浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）VIP

2024学年第二学期杭州S9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，利用交集概念求出答案.【详解】由题意得，，则．故选：A．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】应用复数乘法计算得出复数，再得出对应点即可.【详解】复数，对应的点为，点在第二象限.故选：B.3.已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得线段的斜率，由点斜式求得正确答案.【详解】因为，，，所以，则所求直线的斜率为，所以过点且与线段平行的直线方程为，即．故选：B4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件.【详解】由，解得或，故由能够推出；由不能够推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．5.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导后，令，解出单调增区间即可.【详解】，因为恒成立，所以当时，，即函数的单调递增区间是.故选：D.6.椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，根据题中条件得，则，构建的等量关系即可求离心率.【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，则，所以，由椭圆的定义可得，即，则离心率.故选：B.7.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则，，，，，∴，，，，∴，，∴，．又，∴平面，∴是平面的一个法向量，∵，∴直线与平面所成角的正弦值为．故选：C8.定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案.【详解】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，因为，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，当趋于正无穷时，趋近，所以，所以实数的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是()A. B.C.有最大值 D.当时，最大值为21【答案】BC【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于和公差d的方程组，求得通项公式后逐项判断即可.【详解】设公差为d，则由题可知，解得，，故B正确；，，故A错误；∵，，故根据等差数列前n项和的性质可知有最大值，故C正确；＞0，则，故的最大值为20，故D错误.故选：BC.10.已知函数.则下列结论正确的有（）A.的最小正周期为B.是的最大值C.把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象D.将函数的图象向右平移（）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数模型可判断A，B，再利用图象变换判断CD.【详解】A，由，故A正确，B，因为，故B错误，C，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，则C正确，D，将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到的图象，因为其关于原点对称，则，解得，又因为，所以的最小值，所以D正确.故选：ACD.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（）A.棱上存在一点，使得平面B.点到平面的距离为C.过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为D.过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.【详解】A，在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设棱上点，，则，若平面，则有，解得，与矛盾，即在棱上不存在点M，使得平面，A不正确；B，点到平面的距离h，因，则，B正确；C，取AD，CD的中点E，F，连接，则，即确定一个平面，如图，依题意，，，即四边形是平行四边形，，平面，平面，于是得平面，显然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是过与平面平行的正方体的截面，而，则此等腰梯形的高，所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；D，过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，则，而，而球半径，则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________．【答案】【解析】【详解】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为.13.已知向量的夹角为，，，则________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.【详解】因为向量的夹角为，，，则，可得，所以.故答案为：.14.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.【答案】.【解析】【分析】由正弦定理可知最大时，联立直线与方程，由韦达定理及即可求出直线，利用弦长公式求解即可.【详解】由题意知,为外接圆的半径，在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),当,即时,取得最大值2.设,,易知,,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,,则,,所以,解得.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角、、的对边分别为、、，，.（1）若，求；（2）若的面积，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理求结论，（2）先结合三角形面积公式求，再利用余弦定理求.【小问1详解】由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，【小问2详解】由三角形面积公式可得的面积，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.16.已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.（1）求，的通项公式；（2）设，记数列前项和为，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案；（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.【小问1详解】因为，所以时.当时，，所以，，满足，所以，数列是正项等比数列，.所以公比，.【小问2详解】由（1）知，，.17.已知函数，.（1）若存在极小值，且极小值为，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解；（2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值得解小问1详解】，，当时，，所以函数无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，解得.【小问2详解】由，得，即，，设，，则，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以，则，所以的取值范围为.18.如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面．（1）证明：；（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质，可证平面，再由线面垂直的性质，可证，根据三线合一可知为等腰三角形，即可证明；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】因为为的中点，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．因为为的中点，所以.【小问2详解】如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系，则，，，取的中点，连接．因为，所以．由（1）平面，平面，所以平面平面．因为平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，．设平面的一个法向量为，所以，即，可取．同理，可得平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角为.19.已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点．（1）求C的标准方程；（2）P是x轴上的定点，且．（i）求P的坐标：（ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.（2）（i）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数，根据列方程来求得点坐标.（ii）先求得的外接圆的半径，然后根据弦长列方程，进而求得正确答案.【小问1详解】因为C的实轴长为，渐近线方程为，所以，，解得，，所