2025年高考第二次模拟考试数学（新高考Ⅱ卷03）（全解全析）

2025年高考第二次模拟考试高三数学（新高考Ⅱ卷）03·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求函数的定义域和值域求集合，再由集合的交运算求集合.【详解】由，得，故.由，得，故，则.故选：B2．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】首先求出进而得出，再根据虚部的概念即可得出答案.【详解】由，得，得，所以，故的虚部为.故选：B3．一组数据的分位数是（

）A．10 B．12 C．4 D．3【答案】C【分析】应用百分位数定义求分位数.【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为，共10个数，所以，则这组数据的分位数为4.故选：C4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量.【详解】令，且，所以，可得，所以向量在上的投影向量为.故选：A5．已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角余弦化简函数解析式，根据、余弦函数的对称中心求出的值，利用三角函数的最小正周期公式求出结果.【详解】由，由存在实数，使得对任意，恒有，所以的图象关于点对称，所以，得，故的最小正周期为.故选：B6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线的右支交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示相关线段长，根据已知及点线距离公式、双曲线定义得到的关系，利用双曲线的离心率公式求出结果.【详解】如图，不妨令在第一象限，

因为，所以直线的方程为，又F−c,0，所以点到直线的距离为.因为，所以，故.设双曲线的右焦点为，连接，由双曲线的定义知，易得，在中，由余弦定理得，解得.故双曲线的离心率.故选：D7．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项.【详解】由题设，令，则，且，若，则，显然，A排除；若，则，显然，B排除；若，则，显然，C排除；故选：D8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：，.则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】A【分析】将已知等式向所求式转化，在的等号两边同时乘以，构造包含平方的等式，利用累加法求解.【详解】由，得，即，所以，，，，，以上各式相加得，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式及对数性质判断A；作差法判断B；特殊值法判断C；构造，利用导数得到判断D.【详解】A：因为，则，，所以，故，正确.B：由，即，由，得，所以，正确.C：令，，则，错误.D：令，则，故时，时，所以在上递减，在上递增，故，即，而，所以，正确.故选：ABD10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则的解集为B．若，则函数有2个零点C．若的值域为R，则的取值范围为D．【答案】ACD【分析】分区间求出不等式的解集，判断A；利用导数研究函数在0,+∞上的单调性，然后作出函数在0,+∞上的大致图象及直线，数形结合判断B、C；利用及函数的单调性判断D.【详解】A：若，当时，由，得，由，得，故不等式解集为，正确.B：当时，，则，当时，f'x<0，当时，f故在上单调递减，在上单调递增，又，且当时，，当时，，函数的大致图象如图所示，数形结合知，当时，只有1个零点，若，则时，没有零点，所以，函数只有1个零点，错误.C：根据B知，函数在0,+∞上的值域为，若的值域为R，则在上的值域应包含，则，得，又，故的取值范围为，正确.D：由题意知，由于，在上单调递增，所以，则，正确.故选：ACD11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，是底面上一动点（异于点），则下列结论正确的是（

）

A．直线与所成角的正切值为B．直线与平面所成角的余弦值的最大值为C．若，则动点的轨迹长度为D．若，则的轨迹是圆的一部分【答案】AC【分析】由题设知即与所成的角，进而求其正切值判断A；分析结论，问题化为求直线与平面所成角的正切值的最小值，根据已知确定直线与平面所成角的平面角，进而求其正切值最小值，即可得余弦最大值判断B；根据已知得点轨迹以为圆心，为半径的圆的，判断C；利用椭圆的定义判断D.【详解】A：由题得，故即与所成的角，如图1，连接，易得，故，正确.

