专题20立体图形圆柱和圆锥的表面积与体积-2024年小升初数学典型例题-1

休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。—北宋·苏轼《望江南·超然台作》2024年小升初数学典型例题系列专题20：立体图形·圆柱和圆锥的表面积与体积【十三大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是专题20：立体图形·圆柱和圆锥的表面积与体积。本部分内容包括圆柱、圆锥的表面积和体积的基本计算、常规应用等，内容综合性较强，计算偏多，难度较大，建议作为小升初复习重点内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。【第二篇】目录导航篇TOC\o"11"\h\u【考点一】圆柱的表面积 4【考点二】圆柱的四种旋转构成法 7【考点三】圆柱的表面积增减变化问题（切拼问题） 10【考点四】正方体与最大圆柱体的表面积 14【考点五】圆柱的体积和容积 15【考点六】圆柱的倍比问题 20【考点七】长方体和正方体与最大圆柱 21【考点八】圆锥的旋转构成法 23【考点九】圆锥的切面积 27【考点十】圆锥的体积和容积 30【考点十一】圆柱和圆锥的关系问题 33【考点十二】等积变形问题 37【考点十三】排水法求不规则物体的体积 43【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】圆柱的表面积。【方法点拨】圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底。【典型例题】1．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.5米，直径是1.2米。每分钟转10圈，这台压路机1小时可以压路多少平方米？【答案】3391.2平方米【分析】压路机的前轮滚动一周，前进的距离就是圆的周长，根据C＝πd，求出圆的周长，再乘10就是每分钟前轮转10圈前进的距离。求压路机的压路面积，就是求圆柱的侧面积，根据S侧＝Ch，先求出每分钟压路的面积，再乘60分钟，即是这台压路机1小时的压路面积。【详解】1小时＝60分钟每分钟前进的距离：3.14×1.2×10＝3.768×10＝37.68（米）每分钟压路面积：37.68×1.5＝56.52（平方米）1小时压路面积：56.52×60＝3391.2（平方米）答：这台压路机1小时可以压路3391.2平方米。【点睛】本题考查圆的周长、圆柱的侧面积公式的运用，理解压路机前轮转一圈前进的距离就是圆的周长，求压路的面积就是求圆柱的侧面积。2．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高50厘米，底面直径40厘米，做这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？【答案】7536平方厘米【分析】已知圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和底面；求做这个水桶需要铁皮的面积，就是求圆柱的侧面积与一个底面积之和，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。【详解】3.14×40×50＋3.14×（40÷2）2＝3.14×2000＋3.14×400＝6280＋1256＝7536（平方厘米）答：做这个水桶至少需要7536平方厘米的铁皮。【点睛】本题考查圆柱表面积公式的灵活运用，理解圆柱形的无盖铁皮水桶是一个少了上底面的圆柱体，计算无盖圆柱体的表面积时只需计算侧面积与一个底面积之和。【对应练习1】一个圆柱形饮料罐的底面直径为5厘米，高为14厘米，制作一个饮料罐至少需要多少铁皮？（得数保留整数）【答案】260平方厘米【分析】已知圆柱的底面半径为（5÷2）厘米，高为14厘米，根据圆柱的表面积公式：S＝，代入数据即可求出制作一个饮料罐需要的铁皮面积，对于结果，采取“进一法”保留整数。【详解】＝＝＝＝259.05（平方厘米）≈260（平方厘米）答：制作一个饮料罐至少需要260平方厘米的铁皮。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱的表面积公式求解。【对应练习2】一个圆柱形蓄水池，底面直径是8米，高是4米，将这个蓄水池的底部及四周抹上水泥。如果每平方米要用18千克水泥，一共要用多少千克水泥？【答案】2712.96千克【分析】用于水池无盖，所以抹水泥部分的面积是这个圆柱的一个底面和侧面，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝Ch，将数据代入公式求出抹水泥部分的面积，然后用抹水泥的面积乘每平方米用水泥的质量即可。【详解】8÷2＝4（厘米）3.14×42＋3.14×8×4＝3.14×16＋25.12×4＝50.24＋100.48＝150.72（平方米）150.72×18＝2712.96（千克）答：一共要用2712.96千克水泥。【对应练习3】幸福幼儿园为小朋友们新进了一批高是2分米的圆柱形儿童坐凳，底面周长是62.8厘米，现要给儿童坐凳的侧面和上面贴上一层卡通贴纸，如果每平方米贴纸的价格是5元，那么80个儿童坐凳大约需要多少钱的贴纸？（结果保留整数）【答案】63元【分析】根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出儿童坐凳的侧面卡通贴纸的面积，再根据圆的面积＝πr2，求出上面一层卡通贴纸的面积，两数相加，求出一个儿童坐凳需要贴纸的总面积，进而求出80个儿童坐凳需要的贴纸总面积，最后用总面积乘每平方米贴纸的价格即可解答，注意统一单位。【详解】2分米＝20厘米（62.8÷3.14÷2）2×3.14＋62.8×20＝（20÷2）2×3.14＋1256＝102×3.14＋1256＝100×3.14＋1256＝314＋1256＝1570（平方厘米）1570×80＝125600（平方厘米）125600平方厘米＝12.56平方米12.56×5≈63（元）答：那么80个儿童坐凳大约需要63元的贴纸。