2025年山东省济南市育才中学中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年山东省济南市育才中学中考数学二模试卷一、选择题1．以下四个城市最高气温和最低气温差是多少度（）北京济南太原郑州0℃﹣1℃﹣2℃3℃A．3℃ B．4℃ C．5℃ D．﹣4℃2．5个相同正方体搭成的几何体主视图为（）A． B． C． D．3．2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（）A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×1084．将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BFA的度数为（）A．40° B．50° C．130° D．140°5．下列式子运算正确的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x46．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，标识等作品的设计上．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y18．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，BE＝3，则DE＝（）A．5 B． C． D．49．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，任意长为半径作弧，交AB于点F，分别以点F和点G为圆心，大于，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D，大于的长为半径作弧，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列结论：①；③∠AED＝∠ABC；④∠DEN＝54°中（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，就会得到的一个新的点A1（x，x+y），他们把这个点A1定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时（）A． B． C．0≤n＜1 D．0≤n≤1二、填空题11．方程的解为．12．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，甲、乙两人同时选择景点B的概率为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，分别以AC、BC为直径画半圆．（结果保留π）14．小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为米．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，CD＝4，P是边CD上一动点，将△OCP沿OP翻折得△OC′P，在C′D左侧有一点E，使得△C′DE为等腰直角三角形，连接CE．则CE的最小值为．三、解答题16．计算：．17．解不等式组，并写出它的最大整数解．18．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，AF＝CH．求证：EF＝GH．19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．（结果精确到1m）20．某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图），回答下列问题：（1）该校初三学生总数为人；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为、，并补全频数分布直方图；（3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是；（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是、；（5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？21．如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB（1）求证：EP是⊙O的切线；（2）若AP＝3，PD＝6，求OA及EF的长．22．春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种蔬菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，B两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A、点B图象交于点C（1，4）、点D（﹣4，n）；（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，当△ADP的面积为6时，y轴上有一点Q，求出这个最大值；（3）如图3，将△AOB沿着射线OC的方向平移个单位，y轴上有一点E，平面中有一点F，直接写出点F的坐标．24．综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°又∵∠B＝∠D，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是；【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ANM，连接BM、AD．小明发现，在旋转过程中，不会发生改变．①根据∠CDB＝45°，利用四点共圆的思想，试证明ND＝DB；②在（1）的条件下，当△BDM为直角三角形，直接写出BC的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（2，﹣3），与y轴交于点C，B两点（A在B的左侧），连接AC（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，点M是线段OB上一点（不与点B重合），在BQ的左侧作平行四边形BMNQ，PM．当线段PD的长度取得最大值时，求PM+PN的最小值；（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）沿着y轴翻折得到抛物线y'，y'与x轴交于E（E在F的左侧）．在（2）中线段PD的长度取得最大值时，使得，若存在；若不存在，请说明理由．

2025年山东省济南市育才中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBDDDDCCDD一、选择题1．以下四个城市最高气温和最低气温差是多少度（）北京济南太原郑州0℃﹣1℃﹣2℃3℃A．3℃ B．4℃ C．5℃ D．﹣4℃【解答】解：根据题意，得3＞0＞﹣2＞﹣2，则最高气温和最低气温差为：3﹣（﹣3）＝3+2＝3（℃）．故选：C．2．5个相同正方体搭成的几何体主视图为（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，共有三列、2、1．故选：B．3．2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（）A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×108【解答】解：201370000＝2.0137×108，故选：D．4．将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BFA的度数为（）A．40° B．50° C．130° D．140°【解答】解：∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA，∵∠CDE＝40°，∴∠CFA＝40°，∴∠BFA＝180°﹣∠CFA＝140°．故选：D．5．