2024-2025学年西师大版小学数学五年级下册（全册）知识点复习要点归纳

西师大版小学数学五年级下册（全册）知识点复习要点归纳倍数与因数倍数、因数定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，在12÷3=4中，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。找因数和倍数的方法找因数：可以从1开始，一对一对地找，直到找完所有可能的组合。例如，找18的因数，1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。找倍数：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。例如，5的倍数有5、10、15、20……一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。2，3，5的倍数特征的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如，12、34、56等都是2的倍数。是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，如1、3、5等是奇数。2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。例如，10、25、30等都是5的倍数。3.3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，判断123是否是3的倍数，计算1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。合数、质数质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如，2、3、5、7等都是质数，2是最小的质数，也是唯一的偶质数。合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如，4、6、8、9等都是合数。1既不是质数也不是合数。分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数，例如，分解24，先用2除24得12，再用2除12得6，继续用2除6得3，所以24=2×2×2×3。公因数、公倍数公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。求最大公因数可以用列举法、分解质因数法或短除法。公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如，4的倍数有4、8、12、16、20、24……6的倍数有6、12、18、24……4和6的公倍数有12、24……最小公倍数是12。求最小公倍数同样可以用列举法、分解质因数法或短除法。整理与复习在这部分的整理与复习中，要系统回顾倍数与因数相关的所有概念和方法。通过对比2、3、5的倍数特征，加深对不同数的倍数规律的理解；通过练习找公因数和公倍数，熟练掌握求最大公因数和最小公倍数的方法。同时，要注意区分质数、合数、奇数、偶数等概念，避免混淆。可以通过做一些综合性的题目，如判断一个数是质数还是合数，求两个数的最大公因数和最小公倍数，并运用这些知识解决实际问题，检验自己对这一单元知识的掌握程度。你知道吗：陈景润与哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论领域中著名的难题，大致可以分为两个猜想：每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。陈景润是我国著名数学家，他在哥德巴赫猜想的研究上取得了举世瞩目的成就，证明了“1+2”，即任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和不超过两个素数乘积之和。他的研究成果推动了数学领域的发展，其坚持不懈、勇于探索的精神也激励着无数数学爱好者投身于数学研究。了解陈景润与哥德巴赫猜想的故事，有助于激发同学们对数学中数论知识的兴趣，培养探索精神和科学态度。分数分数的意义分数的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如，把一个蛋糕看作单位“1”，平均分成4份，其中的1份就是14，3份就是3分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。例如，35的分数单位是15，79真分数、假分数真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1，例如，12、34、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1，例如，55、74、带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。带分数是假分数的另一种表示形式，例如，74=134，134分数的基本性质分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。例如，12=1×22×2=24，36=约分、通分约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。约分的方法是：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母，通常要除到得出最简分数为止。