【考点二】圆柱的四种旋转构成法。【方法点拨】1.圆柱的旋转：一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。2.在旋转时，以谁为轴谁就是高，而另一条边就是底面半径。第一种旋转方法：以宽为轴进行旋转。以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。第二种旋转方法：以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。第三种旋转方法：以两条长中点的连线为轴进行旋转。以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。第四种旋转方法：以两条宽中点的连线为轴进行旋转。以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。【典型例题1】旋转法其一。把长为4，宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π）解析：以长为轴，32×2×π+2π×3×4=42π以宽为轴，42×2×π+2π×4×3=56π【典型例题2】旋转法其二。正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？解析：按如图方式旋转，底面圆的半径是2厘米，圆柱的高是4厘米。S底=3.14×22=12.56（cm2）S侧=2×3.14×2×4=50.24（cm2）S表=2S底+S侧=12.56×2+50.24=75.36（cm2）答：表面积是75.36cm2。【典型例题3】旋转法其三。请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。解析：S底：3.14×52=78.5（平方厘米）2S底：78.5×2=157（平方厘米）S侧：3.14×5×2×15=471（平方厘米）S表：157+471=628（平方厘米）答：表面积是628平方厘米。【对应练习1】一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米。以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆柱表面积是多少平方厘米？解析：3.14×2×2＋3.14×2×2×5＝25.12＋62.8＝87.92（平方厘米）答：得到的圆柱表面积是87.92平方厘米。【对应练习2】下图是一张长方形纸，长，宽。如果以长边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆柱，那么圆柱的表面积是多少平方厘米？解析：3.14×102×2＋3.14×10×2×12＝3.14×200＋3.14×240＝3.14×440＝1381.6（平方厘米）答：圆柱的表面积是1381.6平方厘米。【对应练习3】以如图长方形的长为轴旋转一周，得到一个什么立体图形，它的表面积是多少？解析：以一个长和宽分别为8cm和5cm的长方形的长为轴旋转一周得到的图形是一个高为8cm，底面半径为5cm的圆柱。2×3.14×52+2×3.14×5×8＝157+251.2＝408.2（cm2）答：得到一个圆柱体，它的表面积是408.2cm2。【考点三】圆柱的表面积增减变化问题（切拼问题）。【方法点拨】1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。2.圆柱中横切引起的表面积变化。横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。3.圆柱中竖切引起的表面积变化。竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。4.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。【典型例题1】高的变化。一个底面周长和高相等的圆柱体，如果高降低1厘米，它的表面积就减少6.28平方厘米，这个圆柱的底面积是多少平方厘米？解析：底面半径：6.28÷1÷3.14÷2＝6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（厘米）底面积：3.14×1×1＝3.14（平方厘米）答：圆柱的底面积是3.14平方厘米。【对应练习1】一个圆柱高8厘米，截下2厘米长的一段小圆柱后，圆柱的表面积减少了25.12平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？解析：圆柱的底面半径为：25.12÷2÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（厘米）原来圆柱的表面积为：2×3.14×2×8＋2×3.14×2＝100.48＋25.12＝125.6（平方厘米）答：原来圆柱的表面积是125.6平方厘米。【对应练习2】一根圆柱形木料，长8米，高减少2厘米，表面积减少18.84平方厘米，这根木料的体积是多少？解析：18.84÷2＝9.42（厘米）9.42÷2÷3.14＝1.5（厘米）8米＝800厘米3.14×1.52×800＝3.14×2.25×800＝5652（立方厘米）答：这根木料的体积是5652立方厘米。【典型例题2】横切的变化。把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？解析：底面圆的周长：18.84÷1＝18.84（米）底面圆的半径：18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（米）增加的面积：3.14×32×2＝28.26×2＝56.52（平方米）答：这时它的表面积增加了56.52平方米。