A,记“输入的问题有语法错误”为事件B,记“回答被采纳”为事件C,由已知得,P(C)=0.8,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.5,P(B)=p,P(A)=1-p,∵P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p,∴0.9-0.4p=0.8,解得p=0.25.思维建模1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.

则随机变量X的分布列为X0123P

考点三

正态分布

BC解析

由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841

3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2,所以A错误,B正确;因为Y~N(2.1,0.12),P(Y<2.2)≈0.841

3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841

3-0.5=0.341

3,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341

3+0.5=0.841

3>0.8,所以C正确,D错误.(2)(2025·北京海淀区模拟)某企业生产一种零部件,其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品,技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16);技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差约为

.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)≈0.682

7,P(|X-μ|<2σ)≈0.954

5,P(|X-μ|<3σ)≈0.997

3)

0.271

8解析

记技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ1,标准差为σ1,技术改造后,该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ2,标准差为σ2,由题知μ1=μ2=50,σ1=0.4,σ2=0.2,(49.6,50.4)=(μ1-σ1,μ1+σ1)=(μ2-2σ2,μ2+2σ2),所以技术改造前的优品率约为0.682

7,技术改造后的优品率约为0.954

5,优品率之差约为0.954

5-0.682

7=0.271

8.思维建模解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x=μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.由μ,σ利用对称性可求指定范围内的概率值,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.训练3

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(

) A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等D

解析

对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.(2)(2025·东北四市调研)已知随机变量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,则P(3<X<5)=

;若Y=2X+1,则Y的方差为

.

0.464解析

因为随机变量X~N(4,42),所以P(X<3)=P(X>5)=0.3,所以P(3<X<5)=1-P(X<3)-P(X>5)=0.4,由题意可得D(X)=16.因为Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=64.微点突破二项分布与超几何分布的区别与联系1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布,学生对这两种模型的定义不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别.2.超几何分布的抽取是不放回抽取,各次抽取不独立,二项分布的抽取是有放回抽取,各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.一、以总体个数有限与无限区分两种分布例1

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495],

(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;解

质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).

X012P

Y012P二、以放回与不放回抽样区分两种分布例2

(多选)某工厂进行产品质量抽测,两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品,已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品,员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X,员工B抽取的3件产品中次品数量为Y,k=0,1,2,3.则下列判断正确的是(

) A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布 C.P(X=k)<P(Y=k) D.E(X)=E(Y)ABD

课时对点精练3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B2.(2025·唐山模拟)某地区5

000名学生的数学成绩X(单位:分)服从正态分布X~N(90,σ2),且成绩在[90,100]的学生人数约为1

800,则估计成绩在100分以上的学生人数为(

) A.200 B.700 C.1

400 D.2

500

解析

因为5

000名学生的数学成绩X服从正态分布X~N(90,σ2),

所以成绩在90分以上(包括90分)的学生人数约为2

500,

又数学成绩在[90,100]的学生人数约为1

800,

所以估计成绩在100分以上的学生人数为2

500-1

800=700.B

B

C

D

A7.若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)

的正态密度曲线如图所示,则下列