对数函数第二课时教案人教版高二数学第二章

第二章基本初等函数2.2对数函数第二课时2.2.2对数函数及其性质1教学目标知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质；培养学生数形结合的意识，掌握对数函数的单调性；掌握同底数对数比较大小的方法；掌握对数形式的复合函数的定义域、值域。1.2过程与方法：形成数学交流能力和与人合作意识；用联系的观点提出问题、分析问题、解决问题；从对数函数的学习中渗透数形结合、类比归纳、分类讨论的数学思想。1.3情感态度与价值观：类比指数函数通过图像研究对数函数的图象和性质，体会知识之间的有机联系，激发学习兴趣.在教学过程中，对对数函数有关性质的研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、接受别人意见的优良品质.2教学重点/难点/易考点2.1教学重点对数函数的图象和性质；对数函数的单调性。2.2教学难点对数形式的复合函数的定义域、值域；对数形式的复合函数的单调性，最大值与最小值；3专家建议对数函数与指数函数的学习要对比着进行，如它们的定义域和值域互换，它们的单调性与底数a的关系完全一致，指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等，这样有助于理解和把握这两个函数.4教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5教学用具计算机，投影仪6教学过程6.1知识回顾【师】同学们好。之前我们学习了指数函数和它的一些基本性质，现在我们一起来回顾一下。【板演/PPT】教师演示指数函数的定义以及相关性质。【师】好，那么我们现在一起来画一下指数函数的图像。【板书1】指数函数的图像6.2课程导入【师】我们知道某个细胞分裂过程中，细胞个数y是,【师】【板演/PPT】教师演示PPT。【师】【师】【师】:【师】同学们，现在呢，我们再来分析下面两个表格。看看到家都能观察出什么？【板演/PPT】教师演示PPT。【生】观察图标并讨论。【师】我们发现第一个函数的取值是第二个函数的自变量的取值。我们把第二个函数这种类型的函数叫做对数函数。现在，我们来一起总结一下对数函数的定义。【板书2】对数函数的定义一般的，我们把叫做对数函数，它的定义域是（6.3知识讲解对数函数的图像和性质【师】刚刚我们已经介绍了对数函数，那么现在我们来看一下对数函数的图像。【师】首先，我们来画一下对数函数y=log2x与y=logx的图像。大家现在草稿纸上画一下。【生】通过描点，连线，尝试着画出两个对数函数的图像。【师】现在我们来一起画一下。【板书3】对数函数y=log2x与y=logx的图像【师】不难发现，两个图之间有很大的区别。通过计算机大量的绘图，我们可以得到如下图。【板演/PPT】教师演示PPT。【板书4】对数函数的图像【师】同学们，现在大家来观察一下这两个图，你们得到什么结论呢？【生】观察两个图，并尝试得出结论。【师】引导学生观察函数的单调性，取值等特征。总结对数函数的性质。【板演/PPT】教师演示PPT。6.3习题讲解考点一比较大小例1.比较下列几组对数的大小活动：教师提示从对数函数单调性及图象变化规律入手.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.点评：本题主要考查对对数函数的理解和几何意义，以及图象法来解决对数函数的习题.图象法解题的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数的几何意义观察出答案。例2.比较下列各组数中两个值的大小：活动：老师先让学生做，之后和学生对答案，给予正确的同学高度表扬。答案解析：（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log23.4<log28.5.（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：当a>1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是loga5.1<loga5.9;当0<a<1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数，于是loga5.1>loga5.9.【师】现在我们来一起总结一下如何比较两个对数函数大小。【板书5】对数函数大小的判断方法（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.点考二求定义域例3.求下列函数的定义域：（1）（2）活动：让学生回顾函数的定义域的求解方法。老师提示对数函数的定义。组织学生探讨，得出正确的求解过程。【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.答案解析：（1）由log0.5(4x-3)≥0,我们可得到4x-3>0得0<4x-3≤1,∴<x≤1.∴函数的定义域是(2)由16-4x>0x<2x+1>0得x>-1x+1≠1x≠0.∴-1<x<0或0<x<2∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2).【点评】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.例4.变式探究：求下列函数的定义域：解析：(1)要使函数有意义，必须且只需x>0x>0log0.8x-1≥0即x≤0.82x-1≠0,x≠,∴0<x≤且x≠.函数的定义域.（2）要使函数有意义，必须且满足2x+3>0x>x-1>0解得x>13x-1>0x>3x-10x因此，函数的定义域为(1,+∞).考点三求值域例5.求下列函数的值域：活动：让学生回顾函数值域的求解方法。然后老师组织学生探讨复合函数的至于问题，得出正确的求解过程，学生尝试求解。【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.【解析】（1）∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16,又∵-x2-4x+12>0,∴0<-x2-4x+12≤16.∵y=logx在(0,16］上是减函数,∴y≥log16=-4.∴函数的值域为［-4,+∞).

（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,又∵x2-2x-3>0,且y=logx在(0,+∞)上是减函数,∴y∈R,∴函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1,∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1},∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,∴y=loga(a-ax)<logaa=1,∴函数的值域为{y|y<1}.【点评】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.考点四求最值例题4.已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.【解析】∵f(x)=2+log3x,∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为［1,9］,∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须有1≤x2≤91≤x≤9.∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.令u=log3x，则0≤u≤1.又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数,∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13.即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为13.【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.考点五求单调区间例6.求下列函数的单调区间：（1）f(x)=；（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2+.∵由-2x2+x+6>0知-<x<2,∴当x∈时，随x的增大t的值增大，从而logt的值减小；当x∈时，随x的增大t的值减小，从而logt的值增大.∴函数y=log(-2x2+x+6)的单调增区间是，单调减区间是.（2）先求此函数的定义域，由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x-3)>0，得x<-或x>3.易知y=log0.1μ是减函数，μ=2x2-5x-3在上为减函数，即x越大，μ越小，∴y=log0.1u越大；在(3,+∞)上函数μ为增函数，即x越大，μ越大，∴y=log0.1μ越小.∴原函数的单调增区间为,单调减区间为(3,+∞).【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.考点六求变量范围例7.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切x∈R,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值，a>0Δ=4-4a<0，（2）若f(x)的值域为R，则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).当a<0时，这不可能；当a=0时，μ(x)=2x+1∈R成立；当a>0时，μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞)，需a>0Δ=4-4a≥0综上所述，0≤a≤1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.【师】好了，同学们，学到这里，我们把对数函数单调性的知识点总结一下。【板书6】对数函数单调性总结：（1）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法：首先求满足f(x)>0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则①当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，在I1上单调递增，在I2上单调递减.②当0<a<1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间不同，原函数在I1上单调递减，在I2上单调递增.【师】那么，同学们，我们如何学好对数函数呢，老师给大家总结了一下。【师】总结：对数函数学习技巧对数函数与指数函数的学习要对比着进行，如它们的定义域和值域互换，它们的单调性与底数a的关系完全一致，指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等，这样有助于理解和把握这两个函数.6.4复习总结和作业布置课堂练习例1、若函数f(x)=ax(a>0，且