【对应练习1】把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？解析：底面圆的周长：18.84÷1=18.84（米）底面圆的半径：18.84÷3.14÷2=3（米）增加的面积：3.14×32×2=56.52（平方米）答：增加了56.52平方米。【对应练习2】把一根2米长的圆柱体钢材从中间截成两段后，表面积增加了0.6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这根钢材重多少千克？解析：2米＝20分米0.6÷2×20×7.8＝0.3×20×7.8＝6×7.8＝46.8（千克）答：这根钢材重46.8千克。【典型例题3】竖切的变化。一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了24cm2，且剖开面为正方形。求这个圆柱体的表面积。（π取3）解析：dh＝24÷2＝12（cm2）r2＝××12＝3（cm2）S＝2πr2＋πdh＝2×3×3＋3×12＝18＋36＝54（cm2）答：求这个圆柱体的表面积是54cm2。【对应练习1】一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面积增加了多少？解析：50.24÷3.14＝16（厘米）16×9×2＝288（平方厘米）答：表面积增加了288平方厘米。【对应练习2】把一个圆柱形木块按两种方式锯开。如果沿底面直径纵向锯成4块（下图左），表面积会增加192平方厘米；如果横向锯两次形成3个小圆柱（下图右），表面积会增加50.24平方厘米，原来这个圆柱形木块的体积是多少立方厘米呢？解析：50.24÷4＝12.56（平方厘米）12.56÷3.14＝4，22＝4，所以这个圆柱的底面半径是2厘米192÷8÷2＝24÷2＝12（厘米）3.14×22×12＝12.56×12＝150.72（立方厘米）答：原来这个圆柱形木块的体积是150.72立方厘米。【考点四】正方体与最大圆柱体的表面积。【方法点拨】如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。【典型例题】有块正方体的木料，它的棱长是10分米。把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方分米？解析：2×3.14×（10÷2）2＋3.14×10×10＝2×3.14×25＋3.14×10×10＝3.14×（2×25＋10×10）＝3.14×（50＋100）＝3.14×150＝471（平方分米）答：这个圆柱的表面积是471平方分米。【对应练习1】如果把棱长是2分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？解析：3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2×2＝12.56＋6.28＝18.84（平方分米）答：这个圆柱的表面积是18.84平方分米。【对应练习2】把一个棱长4cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？解析：4÷2＝2（厘米）S圆柱＝πr2×2＋πdh＝3.14×22×2＋3.14×4×4＝3.14×8＋3.14×16＝3.14×24＝75.36（平方厘米）答：这个圆柱表面积是75.36平方厘米。【考点五】圆柱的体积和容积。【方法点拨】1.意义：一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。2.计算公式：如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。3.体积及容积单位进率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。注意：体积和容积单位常常是体积问题中的常考点和易错点，熟练掌握体积容积单位进率与换算方法是其关键。【典型例题】1．如图，某生产商生产一种饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从外面量得易拉罐的底面直径是6厘米，高是12厘米。请问该生产商是否存在虚假宣传？说说你的理由。【答案】存在虚假宣传，理由见详解【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh＝πr2h，计算出易拉罐的体积，再转化成容积，最后再与350毫升比较大小，即可得出答案。【详解】3.14×（6÷2）2×12＝3.14×32×12＝3.14×9×12＝28.26×12＝339.12（立方厘米）339.12立方厘米＝339.12毫升339.12＜350，所以该生产商存在虚假宣传。2．一种无盖的圆柱形铁皮水箱，从里面量，底面直径4米，深3米，做这样一个水箱至少需要多少平方米的铁皮？这个水箱最多可以装水多少吨？（每立方米的水重1吨）【答案】50.24平方米；37.68吨【分析】求做这样一个水箱至少需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形铁皮水箱的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答；先根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出这样圆柱形铁皮水箱的体积，再乘1，即可解答。【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×3＝3.14×22＋12.56×3＝3.14×4＋37.68＝12.56＋37.68＝50.24（平方米）3.14×（4÷2）2×3×1＝3.14×22×3×1＝3.14×4×3×1＝12.56×3×1＝37.68×1＝37.68（吨）答：做这样一个水箱至少需要50.24平方米的铁皮，这个水箱最多可以装水37.68吨。