下列式子运算正确的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4【解答】解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；B．x7•x2＝x5，故本选项不符合题意；C．（x2）2＝x6，故本选项不符合题意；D．x8÷x2＝x4，故本选项符合题意；故选：D．6．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，标识等作品的设计上．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】A、该图是轴对称图形，故不符合题意；B、该图既不是轴对称图形，故不符合题意；C、该图不是中心对称图形，故不符合题意；D、该图既是轴对称图形，故符合题意．故选：D．7．在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：反比例函数k＞0，反比例函数图象分别位于第一，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣7＜0，2＞4，∴y3＞y1＞y2，故选：C．8．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，BE＝3，则DE＝（）A．5 B． C． D．4【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，∴EH＝AE﹣AH＝2﹣3＝1，∵四边形形EFGH是正方形，∴∠DHE＝90°，∴DE＝＝＝，故选：C．9．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，任意长为半径作弧，交AB于点F，分别以点F和点G为圆心，大于，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D，大于的长为半径作弧，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列结论：①；③∠AED＝∠ABC；④∠DEN＝54°中（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°．∴，由作图可知：，EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC，∴由平行先线的性质可知：∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC；∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∵∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，∴AD＝BD，∵∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴AD＝BD＝AE＝BC，∴△AED≌△BCD（SAS），故②正确；设ED＝x，BC＝a，则AD＝a，BE＝x，∴CD＝BE＝x，∵ED∥BC，∴，∴，∴x2+ax﹣a8＝0，将方程配方可得：，∴，∵x＞0，a＞0，∴，∴（负值舍去），即，故①正确；∵EB＝ED，∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝108°，∴，故④正确；故选：D．10．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，就会得到的一个新的点A1（x，x+y），他们把这个点A1定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时（）A． B． C．0≤n＜1 D．0≤n≤1【解答】解：根据题意可知，点B1（﹣1，7）是点B（x，∴，解得：，即B（﹣1，将点B（﹣3，2）代入抛物线解析式得：1﹣b+c＝3，∴抛物线的“简朴曲线”为：y＝x2+（c﹣1）x+c+x，即y＝x7+cx+c＝，由条件可知，将n看作c的函数，∵，∴c＝8时，n有最大值为1，当0≤c≤8时，c＝0，∴当8≤c≤3时，n的取值范围是0≤n≤7．故选：D．二、填空题11．方程的解为x＝﹣1．【解答】解：x+（5x+3）＝06x+3＝0x＝﹣6，经检验，x＝﹣1是原方程的解．12．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，甲、乙两人同时选择景点B的概率为．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲，∴甲、乙两人同时选择景点B的概率为．故答案为：．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，分别以AC、BC为直径画半圆10π﹣16．（结果保留π）【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S5、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S7+S5+S4+S7+S3+S4，△ABC的面积是S5+S4+S5，阴影部分的面积是：S6+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．∴，所以图中阴影部分的面积为10π﹣16．故答案为：10π﹣16．14．小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为240米．【解答】解：设开始小明和小亮的速度分别为：a、b，则小明加速后的速度为1.5a，两人第一次相遇的时间为60秒，故60（a+b）＝600①；在100秒后一段时间，小明和小亮的速度分别为：5.5a，b，说明此时的两人的速度相同，联立①②并解得：，即开始小明和小亮的速度分别为4米/秒和6米/秒；第一次相遇时，小明走的距离为2×60＝240（米），则小明到达B地的时间为60+＝120（秒），小明到达B地到第二次相遇的时间为＝40（秒），故第二次相遇时，小明距离B地的距离为40×3＝240（米）．故答案为240．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，CD＝4，P是边CD上一动点，将△OCP沿OP翻折得△OC′P，在C′D左侧有一点E，使得△C′DE为等腰直角三角形，连接CE．则CE的最小值为．【解答】解：连接OD，过O作OD⊥OM，连接MD，过M作MN⊥CN，∵OD⊥OM，OD＝OM，∴＝，∠MDO＝45°，∵△C′DE为等腰直角三角形，∴＝，∠EDC′＝45°，∴＝，∠ODC′＝∠MDE＝45°﹣∠ODE，∴△MDE∽△ODC′，∴＝＝，∵O是BC的中点，BC＝6，∴OC＝7，CD＝4，∵将△OCP沿OP翻折得△OC′P，∴OC＝OC′＝3，∴ME＝8，∵MN⊥CN，∴∠MNO＝∠DCO＝90°，∵∠MON＝∠ODC＝90°﹣∠COD，OD＝OM，∴△MON≌△ODC（AAS），∴MN＝OC＝3，ON＝CD＝3，∴CN＝7，∴CM＝＝＝，∴CE≥CM﹣ME＝，∴当C、M、E三点共线时CE有最小值，故答案为：．三、解答题16．计算：．【解答】解：原式＝＝2﹣3＝．17．解不等式组，并写出它的最大整数解．【解答】解：，解不等式①得，x≤，解不等式②得，x＞﹣3，所以不等式组的解集为﹣8＜x≤，不等式组的最大整数解为2．18．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，AF＝CH．求证：EF＝GH．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵DE＝BG，∴AE＝CG，在△EAF和△GCH中，，∴△EAF≌△GCH（SAS），∴EF＝GH．19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．（结果精确到1m）【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG＝，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝4，∴AG＝6×0.2＝4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG约为2.2米；（2）延长BA，交PQ的延长线于点C．