第二十七章 圆与正多边形（10个知识归纳+14类题型突破）（原卷版）

第二十七章圆与正多边形（10个知识归纳+14类题型突破）1.掌握圆的基本概念；2.掌握圆心角、弧、弦的关系；3.掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系；4、掌握垂径定理的概念及其应用；5、掌握切线的性质与判定；知识点01．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．知识点02．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．知识点03．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．知识点04．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．知识点05．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点06．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．知识点07．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．知识点08．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．知识点09．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．知识点10．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．题型一圆的确定与基本概念1．（2020上·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧2．（2020上·上海闵行·九年级统考期末）下列命题是真命题的是(

)A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和3．（2022·上海徐汇·统考二模）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练：1．（2023上·浙江绍兴·九年级校考期中）下列命题不正确的是（

）A．过一点有无数个圆B．过三点能作一个圆C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边2．（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）已知的最大弦长为，点A，B，C与圆心O的距离分别为，，，则点A在圆，点B在圆，点C在圆．3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．

(1)求的长；(2)求的半径．题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系4．（2022·上海金山·校考一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A． B． C． D．．5．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）下列命题正确的有（

）①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③的圆周角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弦相等；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在中，则弦与弦的大小关系是（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在中，则弦与弦的大小关系是（）A． B． C． D．2．（2023上·北京西城·九年级北京铁路二中校考期中）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为．

3．（2023上·九年级课时练习）如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若所对圆心角的度数为70°，且，求所对圆心角的度数．

题型三圆周角定理7．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点在上，交于点．若，则的度数为(

)A． B． C． D．8．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．9．（2023上·浙江湖州·九年级统考期中）如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，点A，B，C在上，，则的大小为（）A． B． C． D．2．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，是的外接圆，，，则的半径长等于．3．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，是的外接圆，，是直径，且，连接，求的长．题型四90度的圆周角所对的弦是直径10．（2023·江苏宿迁·校联考二模）如图，直径为的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．11．（2023上·河南周口·九年级校考期末）将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（

）A． B． C． D．12．（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．巩固训练1．（2022上·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）在中，，，，点为线段上一动点，以为直径，作交于点，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．222．（2022上·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是．

3．（2021上·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时，(1)求⊙O的半径；(2)求BD的长(3)求AD的长题型五已知圆内接四边形求角度13．（2022上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（

）A． B． C． D．14．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，已知为的内接四边形，，，则下列结论错误的是(

)A． B． C． D．15．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，已知四边形内接于，，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F．若，，则的度数为．3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．

题型六利用垂径定理求值16．（2023上·山西朔州·九年级校考期中）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（

）A．4 B．5 C．6 D．717．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（

）A． B． C． D．18．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，点在圆上，，垂足为，若的半径是10，，则（

）

A．2 B．2.4 C．3 D．4巩固训练1．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）如图，的直径过弦的中点G，，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为米．3．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度，拱高（弧的中点到弦的距离），求盾构机刀盘的半径．

题型七垂径定理的实际应用19．（2023上·九年级课时练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（

）

A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块20．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径是（

）A． B． C． D．21．（2022上·云南红河·九年级统考期末）为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为（

）A．240 B． C．120 D．巩固训练1．（2023下·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米2．（2023上·北京丰台·九年级统考期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为寸．3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．

(1)作于点C，求的长；(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．题型八直线与圆的位置关系22．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，直线与相切于点的半径为3，则线段的长为（

）A． B．6 C． D．323．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，切于点，连结交于点交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．24．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是．

点D在边上且．(1)判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的值．题型九圆与圆的位置关系25．（2023下·四川泸州·九年级统考期中）如图，，的圆心，都在直线上，且半径分别为，．若⊙以的速度沿直线向右匀速运动（保持静止），则在时刻与的位置关系是(

)A．外切 B．相交 C．内含 D．内切26．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（

）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外27．（2022下·上海闵行·九年级校考期中）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）已知，，，以点B为圆心，以为半径画圆，以点A为圆心，半径为r，画圆．已知与外离，则r的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知的半径长为3，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是3．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，BP为直径作圆．(1)设AP＝x，求两个圆的面积之和S；(2)当AP分别为a和a时，比较S的大小．题型十正多边形与圆28．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．4829．（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图1，是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井，它展示出精美的装饰空间和造型艺术从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为正方井，中层为正八角井，内层为圆井，图2是图1抽象出的平面图形，若最外层正方井的边长是2，则内层圆井的面积为（

）

A． B． C． D．30．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，正六边形内接于，点在弧上，点是弧的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（

）A．8 B． C． D．2．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在正六边形中，点P是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为．

3．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：

(1)将如表的表格补充完整：正多边形边数______的度数________________________(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．题型十一求弧长31．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A、B两点的切线交于点C，测得，A，B两点之间的距离为72米．则这段公路的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米32．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（

）A． B． C． D．33．（2023上·河南商丘·九年级统考期中）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（）

A．π B．2π C．3π D．4π2．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为．3．（2023上·河南安阳·九年级校联考期中）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，分别与相切于点，延长交于点，连接的半径为2，．

(1)连接，判断四边形的形状，并说明理由；(2)求劣弧的长；题型十二求扇形面积34．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）一个扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的面积是（

）A．π B． C． D．35．（2023上·福建厦门·九年级厦门大学附属科技中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为(

)A． B． C． D．36．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）斐波那契数列指的是这样一列数：1，1，2，3，5，8，…（从第3个数起，每个数是前面两数的和），如图，用以这些数为边长的正方形拼成长方形，在以这些数为边长的正方形中作出圆心角为的圆弧，则接下来一段圆弧对应的扇形面积是（

）．A． B． C． D．2（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，丁丁用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是．3．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．题型十三求某点的弧形运动路径长度37．（2022上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（

）

A． B． C． D．38．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束