新疆哈密地区第二中高二下学期期末考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年第二学期高二（18届）数学学科期末考试试卷一、选择题（共12小题,每小题5分，共60分）1、已知复数（为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于（）A。第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、若集合，，则()A。B。C.D。3、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,此日脚痛减一半,六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为:“有一个人走378里路，第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（）A。96里B。48里C。192里D。24里4、一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）AB。C.D.5、已知，满足则的最大值为（)A。3B。4C.6D。76、从5名学生中选出4名分别参加A,B，C,D四科竞赛,其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为A。24B。48C.72D。1207、某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明.乙：丙会证明。丙:丁会证明。丁:我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A。甲B。乙C。丙D.丁8、某程序框图如图所示，运行该程序时，输出的S值是()A．44B．70C．102D．1409、已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（）A。B。C。D.10、已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于A.B.C.D.11、已知函数,则(）A。当，有极大值为B.当,有极小值为C.当，有极大值为0D.当,有极小值为012、如图,△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于()A. B。C．2 D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分)13、已知随机变量，随机变量，则．14、函数的值域是．15、已知等差数列的前项和,满足，则数列的前项和．16、若经过抛物线焦点的直线与圆相切,则直线的斜率为．二、解答题（17题10分,其它各题每题12分,共70分）17、已知的内角的对边分别为，．(1)若，求；（2）若，，求．18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0。4.(=1\＊ROMANI)先求出的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；（=2\*ROMANII）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表,并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据:参考公式:，其中.19、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，,.(Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB平面PCM？并给出证明。（Ⅱ）求二面角的余弦值。20、已知点,椭圆E：的离心率为，F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1）求椭圆E的方程；(2）设过点A的直线与椭圆E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线的方程．21、已知函数f(x）=mex﹣lnx﹣1．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当m≥1时,证明:f（x）＞1．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题记分．22、在直角坐标系中,已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线,曲线.(1）求曲线与的交点的直角坐标；(2）设点,分别为曲线，上的动点，求的最小值.23、已知；（1）判断的大小;（2）若，求证：中至少有一个的值小于2．参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C【解析】∵从5名学生中选出4名分别参加A，B,C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛,∴可分为以下几步：（1）先从5人中选出4人，分为两种情况:有甲参加和无甲参加。有甲参加时,选法有：＝4种；无甲参加时,选法有：＝1种.（2）安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人。排法有:＝12种。无甲参加时，排法有＝24种.综上，4×12+1×24=72.∴不同的参赛方案种数为727、【答案】A【解析】若丙说了真话，则甲必是假话,矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意;以此类推。易得出答案：A。8、【答案】C【解析】解:模拟执行程序框图，可得K=1，S=0S=2，K=4不满足条件S＞100,S=10,K=7不满足条件S＞100,S=24,K=10不满足条件S＞100,S=44，K=13不满足条件S＞100，S=70，K=16不满足条件S＞100，S=102，K=19满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为102．故选：C．9、【答案】A【解析】由双曲线,可得故,渐近线方程为不妨设的方程为代入方程解得。故选B．10、【答案】C【解析】过作，连接，由于,故平面,所以所求直线与平面所成的角为，设棱长为,则,故，.11、【答案】D【解析】依题意，原函数类似于二次函数，有唯一零点，相当于两个相等的实数根，此时函数图像类似二次函数图像，开口向上，且,故当时,函数有极小值为。12、【答案】B【解析】·＝·(－)＝·－·,因为OA＝OB，所以在上的投影为||，所以·＝||·|｜＝2,同理·＝|｜·|｜＝，故·＝－2＝.二、填空题13、【答案】14、【答案】15、【答案】【解析】设等差数列的首项和公差分别为、，根据题意建立方程组，解之得，数列的通项公式,数列的通项公式，则16、【答案】【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程为，,即，直线与圆相切，，解得,故答案为.三、解答题17、【答案】(1）；（2）。(1）由已知，结合正弦定理得：，于是或（舍）．因为,所以，，．（2）由题意及余弦定理可知，由(1)得即，联立解得，．所以，。18、【答案】（=1\＊ROMANI)因为网购金额在2000元以上(不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在的频率为，即，且，从而，，相应的频率分布直方图如图3所示：（=2\＊ROMANII）相应的列联表为：由公式，因为，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0。025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关。19、【答案】试题解析:（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM∵AP=PB∴AB⊥PM又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°∴△ABC是正三角形∴AB⊥CM又PM∩CM=M∴AB⊥平面PCM(Ⅱ）（Ⅱ)由，，易求得，，∴，以为坐标原点,以，，分别为轴,轴，轴建立空间直坐标系，则，，，,∴，,设平面的一个法向量为，则，，∴,∴，，∴设平面的一个法向量为，则,,∴，∴,，∴∴,∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20、【答案】解：（1）．(2）由题可知，直线的斜率存在，故设:,,．将代人中整理得当即时，,．从而．点O到直线PQ的距离，所以的面积，设，则，，，当且仅当即时等号成立，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或．21、【答案】（1）解：当m=1时，f(x）=ex﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1)=e﹣1，f’（1)=e﹣1．…所以曲线y=f(x）在点(1，f（1）)处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1)x．…（2）证法一：当m≥1时，f(x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明ex﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h(x）=在（0,+∞)上单调递增．…因为，g’（1）=e﹣1＞0,所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'(x0）=0时，所以,即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0)时,g'(x)＜0；当x∈(x0，+∞）时,g’（x）＞0．所以当x=x0时,g（x）取得最小值g(x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2:先证明ex≥x+1（x∈R）．…设h（x）=ex﹣x﹣1，则h’（x）=ex﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h’（x）＞0,所以当x＜0时,函数h(x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h(0）=0．所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号)．…所以要证明ex﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1,则．当0＜x＜1时,p'（x)＜0，当x＞1时,p’（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x)单调递减,当x＞1时，函数p（x)单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以ex﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时,f(x)＞1．…（若考生先放缩lnx，或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分!）思路3：先证明ex﹣lnx＞2．因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=ex，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2,则．其中，（t＞0）．①设h（t)=et﹣t（t＞0），则h'(t）=et﹣1．因为t＞0,所以h’（t）=et﹣1＞0．所以h（t)在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时,g’（t)＜0；当t＞1时，g’（t）＞0，所以当0＜t＜1时,g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g(t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g(1)=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二:因为f(x)=mex﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明mex﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明mex﹣lnx﹣2＞0．思路1:设g(x)=mex﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g’（1）=me﹣1＞0,所以函数在(0,+∞)上有唯一零点x0，且．…因为g’（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…当x∈（0，x0)时，g’（x）＜0;当x∈（x0，+∞)时，g'(x)＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f(x)＞1．…思路2：先证明ex≥x+1（x∈R)，且lnx≤x+1(x＞0)．…设F(x)=ex﹣x﹣1,则F’（x）=ex﹣1．因为当x＜0时,F’（x）＜0;当x＞0时，F’（x）＞0，所以F（x）在(﹣∞，0）上单调递减,在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号）．…由ex≥x+1（x∈R)，得ex﹣1≥x(当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明mex﹣lnx﹣2＞0．因为x