【对应练习1】一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面直径4分米，高5分米。（1）做这个水桶需要铁皮多少平方分米？（2）如果每升水重1千克，这个水桶能装水多少千克？【答案】（1）75.36平方分米（2）62.8千克【分析】（1）求需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形铁皮水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答；（2）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出水桶的体积，再化成升，再乘1，即可解答。【详解】（1）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5＝3.14×22＋12.56×5＝3.14×4＋62.8＝12.56＋62.8＝75.36（平方分米）答：做这个水桶需要铁皮75.36平方分米。（2）3.14×（4÷2）2×5＝3.14×22×5＝3.14×4×5＝12.56×5＝62.8（立方分米）62.8立方分米＝62.8升62.8×1＝62.8（千克）答：这个水桶能装水62.8千克。【对应练习2】网红食品“爆浆蛋糕”也可以叫做“泥石流蛋糕”，蛋糕上面部分是一层厚厚的奶油，揭开包装之后奶油滑落，覆盖整个蛋糕。一个圆柱形“爆浆蛋糕”的底面直径是10厘米，其中面包层厚6厘米，奶油层厚4厘米。（1）1毫升奶油约重0.8克，制作这样一个“爆浆蛋糕”需要多少克奶油？（2）揭开外包装后，被奶油覆盖的面包的面积是多少平方厘米？【答案】（1）251.2克（2）266.9平方厘米【分析】（1）奶油层厚相当于圆柱的高，根据圆柱体积公式，底面积×奶油层厚度＝奶油体积，奶油体积×1毫升奶油重量＝需要的奶油质量。（2）被奶油覆盖的部分包括面包上面和侧面，被奶油覆盖的面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。【详解】（1）3.14×（10÷2）2×4＝3.14×52×4＝3.14×25×4＝314（立方厘米）＝314（毫升）314×0.8＝251.2（克）答：制作这样一个“爆浆蛋糕”需要251.2克奶油。（2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×6＝3.14×52＋188.4＝3.14×25＋188.4＝78.5＋188.4＝266.9（平方厘米）答：被奶油覆盖的面包的面积是266.9平方厘米。【对应练习3】一个圆柱形无盖水桶，高是48厘米，底面直径是30厘米。问：（1）做这个水桶至少需要用铁皮多少平方厘米？（得数保留整百平方厘米）（2）如果铁皮的厚度忽略不计，1升水重1千克，这个水桶大约能装水多少千克？（得数保留一位小数）【答案】（1）5200平方厘米（2）33.9千克【分析】（1）做一个无盖圆水桶，是一个底面直径30厘米，高48厘米的圆柱，无盖水桶表面积＝，得到的结果四舍五入得出整百数答案；（2）先根据圆柱体积（容积）＝，可计算得出容积，1升＝1000毫升＝1000立方厘米，可求出水桶能装水的升数，再乘1千克得出答案。【详解】（1）做这个水桶需要铁皮面积为：（平方厘米）≈5200平方厘米答：做这个水桶至少需要用铁皮5200平方厘米。（2）水桶容积为：（立方厘米）＝33912毫升＝33.912升能装水：（千克）答：这个水桶大约能装水33.9千克。【考点六】圆柱的倍比问题。【方法点拨】一、关于比的关系。1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。二、关于倍数的关系。1.圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即：2.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）；3.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。【典型例题1】已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是()。解析：1∶2【典型例题2】已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是()。解析：2∶3。【典型例题3】两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少?解析：1:6。【典型例题4】一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大()倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大()倍。【答案】39【分析】根据圆柱体积=，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大倍。【典型例题5】圆柱的高不变，底面半径缩小为原来的，圆柱的体积()。A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变【答案】B【分析】设圆柱的半径为1，高为1，由此利用圆柱的体积公式分别求出扩大前后的体积进行比较即可选择。【详解】设圆柱的半径为1，高为1，则圆柱的体积为：π×12×1＝π；若半径缩小为原来的，则圆柱的体积为：；，所以它的体积是缩小为原来的，故答案为：B【点睛】此题考查了圆柱的体积公式的灵活应用，熟记公式是解题的关键。【考点七】长方体和正方体与最大圆柱。【方法点拨】1.在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。2.