2023~2024学年河南南阳联考高考数学文仿真试题一模带解析

2023-2024学年河南省南阳市联考高考数学（文）仿真模拟试题（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】利用交集和补集的定义逐一判断即可.【详解】集合，，对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：C.2.已知（其中i为虚数单位），若是的共轭复数，则（）A. B.1 C. D.i【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算可求得，再根据共轭复数的定义即可求得，进而求解即可．【详解】由，则，则，所以．故选：D．3.党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（）．A.30％ B.35％ C.40％ D.45％【正确答案】C【分析】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，结合条件可得，进而即得.【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，则2019年引入高科技人才的数量占比为，2022年引入高科技人才的数量占比为，依题意有，且，解得，所以2022年引入高科技人才的数量占比为．故选：C.4.若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. B.0 C.4 D.16【正确答案】A【分析】先画出约束条件所示意的图像，将分为，两个部分进行讨论分析.【详解】根据题意画出下图，阴影部分满足约束条件，，，时，过点时，；时，过点时，；故最小值为故选：A．5.已知，，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用两角和差的正弦公式和二倍角进行化简，结合角的范围即可求解【详解】，因为，，所以，所以，故．故选：D6.先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（）A.A与互斥 B.与相互独立C. D.A与互斥【正确答案】B【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误；对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确；对于选项C：，故选项C错误；对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；故选：B.7.已知正四面体的棱长为1，点O为底面的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即得.【详解】因为正四面体的棱长为1，则正四面体的高为，由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为，则，所以，所以.故选：B8.已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（）A. B.的一个周期是4C.是奇函数 D.【正确答案】B【分析】根据函数的周期性，对称性和奇偶性的公式推导即可求解.【详解】因为是奇函数，所以，又，所以，所以，所以函数是周期为4的周期函数，所以，故选项A正确；，所以，所以的一个周期是4，故选项B正确；因为，所以，所以，所以，所以是偶函数，故选项C错误；例如，满足是奇函数且且，所以，可得，故选项D错误；或根据得关于直线轴对称，因而在处有极值，所以或不存在，故D选项错误.故选：B.9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①的图象关于点对称；②图象关于直线对称；③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】依题意可得，，，再根据五点法作图可得，解得，．因为，所以的图象关于点对称，故①正确；因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；将的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；因为，当时且，，因为函数在上有且只有两个极值点，所以，解得，即的最大值为，故④正确；故选：C10.两个圆锥有等长母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设圆锥母线长为，小圆锥半径为、高为，大圆锥半径为，高为，根据侧面积之比可得，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到，利用勾股定理得到关于的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成的表达式，求出它们的比值即可.【详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为，侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、，则，得，因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以两个圆锥的体积之比为：.故选：A.11.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由条件结合圆与圆的位置关系可得点到直线的距离小于等于2，列不等式求的取值范围.【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，设直线上的点满足条件，则以点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，所以，所以点到点的距离小于等于，所以点到直线的距离小于等于2，所以解得所以k的取值范围为，故选：A.12.已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（）A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值 D.既无极小值，也无极大值【正确答案】C【分析】结合导数运算公式由条件求，由此可得，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数的极值即可.【详解】∵，∴．取可得，，由，令，得，因为，可得，∴，则，∴．令，则；令，，易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，所以当时，取最小值，又，当时，，时，，∴存，，使得．不妨设，则当时，，当时，，当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．∴既有极大值，又有极小值．故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算的值为______.【正确答案】8【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】原式.故8.14.若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是________．【正确答案】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有公共点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围．【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，所以，则双曲线的离心率的取值范围为．故．15.已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.【正确答案】##【分析】根据平面向量的几何关系，可将向量坐标化，设，可得，，由的几何意义利用圆上点到直线距离最值问题即可求得结果.【详解】设，则由得，可得，由得，因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故16.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设在数列中，,则实数的取值范围是.【正确答案】【详解】试题分析：因为所以是最小项，所以时递减，时递增，而数列是递减数列，数列是递增数列，当时，有即，当时，必有，即，所以实数的取值范围是故答案为.考点：1、函数的单调性；2、数列的增减性及最值.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性以及数列的增减性及最值，属于难题.解答本题的关键有两个，一是注意函数的单调性和数列增减性不完全一致，因为函数是连续的而数列不连续，所以数列的最值点根函数的极值点会有偏差；二是要根据讨论或两种情况分别列不等式组，求出解集后再找并集即可.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答．17.在中，内角的对边分别为（1）求角；（2）茬是边上的点，且，求的值.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）把给定等式切化弦，利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答.（2）根据给定条件，求出，在和中分别利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【小问1详解】在中，由得：，由正弦定理得：，而，即有，又，即，则，有，又，所以.【小问2详解】因为是边上的点，且，于是，如图，在中，由正弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，则有，整理得，解得：，而，所以.18.网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数（其中10场为一个周期）与产品销售额（千元）的数据统计如下：直播周期数12345产品销售额（千元）37153040根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：5538265978101其中，（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到）；（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（3）由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．【正确答案】（1）（2）乙建立的回归模型拟合效果更好（3）10【分析】（1）取对数，把非线性方程转化为线性方程，利用公式求解系数可得答案；（2）根据公式求解相关指数，比较两个方程的相关指数的大小可得结论；（3）利用乙的方程进行预测，求解不等式可得结果.【小问1详解】将两边取对数得，令，则;∵，∴根据最小二乘估计可知，;∴，∴回归方程为，即．【小问2详解】①甲建立的回归模型的．∴乙建立的回归模型拟合效果更好．【小问3详解】由①知，乙建立的回归模型拟合效果更好．设，解得，∴直播周期数至少为10.19.如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱的长为，，分别是棱，的中点，平面平面，且．（1）求证：；（2）若三棱柱的侧面积为，求它的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）通过证明平面来证得，进而求得.（2）通过求四棱锥的体积来求得三棱柱的体积.【小问1详解】如图，过点作交于点．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．又平面，∴．∵是正三角形，为的中点，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴．易知，∴．【小问2详解】由（1）知四边形为矩形，如图，过作，交于，连接．易知四边形为矩形，．由（1）知平面，所以，又平面，所以平面，由于平面，所以．同理过作，交于，连接，可证．由，可知．所以三棱柱的侧面积：，所以．在中，，，所以．连接，，四棱锥的体积：，又，所以．20.如图，M是抛物线上上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程【正确答案】（1）详见解析（2）【分析】（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E，F的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF的斜率为定值；（2）设出点M的坐标，如（1）用参数表示出点E，F的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的轨迹方程．【详解】（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(k>0)则直线MF的斜率为－k，方程为∴由，消解得∴(定值)所以直线EF的斜率为定值.（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x,y），则有消去参数得21.已知函数．（1）当时，求函数单调递增区间（2）若函数在的最小值为，求的最大值．【正确答案】（1）单调递增区间为（2）．【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．【小问1详解】当时，，则，令，在R上单调递增，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，故，所以恒成立，仅当时取等号，即的单调递增区间为【小问2详解】当时，时，，时，，则在取得最小值，符合题意；当时，时，，时，，时，，因为最小值为，所以得，即；当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；当时，时，，时，，时，，则有，不合题意；综上可得，的最大值．难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy中，