度江苏省高一下学期《平面向量》专题期末综合复习（学生版）

20242025学年度江苏省高一下学期《平面向量》专题期末综合复习一、考点概述1、向量的基本概念：包括向量的定义、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等。2、向量的线性运算：加法、减法、数乘运算，以及它们的几何意义和运算律。3、向量的数量积：定义、几何意义、运算律，以及数量积与向量夹角、模的关系。4、向量的坐标表示：向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标表示，向量模的坐标公式。5、向量的应用：用向量解决平面几何问题、物理问题等。二、易错点分析1、概念理解错误：如对零向量的方向、单位向量的模等概念模糊。零向量方向是任意的，单位向量模长为1。2、运算错误：向量运算律的错误应用，例如向量乘法不满足结合律。在进行向量线性运算和数量积运算时，易出现符号、系数等计算错误。3、夹角问题：求向量夹角时，要注意向量的方向，夹角范围是[0,\pi]。若两向量起点不同，需平移至同起点再求夹角。4、忽略特殊情况：在讨论向量平行或垂直问题时，要考虑零向量的特殊情况。零向量与任意向量平行。三、二级结论总结1.极化恒等式平行四边形模式：＝证明：不妨设，则，①②上面两式相减，得：＝————极化恒等式2.极化恒等式之矩形大法如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：=1\*GB3①；=2\*GB3②证明：=1\*GB3①连接PO，根据极化恒等式a2+b2=2a+b=2\*GB3②根据极化恒等式a⋅b=a+b23、鸡爪定理已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的鸡爪定理．【证明】先证充分性．若，则，，即，，故M，P，N三点共线．再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得，即，，故．综上知，结论成立．4.等和线定理平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量，＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比5、三角形“四心”的向量表示（1）三角形四“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤的内心6.奔驰定理奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则.奔驰定理推论：x∙OA=1\*GB3①S∆BOC:S=2\*GB3②S∆BOCS∆ABC=xx+y+z，S四、解题策略1、向量运算问题：可根据向量的运算法则，将向量用已知向量表示，再进行运算。若已知向量坐标，可直接利用坐标运算求解。2、向量夹角与模的问题：求夹角可利用公式及向量平行与垂直问题：3、向量应用问题：解决平面几何问题时，先将几何问题中的线段转化为向量，再利用向量的运算和性质求解；解决物理问题时，要明确向量在物理中的实际意义，如力、速度、位移等都是向量，根据物理情境建立向量模型求解。考点一：向量的线性运算例1、如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（

）A． B． C． D．1考点二：向量的数乘运算例2、已知所在平面内一点满足，则．变式：已知与为非零向量，，若三点共线，则.考点三：三点共线定理（鸡爪定理）的应用例3、如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）(1)证明：为定值；(2)求的最小值，并求此时的，的值.考点四：向量的数量积运算例4、设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．变式1、已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（

）A． B． C． D．1变式2、向量，满足，，向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．考点五：向量的模、向量的夹角例5、已知平面向量，且.(1)求与的夹角的值；(2)当取得最小值时，求实数的值.考点六：向量的投影、投影向量．例6、已知向量满足.(1)若向量的夹角为，求的值；(2)若，求的值；(3)若，求在方向上的投影向量.考点七：极化恒等式的应用例7、．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）

A． B． C． D．变式、在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）A． B． C． D．考点八：三角形四心在向量中的应用例8、已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（

）A．若，则点是的重心B．若点是的外心，则C．若，则点是的垂心D．若点是的垂心，则考点九：奔驰定理在向量中的应用例9、所在平面上一点满足为常数，若的面积为6，则的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．24变式、设M为内一点，且，则与的面积之比为（）A． B． C． D．考点十：平面向量范围与最值问题例10、如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．(1)若，求证：三点共线；(2)若，求的最小值．变式、在中，为的中点，在边上，交于，且，设．(1)用表示；(2)，求；(3)若在上，且设，若，求的范围．一、单选题1．（2324高一下·江苏常州·期末）已知△ABC的顶点，，，则（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·江苏南通·期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·江苏盐城·期末）已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2324高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2324高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，，()，若与共线，则应满足（

）A． B． C． D．6．（2324高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（

）A．3 B． C．4 D．127．（2324高一下·江苏徐州·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（

）A． B． C． D．8．（2324高一下·江苏无锡·期末）设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．则上述说法正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（2324高一下·江苏南京·期末）已知向量，，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．与一定不是平行向量C．的最大值为D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为10．（2324高一下·江苏淮安·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（

）

A． B．C．为等腰三角形 D．11．（2324高一下·江苏无锡·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（

）A．正三角形的费马点是正三角形的中心B．若P为的费马点,且，则一定为正三角形C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点P为的费马点，则三、填空题12．（2324高一下·江苏常州·期末）已知，，且，则实数．13．（2324高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则.14．（2324高一下·江苏盐城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为.四、解答题15．（2324高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点．(1)若四边形是平行四边形，求点的坐标；(2)求的取值范围．16．（2324高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为.(1)若与共线，求实数的值；(2)求的值；(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17．（2324高一下·江苏无锡·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.

(1)若，求，的夹角的余弦值；(2)求的取值范围.18．（2324高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记.(1)若，求线段EF的长；(2)若