把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。【典型例题1】问题一。一根长方体的方木，横截面是边长为6分米的正方形，长是10分米。把这根木料加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？（取3.14）解析：半径：6÷2＝3（分米）3.14×32×10＝28.26×10＝282.6（立方分米）答：圆柱的体积是282.6立方分米。【对应练习】把一个长4dm、宽2.5dm、高3dm的长方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？解析：2.5÷2＝1.25（分米）3.14×1.25×4＝19.625（立方分米）答：这个圆柱的体积是19.625立方分米。【典型例题2】问题二。为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？代入数据计算即可。解析：3.14×2×8＝3.14×16×8＝401.92（dm3）答：这个圆柱的体积是401.92dm3。【对应练习】有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体积比原来正方体体积少了百分之几？解析：V正方体＝4×4×4＝16×4＝64（立方分米）V圆柱＝3.14×（4÷2）2×4＝3.14×4×4＝50.24（立方分米）（64－50.24）÷64＝13.76÷64＝0.215＝21.5%答：这个圆柱体积比原来正方体体积少了21.5%。【考点八】圆锥的旋转构成法。【方法点拨】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题1】其一。下图的下边为轴，旋转一周，形成的图形是()，新图形的体积是()。【答案】圆锥18.84cm3/18.84立方厘米【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。下边为轴，圆锥的底面半径3cm，高2cm，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。【详解】3.14×32×2÷3＝3.14×9×2÷3＝18.84（cm3）形成的图形是圆锥，新图形的体积是18.84cm3。【对应练习】一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个()体，它的体积是()立方厘米。【答案】圆锥188.4【分析】由题意可知，以直角三角形较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个底面半径为6厘米，高为5厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。【详解】一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱体；×3.14×62×5＝×3.14×36×5＝×36×3.14×5＝12×3.14×5＝37.68×5＝188.4（立方厘米）则它的体积是188.4立方厘米。【典型例题2】其二。以下面直角三角形的直角边为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（单位cm）【答案】圆锥体；50.24立方厘米【分析】把这个直角三角形沿直角边旋转一周，得到的是一个底面半径是4厘米、高3厘米或底面半径3厘米、高4厘米的圆锥体，【详解】体积是：3.14××3×＝50.24（立方厘米）或3.14××4×＝37.68（立方厘米）答：旋转后得到的是圆锥体，体积最大是50.24立方厘米。【对应练习】以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？【答案】18.84立方厘米【分析】如果以三角形3厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米；如果以三角形的2厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是3厘米，高是2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【详解】×3.14×22×3＝3.14×4＝12.56（立方厘米）×3.14×32×2＝3.14×6＝18.84（立方厘米）18.84＞12.56答：这个立体图形的最大体积是18.84立方厘米。【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典型例题3】其三。下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？【答案】301.44立方厘米【分析】观察图形可知，旋转体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；其中圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米；圆锥的底面半径是4厘米，高是（10－4）厘米；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱的体积、圆锥的体积，再相加即可。【详解】圆柱的体积：3.14×42×4＝3.14×16×4＝200.96（立方厘米）圆锥的体积：×3.14×42×（10－4）＝×3.14×16×6＝100.48（立方厘米）旋转体的体积：200.96＋100.48＝301.44（立方厘米）答：它的体积是301.44立方厘米。【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积公式的运用，结合图形，分析出这个旋转体是是由哪些立体图形相加或相减得到，再根据图形的体积公式列式计算。