2025年大学统计学期末考试：卡方检验与统计推断应用试题

2025年大学统计学期末考试：卡方检验与统计推断应用试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在卡方检验中，如果卡方统计量的值越大，则说明：A.没有足够证据拒绝原假设B.有足够证据拒绝原假设C.原假设成立D.无法判断2.在卡方检验中，如果样本量越大，则：A.检验功效越低B.检验功效越高C.检验的灵敏度越低D.检验的灵敏度越高3.在进行卡方检验时，以下哪个是错误的？A.卡方统计量服从自由度为(df)的卡方分布B.自由度(df)等于行数减1C.自由度(df)等于列数减1D.自由度(df)等于行数减1和列数减1的乘积4.在进行卡方检验时，以下哪个是正确的？A.原假设为“两个分类变量独立”B.备择假设为“两个分类变量相关”C.原假设为“两个分类变量相关”D.备择假设为“两个分类变量独立”5.在进行卡方检验时，以下哪个是错误的？A.当样本量较小时，卡方检验的灵敏度较低B.当样本量较大时，卡方检验的灵敏度较高C.当样本量较小时，卡方检验的检验功效较低D.当样本量较大时，卡方检验的检验功效较高6.在进行卡方检验时，以下哪个是正确的？A.当期望频数较小时，卡方检验的灵敏度较高B.当期望频数较小时，卡方检验的灵敏度较低C.当期望频数较小时，卡方检验的检验功效较高D.当期望频数较小时，卡方检验的检验功效较低7.在进行卡方检验时，以下哪个是错误的？A.当卡方统计量的值接近于0时，说明两个分类变量独立B.当卡方统计量的值接近于0时，说明两个分类变量相关C.当卡方统计量的值较大时，说明两个分类变量独立D.当卡方统计量的值较大时，说明两个分类变量相关8.在进行卡方检验时，以下哪个是正确的？A.当卡方统计量的值大于临界值时，拒绝原假设B.当卡方统计量的值小于临界值时，拒绝原假设C.当卡方统计量的值等于临界值时，拒绝原假设D.当卡方统计量的值等于临界值时，不拒绝原假设9.在进行卡方检验时，以下哪个是错误的？A.当卡方统计量的值接近于0时，说明两个分类变量独立B.当卡方统计量的值接近于0时，说明两个分类变量相关C.当卡方统计量的值较大时，说明两个分类变量独立D.当卡方统计量的值较大时，说明两个分类变量相关10.在进行卡方检验时，以下哪个是正确的？A.当卡方统计量的值大于临界值时，拒绝原假设B.当卡方统计量的值小于临界值时，拒绝原假设C.当卡方统计量的值等于临界值时，拒绝原假设D.当卡方统计量的值等于临界值时，不拒绝原假设二、多项选择题（每题3分，共30分）1.卡方检验适用于以下哪些情况？A.判断两个分类变量是否独立B.判断两个连续变量是否独立C.判断两个有序分类变量是否独立D.判断两个无序分类变量是否独立2.卡方检验的假设包括以下哪些？A.原假设：两个分类变量独立B.备择假设：两个分类变量相关C.原假设：两个分类变量相关D.备择假设：两个分类变量独立3.卡方检验的自由度包括以下哪些？A.行数减1B.列数减1C.行数减1和列数减1的乘积D.行数和列数的和减14.卡方检验的期望频数计算公式包括以下哪些？A.期望频数=(行总数×列总数)/总样本量B.期望频数=(行总数×列总数)/总样本量×行数C.期望频数=(行总数×列总数)/总样本量×列数D.期望频数=(行总数×列总数)/总样本量×(行数+列数)5.卡方检验的统计量计算公式包括以下哪些？A.卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/期望频数B.卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/(观测频数+期望频数)C.卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/(观测频数-期望频数)D.卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/(期望频数-观测频数)6.卡方检验的临界值包括以下哪些？A.自由度B.显著性水平C.卡方分布表D.期望频数7.卡方检验的应用包括以下哪些？A.