例如，将1218约分，先找出12和18的公因数2、3、6，用6去除分子分母，得到12÷618÷6=23通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的关键是确定几个分数分母的最小公倍数作为公分母。例如，将13和14通分，3和4的最小公倍数是12，23=1×44×3=412，14分数与小数分数化成小数：用分子除以分母，除不尽时，根据需要按“四舍五入”法保留一定的小数位数。例如，34=3÷4=0.75，23=2÷3小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。例如，0.25=25100=14，0.3=3整理与复习在分数单元的整理与复习中，要全面回顾分数的各个知识点。通过对比真分数、假分数和带分数的特点，清晰掌握它们的区别和联系；熟练运用分数的基本性质进行约分和通分操作；准确进行分数与小数的相互转化。可以通过做各种类型的分数计算题目，如分数的大小比较、分数与小数混合运算等，巩固所学知识，提高对分数知识的综合运用能力。同时，要善于总结在学习过程中出现的错误和问题，及时进行纠正和强化训练。长方体正方体长方体、正方体的认识长方体的特征：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。正方体的特征：正方体的6个面都是正方形，6个面完全相同；12条棱的长度都相等；有8个顶点。正方体是特殊的长方体，可以看作是长、宽、高都相等的长方体。长方体和正方体的关系：长方体和正方体都属于立体图形，正方体具备长方体的所有特征，并且在棱长和面对称性上更加特殊。通过对比两者的特征，能更好地理解它们的结构特点。长方体、正方体的表面积表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。表面积计算公式长方体表面积公式：S=(ab+ah+bh)×2，其中a表示长，b表示宽，h表示高。例如，一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，它的表面积为(5×4+5×3+4×3)×2=(20+15+12)×2=47×2=94平方厘米。正方体表面积公式：S=6a²，其中a表示正方体的棱长。例如，一个正方体的棱长是6分米，它的表面积为6×6²=6×36=216平方分米。体积与体积单位体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。1立方厘米相当于一个棱长为1厘米的正方体的体积，1立方分米相当于一个棱长为1分米的正方体的体积，1立方米相当于一个棱长为1米的正方体的体积。相邻两个体积单位之间的进率是1000，即1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³。容积与容积单位：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，常用容积单位升（L）和毫升（mL），1L=1dm³，1mL=1cm³，1L=1000mL。长方体和正方体的体积计算长方体体积公式：V=abh，即长方体的体积等于长×宽×高。例如，一个长方体的长是8米，宽是5米，高是3米，它的体积为8×5×3=120立方米。正方体体积公式：V=a³，即正方体的体积等于棱长×棱长×棱长。例如，一个正方体的棱长是4厘米，它的体积为4×4×4=64立方厘米。统一体积公式：长方体和正方体的体积还可以用统一公式V=Sh计算，其中S表示底面积，h表示高。对于长方体，底面积S=ab；对于正方体，底面积S=a²。问题解决运用长方体和正方体的知识解决实际问题时，要根据具体情况分析问题。例如，计算制作一个长方体无盖鱼缸所需的玻璃面积，就是求这个长方体5个面的面积之和（少一个顶面）；计算一个长方体水箱能装多少水，就是求这个水箱的容积。在解决问题过程中，要注意单位的换算和统一，准确运用表面积、体积和容积的计算公式。同时，要善于将实际问题转化为数学模型，通过画图、分析等方法理清数量关系，提高解决实际问题的能力。整理与复习在长方体和正方体单元的整理与复习中，要再次熟悉长方体和正方体的特征，能够准确区分它们的异同点。熟练掌握表面积、体积和容积的计算公式及其推导过程，通过做不同类型的题目，如求不规则物体的体积（可以用排水法等）、计算物体包装纸的面积等，巩固所学知识。还可以通过制作长方体和正方体的模型，增强对立体图形的空间观念和直观认识，提高运用知识解决实际问题的灵活性。综合与实践：设计长方体的包装方案在“设计长方体的包装方案”综合与实践活动中，同学们需要运用长方体的表面积等知识，对多个长方体物体的包装进行设计和优化。首先要考虑如何摆放这些长方体物体，使得拼成的大长方体表面积最小，从而节省包装材料。这就需要分析不同的摆放方式对表面积的影响，通过计算比较不同方案的表面积大小。例如，将几个相同的长方体盒子包装在一起，是将最大的面重合、最小的面重合还是其他面重合更节省包装纸。在设计过程中，还可以考虑实际情况，如包装的美观性、方便性等，培养同学们综合运用数学知识和解决实际问题的能力，以及创新思维和团队合作精神。你知道吗：阿基米德巧辨皇冠真假阿基米德在解决皇冠是否掺假的问题时，利用了物体浸入水中排开的水的体积等于物体自身的体积这一原理。他将皇冠和等重量的纯金分别放入水中，通过比较它们排开的水的体积是否相同来判断皇冠是否掺假。如果皇冠排开的水的体积与纯金排开的水的体积不同，就说明皇冠不是纯金制成的。这个故事体现了数学和科学知识在实际生活中的重要应用，展示了阿基米德的智慧和创新思维，激励同学们善于运用所学知识解决生活中的实际问题，培养探索精神和科学素养。分数加减法分数加减法1.同分母分数加减法算理理解：同分母分数的分数单位相同，所以在计算时，只需将表示分数单位个数的分子进行加减运算，分母保持不变，这和整数加减法中相同计数单位的数相加减的道理一致。