广东省衡水大联考2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（解析）

2024—2025学年度高一年级4月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由向量的线性运算可得．故选：B．2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（）A.相等的线段在直观图中仍然相等B.相等的角在直观图中不一定相等C.平行的线段在直观图中仍然平行D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项.【详解】如图：四边形为正方形，由斜二测画法可得其直观图如下：对于A，因为，而，故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误；对于B，因为，而故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确；对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确；对于D，因为，而不垂直，所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确.故选：A.3.已知复数满足，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据复数模的公式求解.【详解】由题意可得，所以，解得.故选：B．4.已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】一方面，时，可能四点共线，此时不构成四边形，故充分性不成立；另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，故必要性成立．所以甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.5.已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义，复数的乘法运算，复数相等的概念求解.【详解】由复数的几何意义可得，，故，所以，解得，故.故选：A．6.如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】A【解析】【分析】求出圆台的侧面积，计算得解.【详解】将伊丽莎白圈看作上下均无底盖的圆台，则制作该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积，圆台的侧面积，因为每平方分米需要消耗5克涂层材料，所以制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料克．故选：A．7.记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，结合平方关系可得，进而求得，得解.【详解】由边上的高为1知，故，由正弦定理得，，所以．由余弦定理可得，因为，解得，故，解得，故的周长为．故选：D．8.记直角三角形内角所对的边分别为，已知，则（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由余弦定理结合不等式可得为锐角，根据为直角三角形，分或为直角讨论，结合勾股定理求出，得解.【详解】由余弦定理得，又，故，，即为锐角，故或，得或，解得或，由正弦定理可得或.故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于几何体的描述错误的有（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合棱柱、棱锥和棱台的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱柱，所以A错误；对于B中，有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体，只有各个梯形的腰延长交于一点时，该多面体才是棱台，所以B错误；对于C中，长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体，所以C错误；对于D中，根据正棱锥的定义，可得正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，所以D正确.故选：ABC.10.已知非零复数，，其中为纯虚数，则（）A.若，则为纯虚数B.若与互为共轭复数，则C.若，且为纯虚数，则D.若，则虚部为0【答案】BD【解析】【分析】设，，根据复数的运算，共轭复数等的概念逐项求解求解判断.【详解】对于A，设，，，即，并不能证明，故A错误；对于B，由与互为共轭复数，可得，因为为非零复数，所以解得，所以，故B正确；对于C，由得，，又因为为纯虚数，则，解得，，故C错误；对于D，，即，故D正确.故选：BD．11.在中，，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】【分析】设三角形的重心为，从而可求出，再根据，可得，即可判断AB；设的中点为，再根据即可判断C；设的中点为，有，进而可判断D.【详解】设三角形的重心为，则，由，所以，，又，即，可得，则，故A正确；因为，故B错误；设的中点为，因为是三角形的重心，故，故C正确；设的中点为，有，而，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，满足，则______．【答案】82【解析】【分析】根据向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得答案.【详解】由题意可得，且，解得．故答案为：82.13.已知复数，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，利用复数模的公式求解.【详解】由题意可得，故．故答案为：.14.已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为______．【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解.【详解】设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形，因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为．不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者．易得该正六棱柱的外接球半径为．当时，，．当，，，所以时，取得最小值．又因为一个等边三角形的面积为，所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为．故答案为：36．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）已知，且，求；（2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值.【答案】（1）;（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）把代入，利用复数除法化简，可得，所以.（2）由于是方程的一个根，所以把代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得，即可解得.试题解析：（1）由，得，所以.（2）由于是方程一根，则即：，所以，，解得，.【点睛】对于复数方程根的问题，已知一复数根时，一般把复数代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得两个等式，可解参数．对于解复数根问题，我们可以设复数根，代入方程后，同上解法．当然对一元二次形式方程复数根问题，我们也常用韦达定理．16.已知向量，，．（1）互为______；（直接填写所有符合题意的序号）①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．（2）证明（1）中你所选择的结论；（3）判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．【答案】（1）③④（2）证明见解析（3）可以，理由见解析【解析】【分析】（1）根据相等向量，相反向量，平行向量，共线向量的概念判断；（2）由共线向量定理求解判断；（3）根据基底的定义，即验证存在不全为0的实数，使得成立，即可.【小问1详解】③④.【小问2详解】共线向量即平行向量.要证明互为共线向量，只需证明存在一个实数，使得．对于，，有，所以存在实数使得，即互为共线向量.【小问3详解】能．不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，假设存在实数，使得，展开得，可得方程组，解得，故当且仅当时，成立，因此向量不共线，可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量.17.如图所示，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.（1）用，表示，；（2）如果且，求的余弦值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据图形利用向量线性运算即可得到答案；（2）首先计算，，再利用向量夹角计算公式即可.【小问1详解】，；【小问2详解】，，.18.已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得.（1）若两点的距离为海里，求的长度；（2）求两点距离的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可得结果；（2）当时的长度即为两点距离的最小值，在中，由正弦定理得，其中为定值，又，可得，从而得到.【小问1详解】由题意知，，故为以为直角顶点的等腰直角三角形，故，又因为，且由题意得分布于直线两侧，所以，有，由余弦定理可得，解得（海里）.【小问2详解】由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为.注意到在（1）的条件下，故此时，即，所以此时的长度即为两点距离的最小值；由于游船从两灯塔间穿过，即与存在异于端点的交点，设为点.由正弦定理得，在中，，其中为定值，故增大时，减小，又因为，因为，所以，故，因为，所以，故（海里）.19.已知为方程的一个解，设，在复平面内对应的点分别为，坐标原点为，为第一象限内一点．（1）求；（2）设与交于点，求值；（3）中，为延长线上的一点，记，，所对应的复数分别为，，，且，求的值．【答案】（1）0（2）（3）．【解析】【分析】（1）求出点坐标，根据复数的几何