专题04实数估算与新定义专练

同步高分必练专题04实数估算与新定义专练（解析版）（3大类型精选30题）1．（2425七年级下·广西玉林·期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题：(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．【答案】(1)，(2)3(3)【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、二次根式的加减运算【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解此题的关键．（1）估算出，即可得出答案；（2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可；（3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案．【详解】（1）解：，，即，的整数部分是，小数部分是，故答案为：4，；（2）解：，，即，，，，即，，；（3）解：，，即，．，其中m是整数，且，，，，∴的相反数为．2．（2425七年级下·安徽合肥·期中）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻两个正整数来确定．例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为．(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)若小数部分是p，小数部分是q，且，请求出满足条件的x的值．【答案】(1)8，(2)或【知识点】利用平方根解方程、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查了无理数的估算，利用平方根解方程．（1）找出与被开方数相邻的两个完全平方数，从而估计实数的整数部分，再根据小数部分=实数整数部分即可得解；（2）由得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可．【详解】（1）解：，即，的整数部分为8．，，的小数部分为．故答案为：8，；（2）由（1）知，又∵，，，的小数部分；，即，∵1的平方根是1和，或，故可得或．3．（2425七年级下·广东中山·期中）下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，又如：．．的整数部分为2，小数部分为．任务：(1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________；(2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根．【答案】(1)6，(2)【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查了估算无理数的大小．（1）先估算出的范围，即可得出答案；（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可．【详解】（1）解∶∵，∴，即，∴的整数部分是6，小数部分是，故答案为∶6，；（2）解：∵，∴，即，∴，即∵，其中x是整数，且，∴，，∴，∴的平方根是．4．（2425七年级下·吉林·期中）【阅读材料】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分．解答下列问题，(1)的整数部分是____，小数部分是___；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；(3)已知，其中是整数，且，直接写出的相反数．【答案】(1)5；(2)2(3)【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的混合运算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．（1）根据无理数的估算可得，结合题意即可求解；（2）根据无理数的估算可得，，结合题意得到的值，即可求解；（3）根据无理数的估算可得，结合题意得到，，再计算的相反数，即可求解．【详解】（1）解：，，的整数部分是5，小数部分是，故答案为：5；．（2）解：，，的小数部分为，，，的整数部分为，．（3）解：，，，的整数部分是12，小数部分是，由题意得，，，，的相反数为．5．（2425八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；(2)已知：，其中x是整数，且，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键；（1）仿照材料求出，，再代入计算即可；（2）求出，，再代入计算即可．【详解】（1）解：，，，，，；；的值是；（2）解：，，，，，，的值为．6．（2425七年级下·陕西延安·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请根据上述材料解答：(1)已知的立方根是2，b是的整数部分，求的平方根；(2)已知，其中x是整数，且，请你求出的值．【答案】(1)(2)【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的平方根、求一个数的立方根、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了立方根的定义、无理数的估算、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）先根据立方根的定义求出，估算出得出，求出的值，再根据平方根的定义求解即可；（2）先求出，再求出，代入所求式子即可得解．【详解】（1）解：∵的立方根是2，∴，解得，∵，∴的整数部分是3，∴，∴，∵4的平方根为，∴的平方根为；（2）解：∵，其中x是整数，且，而，∴，∴，∴，∴，则的值为．7．（2425七年级下·山西朔州·期中）综合与探究下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法．如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解．∵，∴（依据）．∴．∴的整数部分是2，小数部分是．任务一：（1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________；（2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（3）直接比较和的大小；任务二：（4）设，a是整数，b满足，求的值．【答案】（1）越大；（2）5；（3）；（4）【知识点】无理数的大小估算、实数的混合运算【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算：（1）根据算术平方根的性质求解即可；（2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值；（3）仿照题干中的做法求出和的范围，即可求解；（4）求出的整数部分a和小数部分b，再代入求值．【详解】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大，故答案为：越大；（2）∵，∴，即，∴的整数部分为2，∴的小数部分，∵，∴，即，∴的整数部分，∴；（3）∵，∴，即，∴，即，∵，∴，即，∴；（4）∵，∴，即，∴，即，∵，a是整数，b满足，∴，，∴．8．（2425七年级下·安徽淮南·阶段练习）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定．例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为．(1)的整数部分是______；(2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值．【答案】(1)8；(2)或．【知识点】利用平方根解方程、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查了无理数的估算，利用平方根解方程．（1）估算出即可得解；（2）估算出得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴的整数部分是；（2）解：因为，所以，所以，所以的小数部分．因为，所以的小数部分，所以，即，因为1的平方根是1和，所以或，故可得或．9．（2425七年级下·辽宁大连·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．根据以上材料，请解答下列问题：(1)求整数部分和小数部分；(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根；(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为(2)1(3)【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的表示方法，首先估算这个无理数的大小，即它处在哪个连续的整数范围内，那么它的整数部分就是比它小的那个整数，小数部分就是用它减去它的整数部分．（1）根据材料提示，即，由此即可求解；（2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解；（3）根据材料提示可得，由此可得的值，代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为；（2）解：∵，即，∴，∵，即，∴，∴，∴其算术平方根为1；（3）解：∵的整数部分为，∴，∵是整数，，且，∴，∴，∴的相反数为．