【对应练习】如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米）【答案】141.3立方厘米【分析】以CD边所在的直线为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为6厘米、底面半径为3厘米的圆柱里面挖去一个高为（6－3）厘米、底面半径为3厘米的圆锥；根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，分别计算出圆柱和圆锥的体积，然后相减，即可求出这个立体图形的体积。【详解】圆柱的体积：3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米）圆锥的体积：×3.14×32×（6－3）＝×3.14×9×3＝3.14×9＝28.26（立方厘米）立体图形的体积：169.56－28.26＝141.3（立方厘米）答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米。【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，关键是明白直角梯形绕CD边旋转一周，得到图形的体积是圆柱的体积减圆锥的体积。【考点九】圆锥的切面积。【方法点拨】将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。【典型例题】一个圆锥的底面直径是6cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是()cm3。【答案】75.36【分析】由题意可知，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来增加了两个三角形的面积，该三角形的底相当于圆锥的直径，三角形的高相当于圆锥的高，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。【详解】48÷2×2÷6＝24×2÷6＝48÷6＝8（cm）×3.14×（6÷2）2×8＝×3.14×9×8＝×9×3.14×8＝3×3.14×8＝9.42×8＝75.36（cm3）则这个圆锥的体积是75.36cm3。【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的高是解题的关键。【对应练习1】一个圆柱的高是9cm，如果把它横切成两个同样的小圆柱，那么它的表面积会增加180cm2。如果把它削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是()。【答案】270立方厘米/270cm3【分析】把一段圆柱形木料截成两个小圆柱体，表面积增加180平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出这个圆柱的体积；如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底面积等高；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此求出这个圆锥的体积。【详解】圆柱的底面积：180÷2＝90（cm2）圆柱的体积：90×9＝810（cm3）圆锥的体积：810×＝270（cm3）这个圆锥的体积是270cm3。【点睛】掌握圆柱切割的特点以及等底等高圆柱和圆锥的体积之间的关系，明确把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是2个圆柱的底面积。【对应练习2】把一个底面半径是5厘米的圆锥体木块，从顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，这时表面积增加120平方厘米，求这个圆锥体木块的体积是()立方厘米。【答案】314【分析】根据题意，从圆锥的顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形；先用增加的表面积除以2，求出一个切面（三角形）的面积，然后根据三角形的高＝面积×2÷底，即可求出圆锥的高；最后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆锥体木块的体积。【详解】120÷2＝60（平方厘米）60×2÷（5×2）＝120÷10＝12（厘米）×3.14×52×12＝×3.14×25×12＝3.14×100＝314（立方厘米）【点睛】本题考查三角形面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是求出圆锥的高。【对应练习3】一个底面直径是6cm的圆锥，沿着高方向切成2个半圆锥，表面积增加了48cm²，圆锥的高是()cm，圆锥的体积为()。【答案】875.36【分析】由题干可知，把圆锥沿高切开，切面是三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，则h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式进而求出圆锥的体积。【详解】48÷2＝24（平方厘米）24×2÷6＝48÷6＝8（厘米）3.14×（6÷2）²×8÷3＝226.08÷3＝75.36（立方厘米）【点睛】此题考查的是三角形面积的计算，圆锥的体积公式的应用，熟记公式是解题关键。【考点十】圆锥的体积和容积。【方法点拨】1.圆锥的体积：如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底面半径，则圆锥的体积计算公式用字母表示为V=sh或V=πr2h。2.根据圆锥的体积计算公式：V=sh或V=πr2h，反求高或底面积，即h=V×3÷S，S=V×3÷h。【典型例题】一个圆锥形麦堆，底面周长18.84米，高2.7米，每立方米小麦约重700千克。