B：直线与平面所成角的余弦值最大时，其所成的角最小，即正切值最小，所以原问题转化为求直线与平面所成角的正切值的最小值.由题意知，直线与线段始终有交点，设该交点为在平面内的射影为，如图2，连接，则即直线与平面所成的角.根据正方体的结构特征，知是边长为的正三角形，且三点共线，为的中心且为线段上靠近点的三等分点，所以.因为，所以最大时，即点与点（或）重合时，直线与平面所成角的正切值最小.连接，则，故，则，错误.C：连接，由平面，且平面，所以，在中，，所以点轨迹以为圆心，为半径的圆的，故动点的轨迹长度为，正确.D：由于，且，所以点轨迹以为焦点的椭球面的一部分，错误.故选：AC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为．【答案】/0.0625【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果.【详解】因为点1,4在抛物线上，所以，故抛物线的标准方程为，由抛物线的定义知，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离，因为抛物线准线方程为,所以抛物线上点到焦点距离等于,因为,所以，故抛物线上的点到其焦点距离的最小值为.故答案为：13．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是．【答案】【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.【详解】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，，，.由全概率公式得故.故答案为：.14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】应用特殊值结合不等式恒成立得的取值范围为，再证明时不等式恒成立，即可得答案.【详解】由题，当时恒成立，即恒成立，函数在定义域上为增函数且，故的取值范围为.下面证明：当时不等式恒成立.令，只需证恒成立，因为，所以在上单调递增，故，令，则只需证，易知，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故，得证.所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.【解析】1）由题意得，...........................................................（1分）则由正弦定理得，...........................................................（2分）由于，所以，所以，所以...................................................（4分）由于，所以，得.又，故....................................................................................................................................（6分）（2）根据，得，，..............................................（7分）则的周长为，.........（9分）由为锐角三角形，得，所以，.....................................................（10分）则，，..............................................................................................................（11分）所以，..............................................................................................................（12分）故周长的取值范围是.........................................................................................（13分）16．（15分）某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元.(1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）；(2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率.【解析】（1）由题意可知随机变量的所有可能取值为.，，，故随机变量的分布列为1005020...................................................................................................................................（6分）随机变量的数学期望........................................（8分）（2）由（1）知若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取1人，则这个人的奖金金额为20元的概率为，奖金金额为50元或100元的概率为，...................................................................................................（11分）故若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，这3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率为..............................................................................................................................（15分）17．（15分）如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）在题图1中，取的中点，连接，则，因为，，，所以四边形为正方形，则.在题图2中，连接，则是以为底边的等腰三角形，由题知，则，所以，所以，...............................................（2分）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以..........................................................................（4分）又，且，，平面，所以平面.........................................（6分）由于平面，所以................................................................................................................（7分）（2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.........................................（8分）故，，，由于，所以，则......................................................（9分）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以................................................................................................（11分）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以..........................................................................................（13分）故，易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.....................................（15分）18．（17分）已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点.(1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程；(2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.【解析】（1）由于在椭圆上，所以，..........................................................................（1分）由，得，..................................................................................................................（3分）当且仅当，即时，取得最小值.............................................................................（4分）故取得最小值时椭圆的标准方程为.............................................................................（5分）（2）根据不是椭圆的顶点可知直线的斜率存在且不为0，

设直线为y=kx+mk≠0,m≠0，所以，...............................（6分）由，得由于直线与椭圆相切，所以，即，得，..............................（8分）所以（*）式可化为，即，得，故.........（9分）由题，得，所以，故直线的方程为，令，得，故.所以，....................................................................................（11分）所以直线的方程为，令，得，所以.易知，由于，所以........................................................（13分）设，故，，，.......................................................（14分）故，.......................................................（16分）故成等差数列......................................................................................................（17分）19．（17分）已知函数.(1)若，求函数的单调区间.(2)若有两个零点.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．【解析】（1）当时且，则..................................（1分）令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，............................................................................................（2分）故，即，则在上单调递增，.................................................（3分）故的单调递增区间是，无单调递减区间...................................................................................（4分）（2）（i）由题意知，令，则有两个零点.................................................（5分），令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，.....