设EH＝x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∵tan∠EDH＝，∴DH＝，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∵tan∠ECH＝，∴CH＝，∵CH﹣DH＝CD＝8，∴﹣＝2，解得：x≈11.2，∴AB＝AG+BG＝15.4≈15（米），答：房屋的高AB约为15米．20．某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图），回答下列问题：（1）该校初三学生总数为200人；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为50、10，并补全频数分布直方图；（3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是90°；（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是4、4；（5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？【解答】解：（1）20÷10%＝200，故答案为：200；（2）200×5%＝10人，200﹣20﹣30﹣60﹣30﹣10＝50人，故答案为：50，10（3）360°×＝90°；故答案为：90°；（4）综合实践活动时间为4天的出现次数最多，是60次，将综合实践时间从小到大排列后处在第100、101位的都是7天，故答案为：4，4；（5）（人）．答：该市初三学生96000人中“活动时间不少于7天”的大约有43200人．21．如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB（1）求证：EP是⊙O的切线；（2）若AP＝3，PD＝6，求OA及EF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵EO平分∠DEB，∴∠DEO＝∠BEO，∵EG⊥BD，∴∠EGD＝∠EGB＝90°，∵EG＝EG，∴△EGD≌△EGB（ASA），∴DE＝BE，∵OD＝OB，EO＝EO，∴△EDO≌△EBO（SSS），∴∠EDO＝∠EBO，∵AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，∴∠EBO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴EP是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠BDO＝90°，∵∠ADP+∠ADO＝90°，∴∠ADP＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ADP＝∠DBP，∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△DBP，∴，∴＝，∴PB＝12，∴AB＝PB﹣AP＝9，∴AO＝OB＝，由（1）知△EDO≌△EBO，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，∵PB2＝PE2﹣BE2，∴122＝（6+x）7﹣x2，∴x＝9，∴BE＝8，∴OE＝＝＝，∴EF＝OE+OF＝＝．22．春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种蔬菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，B两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为（x+5）元，由题意得：＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，由题意得：m≤100﹣m，解得：m≤50，设本次购买花费的总费用为w元，由题意得：w＝20×4.9m+30×0.3（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜7，∴w随m增大而减小，∴当m＝50时，w有最小值＝﹣9×50+2700＝2250，答：本次购买最少花费2250元钱．23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A、点B图象交于点C（1，4）、点D（﹣4，n）；（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，当△ADP的面积为6时，y轴上有一点Q，求出这个最大值；（3）如图3，将△AOB沿着射线OC的方向平移个单位，y轴上有一点E，平面中有一点F，直接写出点F的坐标．【解答】解：（1）将C（1，4）代入y＝，可得：6＝，即：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；将点D（﹣4，n）代入y＝，可得：n＝﹣3，即：D（﹣4，﹣1），则有，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）∵一次函数的解析式为：y＝x+7，∴A（0，3），如图：过P作PE∥x轴交CD于E，设P（p，）（p＞4），），即：PE＝p﹣+4，∵△ADP的面积为6，∴•（Ay﹣Dy）＝6，即：（p﹣，解得：p＝2或﹣3（舍去），∴P（2，2），如图：作D关于y轴的对称点D′，连接DQ，PQ，则DQ＝D′Q，∴D′（6，﹣1），若|QD﹣QP|有最大值时，即|QD′﹣QP|有最大值，∵P（2，3），﹣1），∴|QD′﹣QP|≤||QD′|﹣|QP||≤PD′＝，∴|QD﹣QP|的最大值为；（3）∵y＝x+3，∴B（﹣6，0），∵C（1，3），∴OC＝，延长OC到M使，CM＝OC，∴M（2，8），∵将△AOB沿着射线OC的方向平移个单位，即△AOB向右平移2个单位，向上平移8个单位，∴B′（﹣2，8），∴CB'＝2①当以CB′、CE为边时，此时CE＝CB'＝2，设E（5，m）2+（m﹣4）7＝20，解得m＝4﹣或4+，当m＝2﹣时，E1（0，5﹣），此时C向左平移1个单位，向下平移，B'按照同样平移方式得到F，∴F（﹣2，2﹣）；当m＝4+时，E2（8，4+），同理可得F（﹣2，5+）；②当以CB′、B'E为边时，此时CB'＝B'E＝2，设E（5，m）2+（m﹣8）7＝20，解得m＝8+或8﹣，按照①中方式可得F（8，4+，4﹣）．综上，F的坐标为（﹣3）或（﹣2）或（2）或（4）．24．综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°又∵∠B＝∠D，∴∠AEC+∠B＝180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是∠AEC+∠B＝180°；【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ANM，连接BM、AD．小明发现，在旋转过程中，不会发生改变．①根据∠CDB＝45°，利用四点共圆的思想，试证明ND＝DB；②在（1）的条件下，当△BDM为直角三角形，直接写出BC的长．【解答】（1）解：如图2，作经过点A，C，在劣弧AC上取一点E（不与A，连接AE，则∠AEC+∠D＝180°，又∵∠B＝∠D，∴∠AEC+∠B＝180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，故答案为：∠AEC+∠B＝180°；（2）①证明：∵在Rt△ACB中，AC＝BC，∴∠BAC＝45°，∵∠CDB＝45°，∴∠CDB＝∠BAC＝45°，∴A，C，B，D四点共圆，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BN，∵△ACB旋转得△AMN，∴△ACB≌△AMN，∴AB＝AN，∵AD⊥