这堆小麦大约重多少千克？【答案】17803.8千克【分析】已知圆锥形麦堆的底面周长是18.84米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆小麦的体积，再乘每立方米小麦的重量，即可求出这堆小麦的总重量。【详解】圆锥形麦堆的底面半径：18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（米）圆锥形麦堆的体积：×3.14×32×2.7＝×3.14×9×2.7＝25.434（立方米）这堆小麦的总重量：700×25..434＝17803.8（千克）答：这堆小麦大约重17803.8千克。【对应练习1】芒种是二十四节气中的第9个节气，芒种时节是小麦等农作物成熟和耕种的最忙季节。农场晒谷场上堆了一个圆锥形麦堆，麦堆的底面周长是12.56米，高是1.5米，每立方米小麦约重700千克。如果小麦的出粉率是，那么这堆小麦大约可磨出面粉多少千克？【答案】3516.8千克【分析】根据圆的周长半径求出半径，再根据圆锥体积底面积高求出圆锥体积，再乘700求出小麦的重量，最后乘即可求出面粉的重量。【详解】（米（千克）答：这堆小麦大约可磨出面粉3516.8千克。【对应练习2】一个圆锥形的沙堆，底面积是18平方米，高0.5米。如果每立方米沙重1.6吨，这堆沙重多少吨？【答案】4.8吨【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，再乘1.6，即可解答。【详解】18×0.5××1.6＝9××1.6＝3×1.6＝4.8（吨）答：这堆沙重4.8吨。【对应练习3】一个圆锥形的钢制零件，底面直径是6厘米，高5厘米。如果每立方厘米钢重7.8克，这个零件约重多少克？【答案】367.38克【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形的钢制零件的体积，再乘7.8，即可解答。【详解】3.14×（6÷2）2×5××7.8＝3.14×32×5××7.8＝3.14×9×5××7.8＝28.26×5××7.8＝141.3××7.8＝47.1×7.8＝367.38（克）答：这个零件约重367.38克。【考点十一】圆柱和圆锥的关系问题。【方法点拨】底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。【典型例题1】其一。1．一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？【答案】25.12立方分米【分析】已知圆柱的底面直径是4分米，高为6分米，若把它削成一个最大的圆锥体，则削成的圆锥和圆柱的底面直径以及高都相等，根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体积的三分之一，因此，求出圆柱的体积除以3即可。【详解】3.14×（4÷2）2×6÷3＝3.14×24÷3＝3.14×8＝25.12（立方分米）答：圆锥的体积是25.12立方分米。【点睛】此题的知识点是：圆锥和圆柱的关系，根据圆柱的底面直径和高，依次求圆柱的底面面积和体积。2．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？【答案】9.42平方厘米【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：等底等高时：V圆柱＝3V圆锥等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱【详解】28.26÷3＝9.42（平方厘米）答：圆柱的底面积是9.42平方厘米。3．把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？【答案】54厘米【分析】根据题意可知，把一个圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，由圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。【详解】18×3＝54（厘米）答：圆锥的高是54厘米。【点睛】掌握等体积等底的圆柱和圆锥的高之间的关系是解题的关键。【对应练习】一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。（1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？（2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？【答案】（1）94.2平方分米（2）47.1立方分米【分析】（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此求出需要涂出的面积；（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，先求出圆柱的体积，再求出圆锥的体积即可。【详解】（1）（平方分米）答：需要涂94.2平方分米。（2）（立方分米）答：圆锥体积是47.1立方分米。【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积、圆锥的体积，解答本题的关键是熟记侧面积和体积计算公式。【典型例题2】其二。等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是()立方分米，圆柱的体积()立方分米。【答案】19.558.5【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据和倍问题解题方法，体积和÷（倍数＋1）＝圆锥体积，体积和－圆锥体积＝圆柱体积，据此列式计算。【详解】78÷（3＋1）＝78÷4＝19.5（立方分米）78－19.5＝58.5（立方分米）圆锥的体积是19.5立方分米，圆柱的体积58.5立方分米。