10．（2425七年级下·广东广州·期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题：(1)如果，其中是整数，且，那么_____，______；(2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小．【答案】(1)3，(2)，理由见解析【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题主要考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．（1）根据无理数的估算方法即可得到答案；（2）根据无理数的估算方法求出，计算即可．【详解】（1）解：，，，是整数，且，，，故答案为：3，；（2）解：，，为的整数部分，为的小数部分，，，，．11．（2425七年级下·安徽淮北·期中）对于任意实数，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：．(1)的立方根为________；(2)若关于的不等式组解集中恰有3个整数解，求的取值范围．【答案】(1)3；(2)．【知识点】求一个数的立方根、新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的立方根，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义计算出，再根据立方根的定义可得答案；（2）根据新定义可得，解不等式组得到，再由不等式组恰有3个整数解得到，解不等式组即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，∴的立方根为；（2）解：∵，∴根据题中的新定义化简得：，解得：，∵不等式组的解集中恰有个整数解，∴不等式组的整数解为，∴，解得：12．（2425七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：设，与是互质的两个整数，且，则，即①．因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数．设（是整数，且），则．所以②．所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数．【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数．【答案】(1)①；②(2)见解析【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三．（1）根据等式性质得出结论即可；（2）类比是无理数的证明进行证明即可．【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且，则即．因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数．设（n是整数，且），则．所以．所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以是无理数．（2）设，a与b是互质的两个整数，且，则，所以，∵a，b是整数且不为0，∴a为6的倍数．设（n是整数），∴，∴，∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，∴是无理数．13．（2425七年级下·山东临沂·阶段练习）定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：(1)的“共同体区间”为_____；(2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”．【答案】(1)；(2)．【知识点】有理数的乘方运算、估计算术平方根的取值范围、新定义下的实数运算【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键．（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；（2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解．【详解】（1）解：，的“共同体区间”是，故答案为：；（2）解：∵无理数的“共同体区间”为，，即，∴，的“共同体区间”为．14．（2425七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．【知识运用】(1)直接写出数对的开方对称数对_______；(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键．（）根据新定义运算解答即可求解；（）先得到，，再根据新定义即可求解；（）根据新定义，分两种情况解答即可求解；【详解】（1）解：，，∴数对的开方对称数对，；（2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”，∴，∵数对的一个开方对称数对是，∴，；（3）解：若，，则，，∴；若，，则，，∴；的值为或．15．（2425七年级下·福建福州·期中）【生活发现】（1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______．根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．【提出猜想】通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数．【数学证明】假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且），则，即．是整数且不为0，是2的倍数．设（是整数，且），则．．也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾．不是有理数．【类比迁移】（2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点；（3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．（1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解；（2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为；（3）依照例题求解即可．【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1，∴大正方形的面积之和为：2，∴大正方形的边长为；故答案为：；（2）如图，点即为所作；；（3）假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且），则，即．是整数且不为0，是10的倍数．设（是整数，且），则．．也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾．不是有理数．16．（2425七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：(1)的“共同体区间”为________；(2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；(3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”．【答案】(1)(2)(3)或【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数的大小估算、新定义下的实数运算【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点．（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；（2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解；（3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解．【详解】（1）解：∵，∴的“共同体区间”是，故答案为：；（2）解：∵无理数的“共同体区间”为，∴，即，∴，即，∴，∴的“共同体区间”为；（3）解：∵整数，满足关系式：，∴或，解得或或，分以下三种情况：当，时，，∵，∴的“共同体区间”为；当，时，，∵，∴的“共同体区间”为；当，时，，∵，∴的“共同体区间”为；综上，的“共同体区间”为或．17．（2425七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．(1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值．(3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或．【知识点】算术平方根的实际应用【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键．（1）根据“理想点”的定义，计算即可判断；（2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解；（3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，又∵，∴点是“理想点”；∵，，又∵，∴点不是“理想点”；∵，，又∵，∴点是“理想点”；故答案为：和；（2）解：∵点是“理想点”，∴，∴，解得；（3）解：∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或，当时，，当时，．