判断两个分类变量是否独立B.判断两个连续变量是否独立C.判断两个有序分类变量是否独立D.判断两个无序分类变量是否独立8.卡方检验的特点包括以下哪些？A.非参数检验B.不受总体分布的限制C.对样本量要求较高D.对期望频数要求较高9.卡方检验的局限性包括以下哪些？A.对样本量要求较高B.对期望频数要求较高C.对总体分布的要求较宽松D.对样本量要求较低10.卡方检验与相关系数的区别包括以下哪些？A.卡方检验适用于分类变量，相关系数适用于连续变量B.卡方检验适用于连续变量，相关系数适用于分类变量C.卡方检验适用于有序分类变量，相关系数适用于无序分类变量D.卡方检验适用于无序分类变量，相关系数适用于有序分类变量四、简答题（每题5分，共15分）1.简述卡方检验的基本原理和适用条件。2.解释什么是期望频数，以及它在卡方检验中的作用。3.简述卡方检验的步骤。五、计算题（每题10分，共30分）1.已知某班学生按性别分为男性和女性，学习成绩分为优秀、良好、中等和差四个等级。下面是性别与学习成绩的交叉频数表，请计算卡方统计量。|性别|优秀|良好|中等|差||------|------|------|------|----||男|20|15|10|5||女|10|20|15|5|2.某项调查收集了100名消费者的品牌偏好数据，其中品牌A、B、C的消费者人数分别为40、30、30。请计算卡方统计量，检验消费者品牌偏好的独立性。3.某工厂生产的零件分为合格和不合格两种，其中合格零件的尺寸分为大、中、小三种，不合格零件的尺寸分为大、中、小三种。下面是尺寸与合格/不合格的交叉频数表，请计算卡方统计量。|尺寸|合格|不合格||------|------|--------||大|120|50||中|100|80||小|70|90|六、论述题（10分）1.论述卡方检验在实际应用中的优势和局限性。本次试卷答案如下：一、单项选择题答案及解析：1.B。在卡方检验中，卡方统计量的值越大，说明观测频数与期望频数的差异越大，越有理由拒绝原假设，认为两个分类变量相关。2.B。样本量越大，卡方分布的曲线越集中，临界值越低，从而使得检验功效越高。3.D。自由度(df)等于行数减1和列数减1的乘积。4.A。原假设为“两个分类变量独立”，备择假设为“两个分类变量相关”。5.C。当样本量较小时，卡方分布的曲线较宽，临界值较高，使得检验功效较低。6.A。当期望频数较小时，卡方统计量的值较大，越有理由拒绝原假设，认为两个分类变量独立。7.A。当卡方统计量的值接近于0时，说明观测频数与期望频数的差异较小，没有足够证据拒绝原假设，认为两个分类变量独立。8.A。当卡方统计量的值大于临界值时，拒绝原假设，认为两个分类变量相关。9.A。当卡方统计量的值接近于0时，说明观测频数与期望频数的差异较小，没有足够证据拒绝原假设，认为两个分类变量独立。10.A。当卡方统计量的值大于临界值时，拒绝原假设，认为两个分类变量相关。二、多项选择题答案及解析：1.A、C、D。卡方检验适用于判断两个分类变量是否独立，包括有序分类变量和无序分类变量。2.A、B。卡方检验的假设包括原假设和备择假设，原假设为“两个分类变量独立”，备择假设为“两个分类变量相关”。3.A、B、C。卡方检验的自由度包括行数减1、列数减1和行数减1和列数减1的乘积。4.A、B。卡方检验的期望频数计算公式为期望频数=(行总数×列总数)/总样本量。5.A、D。卡方检验的统计量计算公式为卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/期望频数。6.A、B、C。卡方检验的临界值包括自由度、显著性水平和卡方分布表。7.A、B、C、D。卡方检验的应用包括判断两个分类变量是否独立，适用于连续变量、有序分类变量和无序分类变量。8.A、B。卡方检验的特点包括非参数检验，不受总体分布的限制，对样本量要求较高，对期望频数要求较高。9.A、B。卡方检验的局限性包括对样本量要求较高，对期望频数要求较高。10.A、B。卡方检验与相关系数的区别在于适用变量类型不同，卡方检验适用于分类变量，相关系数适用于连续变量。三、简答题答案及解析：1.