2024-2025学年浙江省湖州市长兴县南太湖联盟高一下学期3月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.2.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：A.3.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得，所以或.故选：C.4.已知向量，且，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】向量，由，得，解得，由，得，所以.故选：B.5.在中，已知，则的面积为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为，及和，所以，解得：，又因为，所以.所以.故选：C.6.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.且C. D.且【答案】D【解析】向量，则，由与夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D.7.为了测量某塔高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（）米.A. B. C. D.【答案】B【解析】设铁塔OT的高度为，依题意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以铁塔OT的高度为米.故选：B.8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】由单位向量，且向量的夹角为，得，由，得，即，依题意，对任意的，恒成立，而，当且仅当时取等号，因此，整理得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误；对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误.故选：BC.10.已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（）A. B.一定是实数C.若，则 D.【答案】ABD【解析】对于A：设，则，可得，，故A正确；对于B：令，由，故B正确；对于C：设，则，，满足，但，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.11.已知平面向量满足，则下列说法正确的为（）A. B.最小值为C.最大值为 D.【答案】ABD【解析】由，得，解得，对于A，，，又是非零向量，因此，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，由，得，则，即，当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误；对于D，由，得，则，，而，因此，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的周长为，且，则______．【答案】【解析】在中，令内角所对边分别为，由，得，而，所以.13.已知是方程的一个根，则______．【答案】0【解析】由是方程的一个根，得是该方程的另一根，则，，解得，所以.14.已知正实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】1【解析】因为，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中是虚数单位，（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．解：（1）复数为纯虚数，则，无解，所以实数m的值的集合为空集.（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，所以实数m的取值范围是.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．解：（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即.（2）由，又，解得，因为，所以，由余弦定理可得，即.17.已知函数的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）若在上单调递增，求的值；（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．解：（1）函数，函数，解得，所以的值是.（2）当时，，由上单调递增，得，解得，而，则，所以的值是1.（3）由（1）（2）知，，由，得，当时，，又函数在上恰有2个零点，得，解得，所以实数m的取值范围是.18.如图，在中，，线段与线段交于点F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O为内一动点，求的最小值．解：（1）由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因为，所以由勾股定理可得：，则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，有：，由可得：，所以，则.（2）由图可得：.（3）由，设中点为，同理可得，所以，在如图坐标系中，可设，，则，此时，即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值.19.若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；（2）若三角形的面积为S．①证明：；②当时，求面积S的大小．解：（1）如图设，因，则，由题可得，则，由余弦定理，可得：，注意到.则.则.（2）①由图可得，则要证等式右边等于，由余弦定理，，同理可得：，.则要证等式右边等于左边；②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号.由海伦公式，，其中.则.故所证不等式等价于证明：，即证：，即证：，注意到，.则.注意到，，则，即，当且仅当三角形为等边三角形时取等号.当时，由①，，由以上证明不等式取等条件可得，此时三角形为等边三角形，则.浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.2.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：A.3.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得，所以或.故选：C.4.已知向量，且，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】向量，由，得，解得，由，得，所以.故选：B.5.在中，已知，则的面积为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为，及和，所以，解得：，又因为，所以.所以.故选：C.6.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.且C. D.且【答案】D【解析】向量，则，由与夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D.7.为了测量某塔高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（）米.A. B. C. D.【答案】B【解析】设铁塔OT的高度为，依题意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以铁塔OT的高度为米.故选：B.8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】由单位向量，且向量的夹角为，得，由，得，即，依题意，对任意的，恒成立，而，当且仅当时取等号，因此，整理得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误；对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误.故选：BC.10.已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（）A. B.一定是实数C.若，则 D.【答案】ABD【解析】对于A：设，则，可得，，故A正确；对于B：令，由，故B正确；对于C：设，则，，满足，但，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.11.已知平面向量满足，则下列说法正确的为（）A. B.最小值为C.最大值为 D.【答案】ABD【解析】由，得，解得，对于A，，，又是非零向量，因此，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，由，得，则，即，当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误；对于D，由，得，则，，而，因此，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的周长为，且，则______．【答案】【解析】在中，令内角所对边分别为，由，得，而，所以.13.已知是方程的一个根，则______．【答案】0【解析】由是方程的一个根，得是该方程的另一根，则，，解得，所以.14.已知正实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】1【解析】因为，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中是虚数单位，（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．解：（1）复数为纯虚数，则，无解，所以实数m的值的集合为空集.（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，所以实数m的取值范围是.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．解：（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即.（2）由，又，解得，因为，所以，由余弦定理可得，即.17.已知函数的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）若在上单调递增，求的值；（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．解：（1）函数，函数，解得，所以的值是.（2）当时，，由上单调递增，得，解得，而，则，所以的值是1.（3）由（1）（2）知，，由，得，当时，，又函数在上恰有2个零点，得，解得，所以实数m的取值范围是.18.如图，在中，，线段与线段交于点F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O为内一动点，求的最小值．解：（1）由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因为，所以由勾股定理可得：，则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，有：，由可得：，所以，则.（2）由图可得：.（3）由，设中点为，同理可得，所以，在如图坐标系中，可设，，则，此时，即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值.19.若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．（1）若，且，求