北师大版五年级下册数学教学讲义-第八讲长方体的体积（二）（含答案）

第八讲 长方体的体积（二）一、知识点1、体积的常用单位

（1）体积单位的进率

相邻两个体积单位之间的进率是1000。

1dm³＝1000cm³

1m³＝1000dm³

1m³＝1000000cm³。

（2）容积单位的进率

相邻两个容积单位之间的进率是1000

1L＝1000mL。

（3）容积单位与体积单位的关系

1mL＝1cm³

1L＝1dm³

1000L＝1m³。

2、等积法

如果只改变物体的形状，其体积不发生变化。

3、排水法测量体积

（1）把物体放入水中

物体浸入水中的部分的体积＝上升（或溢出）的水柱的体积水面上升（或溢出的水）的高度＝物体浸入水中部分的体积÷容器的底面积

（2）把物体从水中取出

物体露出水面的部分的体积＝下降的水柱的体积水面下降的高度＝物体浸湿部分的体积÷容器的底面积

4、切拼问题（1）沿着一个长方体的截面将它们分割成若干个小长方体时，每切1刀，就增加2个完全相同的面。

（2）将若千个小长方体或小正方体拼接成一个大的长方体时，每拼接1次，就减少2个完全相同的面。

（3）把一个长方体截去一段变成一个较小的长方体时，减少的面积是4个长方形的面积之和。

（4）把一个长方体接上一段变成一个较大的长方体时，增加的面积是4个长方形的面积之和。二、学习目标

1、我能够识别“面积单位”、“体积单位”、“容积单位”，掌握各单位间的换算。

2、我能够理解数学中“倒入”、“锻造”、“熔铸”前后，体积不变。

3、我能够利用“排水法”测不规则物体体积解决实际问题。

三、课前练习

1、体积是1dm3的大正方体可以切割成个体积是1cm3的小正方体。

2、一个长方体的体积是2800立方厘米，它的底面积是56平方厘米，这个长方体的高是分米。

3、思琪为了测量苹果的体积，先往一个容量为1000mL的量筒中倒了500mL水，然后把两个苹果放进了量筒中，苹果完全浸没在水中，且水位上升至950mL处，则平均每个苹果的体积是

cm³。

四、典型例题

例题1

填空题。

（1）在横线上填上合适的单位名称。

一瓶眼药水的体积大约是10 一支雪糕的体积大约是60

一个保温杯的容积是0.36 一节地铁车厢的容积大约是62

（2）单位换算。

1.75dm³＝cm³ 90dm³＝m³

10050mL＝L 5.08L＝LmL

0.078dm³＝L＝mL

练习1

填空题。

（1）在横线上填上合适的单位名称。

一个牙膏盒的体积是0.12 一顶双人帐篷的容积是3.9

一个脐橙的体积大约是320 一个双开门冰箱的容积是180

（2）单位换算。

2130cm³＝dm³ 0.25L＝mL＝cm³

4立方米60立方分米＝立方米 3020mL＝L＝m³

思路点拨液体从一个容器倒入另一个容器，或者物体从一种形状变成另一种形状，它的体积是不会变的。另外，要注意统一单位。

例题2

一个装满了水的正方体水箱，它的棱长是4分米，如果将其中的水全部倒入另一个长0.8米、宽25厘米的长方体水箱中，水深多少分米？

练习2

一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，这根钢筋的长是多少米？

例题3

（1）一个长方体形状的鱼缸从里面量，长50cm、宽25cm、高35cm.乐宝向鱼缸中倒入37L水，又放入一只螃蟹（完全浸没），此时水面距离鱼缸口还有5cm.这只螃蟹的体积是多少？

（2）有大、中、小三个长方体水池，它们的底面都是正方形，且边长分别是5分米、3分米、2分米，现在把两块石头分别沉入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高5厘米和7.5厘米，如果这两块石头都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？

练习3

（1）一个棱长为4dm的正方体容器中盛有一些水，水深3dm,漫漫往这个容器中放入一块石头，石头完全浸没在水中，此时水深3.5dm,这块石头的体积是多少立方厘米？

（2）一块棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在一个底面积为80平方厘米的长方体容器里，取出铁块后，长方体容器的水面将下降多少厘米？

例题4

（1）如图，将一根长10米的长方体木料锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木料原来的体积是多少立方分米？（2）把一个长方体的木块截成两个完全相同的小正方体，两个小正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和大了40厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？

练习4

（1）如图，沿虚线把长为2.5分米的长方体分成2段，表面积增加了160平方厘米，则原来长方体的体积是多少立方厘米？

（2）用三块大小相同的小正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长之和是60分米，那么，每块小正方体木块的体积是多少立方分米？