卡方检验的基本原理是通过比较观测频数和期望频数的差异来判断两个分类变量是否独立。适用条件是两个变量都是分类变量，且数据是独立同分布的。2.期望频数是指在原假设成立的情况下，每个单元格的频数。它在卡方检验中的作用是作为比较观测频数的标准，通过计算观测频数与期望频数的差异来判断两个分类变量是否独立。3.卡方检验的步骤包括：提出假设、计算期望频数、计算卡方统计量、查表确定临界值、比较卡方统计量和临界值，做出结论。四、计算题答案及解析：1.卡方统计量计算过程如下：|性别|优秀|良好|中等|差||------|------|------|------|----||男|20|15|10|5||女|10|20|15|5|总样本量=100总优秀人数=30总良好人数=35总中等人数=25总差人数=10期望频数计算：期望频数=(行总数×列总数)/总样本量男-优秀期望频数=(30×100)/100=30男-良好期望频数=(35×100)/100=35男-中等期望频数=(25×100)/100=25男-差期望频数=(10×100)/100=10女-优秀期望频数=(30×100)/100=30女-良好期望频数=(35×100)/100=35女-中等期望频数=(25×100)/100=25女-差期望频数=(10×100)/100=10卡方统计量计算：卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/期望频数卡方统计量=((20-30)^2/30)+((15-35)^2/35)+((10-25)^2/25)+((5-10)^2/10)+((10-30)^2/30)+((20-35)^2/35)+((15-25)^2/25)+((5-10)^2/10)卡方统计量=(10^2/30)+(-20^2/35)+(-15^2/25)+(-5^2/10)+(-20^2/30)+(-15^2/35)+(-10^2/25)+(-5^2/10)卡方统计量=10/3+400/35+225/25+25/10+400/30+225/35+100/25+25/10卡方统计量=10/3+80/7+9+2.5+40/3+9/7+4+2.5卡方统计量≈3.33+11.43+9+2.5+13.33+1.29+4+2.5卡方统计量≈53.29因此，卡方统计量约为53.29。2.卡方统计量计算过程如下：|品牌|A|B|C||------|---|---|---||消费者人数|40|30|30|总样本量=100期望频数计算：期望频数=(行总数×列总数)/总样本量A期望频数=(40×100)/100=40B期望频数=(30×100)/100=30C期望频数=(30×100)/100=30卡方统计量计算：卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/期望频数卡方统计量=((40-40)^2/40)+((30-30)^2/30)+((30-30)^2/30)卡方统计量=0+0+0卡方统计量=0因此，卡方统计量为0。3.卡方统计量计算过程如下：|尺寸|合格|不合格||------|------|--------||大|120|50||中|100|80||小|70|90|总样本量=300总合格人数=290总不合格人数=10期望频数计算：期望频数=(行总数×列总数)/总样本量大-合格期望频数=(290×100)/300=96.67大-不合格期望频数=(10×100)/300=3.33中-合格期望频数=(290×100)/300=96.67中-不合格期望频数=(10×100)/300=3.33小-合格期望频数=(290×100)/300=96.67小-不合格期望频数=(10×100)/300=3.33卡方统计量计算：卡方统计量=Σ(观测频数-期望频数)^2/期望频数卡方统计量=((120-96.67)^2/96.67)+((50-3.33)^2/3.33)+((100-96.67)^2/96.67)+((80-3.33)^2/3.33)+((70-96.67)^2/96.67)+((90-3.33)^2/3.33)卡方统计量=(23.