专题7.1 平行线中的几何综合（压轴题专项讲练）（苏科版）（原卷版）

专题7.1平行线中的几何综合【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．（1）若三角板如图1摆放时，则∠α=°，∠β=°．（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．【思路点拨】（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠DEF=α+∠BAC，可得结论；（2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论；（3）分9种情形∶当AC∥DF时，当AC∥DE时，当AC∥EF时，当BC∥DF时，当BC∥ED时，当BC∥EF时，当AB∥DF时，当AB∥ED时，当AB∥EF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论．【解题过程】（1）解∶如图1中，过点E作EJ∥PQ，∵PQ∥MN，PQ∥EJ，∴EJ∥MN，∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，∴∠DEF=α+∠BAC，∵∠DEF=60°，∴α=60°−45°=15°，∵∠DFE=30°，β+∴β=180°−30°=150°，故答案为∶45，150；（2）解：如图2中，利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH．∵PQ∥MN，∴∠QEA=∠BAC=45°，∴∠AEP=180°-45°=135°，∵∠CBA=45°，∴∠CBM=180°-45°=135*，∵HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM，∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；（3）解：①当AC∥DF时，如图1，易得此时BC∥ED，∵AC∥DF，易知E，F，A三点共线，∠DFE=∠FAC=30°，∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°=15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；②当AC∥DE时，如图2，易得此时BC∥DF．过点A作AH∥BC，则AH∥BC∥DF，∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．∴15t=120，∴t=8，③当AC∥EF时，情况不存在；④当BC∥DF时，同②；⑤当BC∥ED时，同①；⑥当BC∥EF时，如图3，此∠MAB=90°，即15t=90，解得t=6；⑦当AB∥DF时，如图4，∵AB∥DF∴∠BAF=∠DFE=30°，∴∠MAB=∠MAF+∠BAF=45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；⑧当AB∥ED时，∵AB∥ED，∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，∴15t=165，解得t=11；⑨当AB∥EF时，此情况不存在．综上所述，t的值为2或5或6或8或11．1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分（1）如图1，若BP∥CE，求证：（2）CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．2．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：（1）如图，AB∥CD∥EF，分别就图1、图2、图3写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB∥CD，则∠A+∠C+∠AFC=度；（3）在图5中，若A1B∥AnD3．（2022春·四川广元·七年级统考期末）已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于直线l（1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB=∠CAP+∠DBP．（2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上），直接写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系．4．（2022春·全国·七年级期末）已知：如图，AB∥CD，BG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．（1）求证：∠BGF＝90°；（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系；（3）在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．5．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）已知：如图，AB∥CD．（1）如图1，猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系．以下图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式，请你选择其中的两种方式说明理由．（2）在图4中，如果BE、DE分别平分∠ABD，∠CDB，则∠E的度数是多少？（直接写出答案）（3）根据以上推理，直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系．6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．（1）小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．7．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．（1）当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；（2）当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；（3）在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．8．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动(点P与点A，B，O三点不重合)”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．9．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）已知直线AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NF∥MQ．求证：∠MHG=∠KNF．10．（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．11．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．（1）若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；（2）在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；（3）若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）12．（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和（1）如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，∠EHF=°；（2）如图2，若α=120°，点P在射线EA上．①补全图形；②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，AB∥CD，直线AB外有一点M，连接AM，（1）证明：∠M+∠A=∠C；（2）如图2，延长MA至点E，连接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF与CM交于点F，求∠E与∠AFC的数量关系；（3）如图3，在2的条件下，∠E=100°，FA⊥AN，连接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求∠M的度数．14．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC=88°．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：__________．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为__________．15．（2022春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中）在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线AB，CD和一块含45°的直角三角板EFG（∠EFG=90°）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点G放置在直线AB上．（1）如图①，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD//AB，且∠2=4∠1，求（2）如图②，过点E作CD//AB，请探索并说明∠AGF与（3）将三角板绕顶点G旋转，过点E作CD//AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与16．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）已知，AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．（1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数．（2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系．（3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD=60°,∠EMR=20°时，作∠MNB的角平分线NG．把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为5°每秒，当OI落在MF上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B′NG′，当NG′和NA17．（2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）已知，AE∥BD，∠A=∠D．（1）如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为线段AB上一点，连接FG，∠CFG的平分线FM交线段AG于点H．如图2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度数；（3）如图3，连接AC，在（2）的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（0<t<50），已知∠CAB=65°，求∠CFG的平分线FM与三角形ACE的边平行时t的值．18．（2022春·辽宁大连·七年级统考期末）如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，（1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为____________________；（2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；（3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为____________________．19．（2022春·四川成都·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起