综上所述，的值为0或．18．（2425八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”．(1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；(2)若是“共生有理数对”，且，求的值；(3)若是“共生有理数对”，且，求的值．【答案】(1)不是，理由见详解(2)64(3)16【知识点】有理数的乘方运算、新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”；（2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值；（3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值；本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．【详解】（1）解：不是“共生有理数对”，理由：，，不是“共生有理数对”；（2）是“共生有理数对”，且，，解得，；（3）解：∵是“共生有理数对”，且，∴，∴，则．19．（2425七年级下·广东佛山·阶段练习）定义，如．已知，已知（为常数）(1)若，求的值；(2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；（2）根据新定义计算出A的展开结果，再根据的代数式中不含的一次项求出n的值，再求出A、B的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∵的代数式中不含的一次项，∴，∴，∵，∴，∵，，∴．20．（2425七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，．(1)解方程．(2)计算．【答案】(1)(2)【知识点】有理数乘方逆运算、求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则．（1）根据对数运算法则即可求解．（2）根据对数运算法则即可求解．【详解】（1）解：由得，，，．（2）解：．21．（2425七年级下·四川南充·阶段练习）【问题情景】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：；；；…【实践探究】(1)按照此规律，计算：__________．(2)计算：；【迁移应用】(3)若符合上述规律，请直接写出x的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】求一个数的算术平方根、数字类规律探索【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键．（1）根据所给算式总结规律计算即可；（2）利用题中所给规律可进行求解；（3）由题中所给规律可进行求解．【详解】（1）解：；；；…；∴，的正整数，∴．故答案为：；（2）解：；（3）解：∵符合，∴，∴，∴．22．（2425七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③(1)请写出第④个等式：_________；(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）(3)根据上述规律计算：【答案】(1)(2)(3)【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键．（1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可；（2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可；（3）根据（2）中规律化简即可．【详解】（1）解：∵①；②；③根据以上规律可得第④个等式是：．（2）解：根据以上规律可得第n个等式是：．（3）解：．23．（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空：(1)填表并观察规律：a4400(2)根据你发现的规律填空：已知：，则______；已知：，，则______；(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．【答案】(1)见解析(2)，68(3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位【知识点】与算术平方根有关的规律探索题【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；（2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得；（3）根据（1）解题过程找出规律即可．【详解】（1）解：∵，，，，∴，，，，填表如下：4400220（2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，∵，∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即；∵，，∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到，∴；故答案为：，68．（3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位．24．（2425七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式；(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）；(3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值．【答案】(1)(2)(3)2025【知识点】有理数加法运算律、与算术平方根有关的规律探索题、分式加减混合运算【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．（1）根据题中所给信息可判结果；（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；（3）根据规律将原式进行正确变形求解．【详解】（1）解：∵第一个等式；第二个等式；第三个等式，∴根据规律可猜测第六个等式为．（2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为．（3）解：根据规律可化简．25．（2425七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数)(3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数）【答案】(1)80，4(2)，(3)【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键．（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．（2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解．（3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：80，4；（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵，∴，；（3）解：根据平方根的变化规律得：∵，∴又，∴，从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵∴，∴．26．（2425七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④．根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________；(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立；(3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值；(4)若与的值互为相反数，且，求a的值．【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3)；(4)．【知识点】利用平方根解方程、与实数运算相关的规律题【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义．（1）观察规律，写出一个类似的等式即可；（2）用含、的式子表达规律即可得答案；（3）根据相反数的定义列方程求出的值．（4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案．【详解】（1）解：（答案不唯一）；（2）解：当时，则，反之也成立；（3）解：∵与的值互为相反数，则，解得．（4）解：与的值互为相反数，，，，，，．27．（2425八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践【思考尝试】先观察下列等式，再回答下列问题：①；②；③．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；【实践探究】（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）；【拓展延伸】