2023~2024学年上海黄埔区高考数学冲刺试题三模带解析

2023-2024学年上海市黄埔区高考数学冲刺模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合，则__________.【正确答案】【分析】直接计算交集得到答案.【详解】集合，则.故答案为.2．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）【正确答案】24【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数.【详解】的展开式通项公式为，令，得，故的系数为24.故24.3．已知随机事件满足，则__________.【正确答案】【分析】直接根据条件概率公式计算得到答案.【详解】.故答案为.4．已知直线和，若，则__________.【正确答案】【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】直线和，，则，解得.故答案为.5．在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．【正确答案】2【分析】根据复数的几何意义可得，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知，所以，故26．若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是_______．【正确答案】【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面圆的半径，进而可求解.【详解】圆柱的侧面积是，所以体积．故答案为:.7．在数列中，，且，设为数列的前项和，则__________.【正确答案】【分析】确定数列是首项为，公比为的等比数列，计算，再计算极限得到答案.【详解】，则，，数列是首项为，公比为的等比数列，，故.故8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则__________.【正确答案】【分析】确定双曲线右焦点，得到，解得答案.【详解】双曲线的右焦点为，则，.故答案为.9．某学校为了解该校学生开展志愿者活动的情况，随机抽取了40名学生，对他们本学期参与志愿者活动时长进行了统计，已知统计数据如下表所示：时长（小时）7891011人数（人）610987则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是__________.【正确答案】【分析】确定，第40百分位数是第个数和第个数的平均数，计算得到答案.【详解】，故第40百分位数是第个数和第个数的平均数，即.故答案为.10．已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.【正确答案】【分析】根据向量的数量积公式确定，根据垂直得到，代入计算得到答案.【详解】设，则，，故，，则，，，故，设，，则，又，解得，故.故答案为.11．已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.【正确答案】【分析】确定函数单调递增，计算，得到，确定，解得答案.【详解】在上单调递增，当时，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故答案为.12．已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是__________.【正确答案】【分析】构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，确定，，得到，得到答案.【详解】设等差数列的公差为，构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，横坐标分别为，，，，，根据绝对值函数的性质知：当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，此时最多有个交点，不满足题意，当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点，故，且，故，即，，故，故.故答案为.关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，再根据其性质得到是解题的关键.二、单选题13．如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，则，故A不正确；对于B中，当时，无意义，故B不正确；对于C中，，由，可得，但不确定，所以与无法确定大小关系，故C不正确；对于D中，，由，可得，且，所以，所以，故D正确.故选：D.14．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件，故选：C15．如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（

）A．存在平面与直线垂直B．四边形可能是正方形C．不存在平面与直线平行D．任意平面与平面垂直【正确答案】D【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A：在正方体中平面，显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，由平面平面，并且四点共面，平面平面，平面平面，∴，同理可证，故四边形是平行四边形，在正方体中，由几何知识得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故C错误；对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，

由几何知识得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面与平面垂直，故D正确.故选：D16．已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（

）A．的三边长一定成等差数列B．的三边长一定成等比数列C．，，的面积一定成等差数列D．，，的面积一定成等比数列【正确答案】B【分析】设出与，由余弦定理与三角形面积公式化简，结合等差数列与等比数列的概念判断，【详解】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．的三边长一定成等比数列，而既不是等差数列，也不是等比数列，故C，D错误，故选：B关键点点睛：本题解题关键是利用正弦定理，余弦定理进行边角之间的转化，结合面积公式及等差等比的定义．三、解答题17．已知.(1)求方程的解集；(2)求函数在上的单调增区间.【正确答案】(1)(2)和【分析】（1）化简得到，取，解得答案.（2）取，解不等式，取和得到单调增区间.【详解】（1），取，则，解得.故方程的解集为.（2）取，解得，当时，满足条件；当时，满足条件；综上所述：单调增区间是和18．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.(1)求证：；(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据余弦定理计算，根据勾股定理得到，确定平面，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1），故，，则，故，又，平面，，故平面，平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，则平面平面，且平面，故平面，如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，设，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取得到，则，解得，不满足题意.综上所述：不存在点，使二面角的大小为.19．由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.方案A：逐个抽血化验；方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）【正确答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）确定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，计算得到答案.（2）设每次化验的费用为，分别计算方案所需要的费用分别为，，，对比得到答案.【详解】（1）分血样中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血样含病毒的概率（2）设每次化验的费用为，每个人感染病毒的概率为，方案：费用为；方案：每组化验次数的分布列为：,故总费用为；方案：每组化验次数的分布列为：,故总费用为；综上所述：选用方案更合算.20．已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.(1)求椭圆的方程；(2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标；(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.【正确答案】(1)(2)或(3)定值为，理由见解析【分析】（1）根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案.（3）设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案.【详解】（1）椭圆的离心率是，解得.故椭圆方程为.（2）圆，即，故圆心，半径，，设直线的方程为，即，直线与圆相切，则，解得，当时，，解得或（舍），故，当时，，解得或（舍），故，故或（3）设，，，三点共线，则，即，解得，同理可得，.关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定，是解题的关键.21．已知.(1)当时，求函数的单调减区间；(2)当时，曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上，证明：两点的横坐标之和小于4；(3)当时，如果对于任意，总存在以为三边长的三角形，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）先求定义域，再求导，结合，利用导函数小于0求出单调递减区间；（2）分别求出点处切线方程，联立得到两切线交点的横坐标，由基本不等式求出两点的横坐标之和小于4；（3）转化为对于一切，，且均正，即，先令，得到，进而由导函数得到函数的单调性，得到不等式组，求出.【详解】（1）的定义域为R，，因为，所以的解集为，故函数的单调减区间为；（2）证明：当时，，，设，，点处切线方程为，