1.异分母分数加减法关键步骤：通分的关键是确定几个分数分母的最小公倍数作为公分母，这样才能保证分数的大小不变且分数单位统一，从而进行加减运算。分数加减混合运算运算顺序：分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，按照从左到右的顺序依次计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。例如，，先计算12+13=36+26=56，再计算56-14=1012-312=712；而12+13-14，先算括号里的13-14=412-简便运算：整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适用。利用这些运算律可以使一些分数加减混合运算更加简便。例如，27+35+57=(27+57)+35=1+探索规律在分数加减法的学习中，探索规律主要体现在寻找算式之间的内在联系和变化趋势。例如，观察12-13=16，13-14=112，14-15综合与实践：一年“吃掉”多少森林在“一年‘吃掉’多少森林”综合与实践活动中，同学们需要运用分数加减法等数学知识，对生活中纸张等森林资源消耗相关的数据进行收集、整理和分析。比如，统计家庭每月纸张的使用量，计算一年的用纸总量，再通过相关数据估算出这些纸张对应的森林砍伐量。在活动过程中，要学会将实际问题转化为数学问题，运用分数运算解决问题，同时增强环保意识，认识到节约资源的重要性。方程用字母表示数意义和作用：用字母表示数可以简明地表示数量关系、运算定律和计算公式等，具有概括性和普遍性。例如，用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么路程、速度、时间的关系可以用字母公式s=vt表示；加法交换律用字母表示为a+b=b+a。书写规则数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“⋅”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。例如，a×5写成5a，a×b写成ab或a⋅b。两个相同的字母相乘，可以写成平方的形式。例如，a×a写成a²。1与任何字母相乘，1都可以省略不写。例如，1×a写成a。等式定义：表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。等式的两边可以是数字、字母或含有运算的式子。例如，3+2=5，a+5=10，2x-3=7等都是等式。等式的性质等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，左右两边仍然相等。用字母表示为：若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c。等式的性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或式子，左右两边仍然相等。用字母表示为：若a=b，则a×c=b×c，a÷c=b÷c（）。认识方程方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如，3x+5=17，2y-6=8等都是方程。方程必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是是一个等式。方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式包含的范围更广，方程是等式中含有未知数的那一部分。例如，5+3=8是等式，但不是方程；而x+3=8既是等式也是方程。解方程解方程的依据：解方程主要依据等式的性质。通过在等式两边进行相同的运算，使方程逐步变形，最终求出未知数的值。解方程的步骤例如，解方程3x+5=17：第一步，根据等式的性质1，方程两边同时减去5，得到3x+5-5=17-5，化简为3x=12。第二步，根据等式的性质2，方程两边同时除以3，得到3x÷3=12÷3，解得x=4。检验：将x=4代入原方程左边，3×4+5=12+5=17，方程右边是17，左边等于右边，所以x=4是原方程的解。问题解决运用方程解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系。具体步骤如下：分析题意：认真读题，理解题目中的数量关系，找出已知条件和所求问题。设未知数：一般设要求的问题为x。列方程：根据找出的等量关系，列出含有未知数的方程。例如，一个数的3倍比这个数多10，设这个数为x，等量关系是“这个数的3倍-这个数=10”，则可列出方程3x-x=10。解方程：按照解方程的步骤求出未知数的值。检验并作答：把求得的未知数的值代入原方程检验，看等式是否成立，然后写出答案。你知道吗：古老的方程方程有着悠久的历史，古代许多文明都对方程进行了研究。例如，古埃及的纸草书中就记载了一些方程问题。随着时间的推移，方程的理论和应用不断发展和完善。了解古老的方程，可以让同学们感受到数学文化的源远流长，激发对数学学习的兴趣，同时认识到方程在解决实际问题中的重要性和广泛应用。折线统计图特点：折线统计图不仅能清楚地反映出数量的多少，还能清晰地表示出数量的增减变化情况。通过折线的上升或下降，我们可以直观地看出数据的变化趋势。例如，统计某地区一周的气温变化情况，使用折线统计图能很明显地看出气温是升高还是降低。绘制方法整理数据：收集并整理需要统计的数据。画出横轴和纵轴：在图纸上画出横轴和纵轴，分别表示统计的项目和数量。通常横轴表示时间、类别等，纵轴表示数量。确定单位长度：根据数据的大小，确定合适的单位长度，在纵