选讲题

下图是一个4×5×6的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？

五、课后作业

1、填空题。

（1）在横线上填上合适的单位名称。

一瓶啤酒的体积大约是0.55 一部手机的体积大约是55

一个电饭煲的容积大约是5 一个治安岗亭的容积大约12

（2）单位换算。

790cm³＝dm³ 8.06dm³＝L＝mL

2050dm³＝m³ 0.0356m³＝L＝mL

2、把一块棱长10厘米的正方体铁块，熔铸成宽和高都是5厘米的长方体铁条，铁条长多少厘米？

3、将一块不规则的石头全部浸没在长8分米、宽5分米的长方体容器里，测得水面升高6厘米。这块石头的体积是多少立方分米？

4、有一个棱长为20厘米的正方体容器，里面注有水，水深12厘米。把一块棱长为10厘米的正方体铁块完全浸入水中后，水深是多少厘米？

5、如图，将一根长2.5米的长方体铝块平均锯成4段，表面积比原来增加了48平方分米，这根长方体木块原来的体积是多少立方分米？

选做题

一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图分割为27个小正方体，那么在这些小正方体中：

（1）三个面涂有红色的有个；

（2）二个面涂有红色的有个；

（3）一个面涂有红色的有个；

（4）六个面都没有涂色的有个。

参考答案1、1000解析：1dm³＝1000cm³1000÷（1×1×1）＝1000（个）2、5解析：2800÷56＝50（cm）＝5（dm）；注意单位。3、225解析：（950－500）÷2＝225（cm³）例题1mL，cm³，L，m³1750；0.09；10.05；5，80；0.078，78；练习1dm³；m³；cm³；L2.13；250，250；4.06；3.02，0.00302例题23.2分米解析：体积不变。原来体积：4×4×4＝64（dm³）水深：64÷（8×2.5）＝3.2（dm）练习218米解析：体积不变。原来体积：15×1.2＝18（立方分米）钢筋长：18÷0.1＝180（分米）＝18（米）注意单位。例题3（1）500立方厘米解析：上升水的体积＝加入物体的体积原来水的体积37L，即37000立方厘米，加入螃蟹后水的高度为35－5＝30（厘米）；所以加入螃蟹后体积为：50×25×30＝37500（立方厘米）；螃蟹体积为：37500－37000＝500（立方厘米）（2）3厘米解析：上升水的体积＝加入物体的体积第一块石头的体积：30×30×5＝4500（立方厘米）第二块石头的体积：20×20×7.5＝3000（立方厘米）两块石头总体积为：4500＋3000＝7500（立方厘米）上升高度：7500÷（50×50）＝3（厘米）练习3（1）8000立方厘米解析：上升水的体积＝加入物体的体积水面上升：3.5－3＝0.5（dm）；则体积为：4×4×0.5＝8dm³＝8000（cm³）（2）2.7厘米解析：下降水的体积＝加入物体的体积物体体积：6×6×6＝216（立方厘米）下降高度：216÷80＝2.7（厘米）例题4（1）1000立方分米解析：切一次，增加2个切面切成6段，需要切5次，增加10个面，增加100dm²。每个侧面面积为：100÷10＝10（dm²）；长：10m＝100dm体积：10×100＝1000（dm³）（2）250立方厘米解析：切一次，增加2个切面，则增加8条棱正方体棱长：40÷8＝5（厘米）；原长方体体积：5×5×5×2＝250（立方厘米）练习4（1）2000立方厘米解析：切一次，增加2个切面每个侧面面积为：160÷2＝80（cm²）；长：2.5dm＝25cm体积：80×25＝2000（cm³）（2）27立方分米拼一次，少2个拼面，8条棱三个小木块需要拼两次，则少4个拼面，16条棱；原来共有棱：3×12＝36（条），现在共有棱：36－16＝20（条）则每条棱：60÷20＝3（分米）；每个小正方体体积：3×3×3＝27（立方分米）选讲题三面被涂红色的有8个；两面被涂红的有36个，一面被涂红的有52个。解析：如下图所示：角块占据3个面，所以能被三面涂红，共有8个。棱块占据两个面，所以能被二面涂红，共有：[（4－2）＋（5－2）＋（6－2）]×4＝36（个）面中心块只能被一面涂红，共有：[（4－2）×（5－2）＋（5－2）×（6－2）＋（4－2）×（6－2）]×2＝52（个）内部方块不在外面，不能被涂到颜色，共有：[（4－2）×（5－2）×（6－2）]＝24（个）总结：一个长方体长、宽、高分别为a、b、c，表面涂红再切成单位长度的小立方体时，涂色规律如下：三面有色：永远是8个。二面有色：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4一面有色：[（a－2）×（b－2）＋（b－2）×（c－2）＋（a－2）×（c－2）]×2无色方块：（a－2）×（b－2）×（c－2）课后作业1、（1）L；cm³；L；m³（2）0.79；8，60；2.05；35.6，356002、40厘米解析：体积不变原来的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）长＝体积÷侧面积＝1000÷（5×5）＝40（厘米）3、24立方分米解析：物体的体积＝上升水的体积。另外注意单位统一。物体体积：8×5×0.6＝24（立方分米）4、14.5厘米解析：物体的体积＝上升水的体积加入物体体积：10×10×10＝1000（立方厘米）水上升的高度＝体积÷底面积：1000÷（20×20）＝2.5（厘米）此时