提优点13　圆锥曲线的三大定义

板块六平面解析几何提优点13圆锥曲线的三大定义高考定位2.椭圆与双曲线的第三定义平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线.当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线.其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点.精准强化练类型一圆锥曲线第一定义的应用类型二圆锥曲线第二定义的应用类型三椭圆、双曲线第三定义的应用类型突破类型一圆锥曲线第一定义的应用(1)(2024·郑州质检)已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为____________________.例1则动圆圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上.如图，设|F1N|＝k(k>0)，在△MNF2中，由余弦定理得|MF2|2＝|MN|2＋|NF2|2－2|MN||NF2|cos∠MNF2，|MF2|＝a，解决椭圆、双曲线的焦点三角形问题注意应用：(1)定义；(2)正弦、余弦定理；(3)三角形面积公式.规律方法训练1∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，3因为点P是双曲线左支上一点，所以|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|＝2，|PF2|＝6，类型二圆锥曲线第二定义的应用例213所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，在Rt△AOF2中，AF2＝a，|OF2|＝c，a＝2c，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，直线DE的方程与椭圆C的方程联立得13x2＋8cx－32c2＝0，规律方法规律方法A.0 B.2 C.4

D.8训练2√由椭圆的第二定义可知|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，类型三椭圆、双曲线第三定义的应用例3√规律方法训练3√设点P(x，y)，【精准强化练】√如图，设点P关于x轴的对称点为P′，则kAP＝－kAP′，由题意得点P′，Q关于原点对称，√√设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，√∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，由题可知A(－2，0)，设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，√得x0＝0，B，C为椭圆短轴的两个端点，6.(2024·石家庄调研)有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P与点F之间的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是√√√其与点F之间的距离是其到直线x－2y＋4＝0的距离的一半，则直线x－2y＋4＝0是“最远距离直线”，故B正确.由2|PF|＝d可知，|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d，当点P与点A纵坐标相等且点P在点A右侧时，|PA|＋2|PF|取得最小值，为4－(－1)＝5，C正确.由B可知，直线x－2y＋4＝0与椭圆相切，直线x－2y＋6＝0与直线x－2y＋4＝0平行，由椭圆的对称性易知与直线x－2y＋4＝0平行的另一条椭圆的切线方程为x－2y－4＝0，故直线x－2y＋6＝0与直线x－2y－4＝0之间的距离即所求距离的最大值，√√√∴F1(－1，0)，F2(1，0).由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∵PH是∠F1PF2的角平分线，∴点H到直线PF1的距离与点H到直线PF2的距离相等，限上的一点P满足△PF1F2为等腰三角形，则点P的坐标为_________________.则|PF1|＝|2x0＋1|＝2x0＋1，|PF2|＝|2x0－1|＝2x0－1，|F1F2|＝4，因为△PF1F2为等腰三角形，且显然|PF1|≠|PF2|，所以|PF1|＝|F1F2|或|PF2|＝|F1F2|，∠AF1B＝∠ABF1，如图所示，设|AF2|＝m，由双曲线第一定义可得|AB|＝|AF1|＝2a＋m，即|BF2|＝2a，|BF1|＝4a