【对应练习】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和68dm3，圆柱体积是()dm3。【答案】51【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积和÷（3＋1）＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。【详解】68÷（3＋1）×3＝68÷4×3＝51（dm3）圆柱体积是51dm3。【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体之间的关系，掌握和倍问题的解题方法。【典型例题3】其三。一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是()cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是()cm。【答案】248【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的（3－1）倍，即用圆柱比圆锥体积大的部分除以（3－1）即可求出圆锥体积；根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，代入公式求出圆锥的高即可。【详解】由分析可得：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，48÷（3－1）＝48÷2＝24（cm3）24÷÷9＝24×3÷9＝72÷9＝8（cm）综上所述：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是24cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是8cm。【对应练习】一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是()立方厘米。【答案】15【分析】圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，将圆锥的体积看成1份，那么等底等高的圆柱的体积就是3份，它们的体积相差3－1＝2份，用30÷2求出相差1份的体积是多少，也就是圆锥的体积。【详解】30÷（3－1）＝30÷2＝15（立方厘米）圆锥体的体积是15立方厘米。【点睛】熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解题的关键。【考点十二】等积变形问题。【方法点拨】等积变形问题的关键是找到体积不变量，再根据体积不变去解决问题。【典型例题1】熔铸问题。将下面的长方体铁块熔铸成一个圆柱，这个圆柱的高是多少分米？（单位：分米）解析：15.7×6×3÷[3.14×（12÷2）2]＝282.6÷[3.14×62]＝282.6÷[3.14×36]＝282.6÷113.04＝2.5（分米）答：这个圆柱的高是2.5分米。【对应练习1】把一块长方体钢坯铸造成一根直径为8分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。解析：31.4×5×4＝157×4＝628（立方分米）3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（立方分米）628÷50.24＝12.5（分米）答：钢材的长度是12.5分米。【对应练习2】将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？解析：5×5×5×3÷60=6.25（分米）【对应练习3】把一个底面周长是31.4分米，高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥体，圆锥的高是多少分米？【答案】18.75分米【分析】先利用圆的周长公式求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积V＝求出这个圆柱体铁块的体积，又因圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的，也就等于知道了圆锥的体积，从而利用圆锥的体积V＝，就能求出这个圆锥体的高。【详解】31.4÷2÷3.14＝5（分米）3.14×52×9＝3.14×25×9＝706.5（立方分米）706.5÷÷（3.14×62）＝706.5×3÷（3.14×36）＝2119.5÷113.04＝18.75（分米）答：圆锥的高是18.75分米。【点睛】此题主要是灵活利用圆柱与圆锥的体积公式解决问题，关键是明白：圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的。【典型例题2】倒水问题。甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）解析：10×10×6.28÷（3.14×52）＋2＝628÷（3.14×25）＋2＝628÷78.5＋2＝8＋2＝10（厘米）答：这时甲瓶的水深10厘米。【对应练习1】甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？解析：10×10×6.28＝100×6.28＝628（立方厘米）628÷（3.14×52）＝628÷78.5＝8（厘米）答：这时水深8厘米。【对应练习2】一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？解析：4×4×4×3÷12=16（dm）【典型例题3】拓展问题。一瓶装满的矿泉水，小强喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高12厘米，内直径是6厘米。小强喝了多少水？解析：3.14×（6